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1、41 1 工程实际中的轴向受拉和受压杆工程实际中的轴向受拉和受压杆42 2轴向受拉和受压杆的内力轴向受拉和受压杆的内力 截面法截面法43 3轴向受拉和受压杆横截面上的应力轴向受拉和受压杆横截面上的应力44 4轴向拉压杆斜截面上的应力轴向拉压杆斜截面上的应力45 5轴向拉伸或压缩时的变形轴向拉伸或压缩时的变形 胡克定理胡克定理第第4章章 轴向拉压时杆件的应力和轴向拉压时杆件的应力和变形计算变形计算1.1.工程实例工程实例41 工程实际中的轴向受拉和受压杆工程实际中的轴向受拉和受压杆工程中有大量的受拉和受压的杆工程中有大量的受拉和受压的杆件，例如件，例如（1）门柱因屋顶重量而）门柱因屋顶重量而受压
2、受压（图（图4.1-1）（2）吊杆因桥身重量而）吊杆因桥身重量而受受拉伸拉伸（图（图4.1-2）图图4.1-1图图4.1-2（3）简化为）简化为桁架的桥梁构架桁架的桥梁构架,各杆受拉或压各杆受拉或压（图（图4.1-3）图图4.1-3（4）起重机的吊缆起重机的吊缆（5）内燃机的推拉杆）内燃机的推拉杆图图4.1-43.3.外力特征外力特征：外力合力作用线与杆轴重合外力合力作用线与杆轴重合4.4.变形特征变形特征：杆件受力后，杆件受力后，轴线轴线变长变长，称为，称为拉伸拉伸（图（图4.1-4a）轴线轴线变短变短，称为，称为压缩压缩（图（图4.1-4b）发生拉伸和压缩的前提条件是发生拉伸和压缩的前提条
3、件是:（1）杆轴为直线杆轴为直线（2）外力合力作用线与杆轴重合外力合力作用线与杆轴重合2.2.杆件特征杆件特征：杆轴为直线杆轴为直线图图4.1-55.5.计算模型计算模型图图4.1-54.1-5表示拉杆的计算模型表示拉杆的计算模型，在进行计算时，在进行计算时，杆轴表示实际的杆件杆轴表示实际的杆件思考题思考题42轴向受拉和受压杆的内力轴向受拉和受压杆的内力 截面法截面法图图4.2-12.2.截面法求内力（轴力截面法求内力（轴力)1.1.内力内力：因外力作用而引起的杆内部质点间相互作用力的改变因外力作用而引起的杆内部质点间相互作用力的改变一一.轴力轴力c)c)取杆的左边或右边为脱离体取杆的左边或右
4、边为脱离体体，由平衡方程得到相同的轴体，由平衡方程得到相同的轴力力 N N:S S X=0,X=0,N=N=P Pb)b)代以约束内力（反力）代以约束内力（反力）N N,因为此因为此力通过横截面形心（力通过横截面形心（CentroidCentroid），），且沿杆的轴线方向，故称且沿杆的轴线方向，故称N N为为轴力轴力（Axial forceAxial force）（）（图图4.2-14.2-1）。）。a）解除内部约束，即用假想横截解除内部约束，即用假想横截面面m-m将杆分为两部份将杆分为两部份图图4.2-2轴力轴力N的方向以的方向以箭头背离横截面者为正，称为拉力箭头背离横截面者为正，称为拉力
5、（图（图4.2-1），），反之为负，称为压力反之为负，称为压力（图（图4.2-2）。3.3.符号规定：符号规定：图图4.2-3二二.画轴力图画轴力图（Axial force diagram）表示轴力沿杆轴的变化的图形称为轴力图表示轴力沿杆轴的变化的图形称为轴力图。拉力表以正号，画在坐标轴正向；拉力表以正号，画在坐标轴正向；压力表以负号。压力表以负号。平行杆轴的直线为坐标平行杆轴的直线为坐标x x，代表横截面位置；代表横截面位置；垂直杆的直线为坐标垂直杆的直线为坐标N N，表示轴力的大小与正负。表示轴力的大小与正负。为画轴力图方便，为画轴力图方便，求内力时常设拉力求内力时常设拉力，如求出为正值，
6、则画在坐标轴正向；如求出为正值，则画在坐标轴正向；如求出为负值，则画在坐标轴负向如求出为负值，则画在坐标轴负向。图图4.2-4图示多力杆，在自由端图示多力杆，在自由端A受载荷受载荷P，而在截面而在截面B受中间载荷受中间载荷2P，试求多力杆的轴力，并画轴力图。试求多力杆的轴力，并画轴力图。例题例题1 1解：解：1.分别使用截面法于第一段（图分别使用截面法于第一段（图b）和第二段（图和第二段（图c），），保留左边为自保留左边为自由体，并由体，并假定轴力均为拉力假定轴力均为拉力2.由平衡条件由平衡条件 S S X=0 X=0 即：即：N N1 1-P=0-P=0 及及 N N2 2-P+2P=0-P
7、+2P=0，得得N1=P 及及 N2=-P。3.画轴力图，拉力画在坐标轴正向，画轴力图，拉力画在坐标轴正向，压力画在坐标轴负向（图压力画在坐标轴负向（图4.2-4d）图图4.2-5图示杆受自重，已知单位杆长图示杆受自重，已知单位杆长L L，自重为自重为r r，试画轴力图。试画轴力图。例题例题2 2解：（解：（1 1）由总体平衡方程：得支反由总体平衡方程：得支反R=R=r rL L（2 2）由截面法无论保留自由体由截面法无论保留自由体或自由体或自由体平衡，均得相同的轴力平衡，均得相同的轴力N N：对自由体对自由体，可得，可得 S SX=0,X=0,N=-N=-r rx x对自由体对自由体，可得，
8、可得 S SX=0,X=0,N=N=(L-x)-R=-(L-x)-R=-r rx x（3 3）按比例画轴力图按比例画轴力图。自由体的选取以方便为原则自由体的选取以方便为原则，用用截面法截面法将杆将杆截开后，无论截开后，无论保留杆的哪部份平衡，均可得到相同的结果保留杆的哪部份平衡，均可得到相同的结果。支反力属于外力，没有符号设定支反力属于外力，没有符号设定，其方向可以任设。如计，其方向可以任设。如计算结果为正，只说明假设方向与实际相同，如计算结果为算结果为正，只说明假设方向与实际相同，如计算结果为负，只说明假设方向与实际相反。负，只说明假设方向与实际相反。要点：要点：例例3 3图示杆的图示杆的A
9、、B、C、D点分别作用着大小为点分别作用着大小为5P、8P、4P、P的力，方的力，方向如图，试画出杆的轴力图。向如图，试画出杆的轴力图。1234ABCDPAPBPCPDO1234轴力图Nx2P3P5PP+例例4 4试求图示的各杆试求图示的各杆1-1、2-2、3-3截面上的轴力，并作轴力图。截面上的轴力，并作轴力图。112332(a)132(b)123FFFF112233(c)4FF112332n(a)(a1)-+解解(a)由截面法得杆由截面法得杆1-1、2-2、3-3截面上的轴力分别为作轴力图截面上的轴力分别为作轴力图如图(a1)所示。,132(b)123FFFFFPPF(b1)nFF+(b)
10、由截面法得杆由截面法得杆1-1、2-2、3-3截面上的轴力分别为截面上的轴力分别为作轴力图如图作轴力图如图(b1)所示所示。,(c)由截面法得杆由截面法得杆1-1、2-2、3-3截面上的轴力分别为截面上的轴力分别为作轴力图如图作轴力图如图(c1)所示。所示。,112233(c)4FF4FF3Fn(c1)4F3F+qq LxO例例5 5图示杆长为图示杆长为L，受分布力受分布力q=kx作用，方向如图，试画出作用，方向如图，试画出杆的轴力图。杆的轴力图。Lq(x)解：解：x 坐标向右为正，坐标原点在坐标向右为正，坐标原点在 自由端。自由端。取左侧取左侧x x 段为对象，内力段为对象，内力N(x)为：
11、为：Nxxq(x)NxO43轴向受拉和受压杆横截面上的应力轴向受拉和受压杆横截面上的应力1.1.横截面上的应力横截面上的应力 如何得出拉杆正应力的计算公式？如何得出拉杆正应力的计算公式？因因为应力组成内力，所以首先要借助如下三为应力组成内力，所以首先要借助如下三个静力学方程：个静力学方程：杆的横截面上有无限多个微面杆的横截面上有无限多个微面dA。每一微面每一微面dA上的正应力上的正应力均为未知量均为未知量,因此有因此有无限多个未知量。然而目前只有三个静力无限多个未知量。然而目前只有三个静力学学方程，顾方程，顾应力分布的性质是静不定应力分布的性质是静不定的的。需要建立补充方程需要建立补充方程。因
12、为变形与应力密切相关，于是可首先因为变形与应力密切相关，于是可首先观察观察杆件表面杆件表面的变形规律，进而对内部的变形作出的变形规律，进而对内部的变形作出假设假设，得出正应力均匀分布的，得出正应力均匀分布的结论结论。图图4.31AdAs4-3-14-3-24-3-3判断杆在外力作用下是否会破坏，不但要知道内力大小，还要知道内力在横截面上的分布规律和分布内力的集度。内力集度（应力）的最大值是判断杆是否破坏的重要因素。平面假设平面假设 研究一根研究一根均匀材料均匀材料的的受拉杆件受拉杆件,为了看清为了看清其变形规律，可用一根橡皮条演示。拉伸其变形规律，可用一根橡皮条演示。拉伸前在橡皮条上沿轴向和横
13、向划出网格线前在橡皮条上沿轴向和横向划出网格线（图（图4.3-24.3-2），其拉伸过程），其拉伸过程及及拉伸后形状拉伸后形状见图见图动画。动画。图图4.32a）实验观察：）实验观察：横向网格线保持直线，只有相对移动。横向网格线保持直线，只有相对移动。b）假设：）假设：根据表面变形情况，可以由表及里的做出假设，即根据表面变形情况，可以由表及里的做出假设，即横截面间只有横截面间只有 相对移动，相邻横截面间纵线伸长相同，横截面保持平面，相对移动，相邻横截面间纵线伸长相同，横截面保持平面，此假此假 设称为设称为平面假设平面假设 c）推论：）推论：横截面上正应力均匀分布横截面上正应力均匀分布，其数学表
14、达式为：其数学表达式为：应力公式及其适用范围应力公式及其适用范围 由于横截面上的正应力是均匀分布的由于横截面上的正应力是均匀分布的,故故:得得4.3-4公式公式4.3-4即为拉压杆横截面的正应力公式即为拉压杆横截面的正应力公式 公式公式4.3-44.3-4的适用范围的适用范围：1）等直杆等直杆2）均匀材料均匀材料3）轴向加载轴向加载4）杆上距力作用点较远处杆上距力作用点较远处应力集中应力集中圣维南原理圣维南原理2.2.应力集中的概念应力集中的概念在局部区域应力突然增大的现象，称为在局部区域应力突然增大的现象，称为应力集中应力集中。横截面上的最大应力横截面上的最大应力 max与与平均应力平均应力
15、 m的比值称为的比值称为应应力集中系数力集中系数，以，以 表示。表示。3.3.圣维南原理圣维南原理 实践证明：杆件在加力点附近，应力实践证明：杆件在加力点附近，应力分布十分复杂，很大程度上受到加力分布十分复杂，很大程度上受到加力方式的影响，所以公式（方式的影响，所以公式（4.3-4）不能）不能使用，除非所加的外力是分布力，而使用，除非所加的外力是分布力，而且是且是均匀分布的。均匀分布的。如图压杆，其附近如图压杆，其附近的横截面的横截面1-1和和2-2，应力是非均匀分布，应力是非均匀分布的，但是，距离外力作用稍远的横截的，但是，距离外力作用稍远的横截面面3-3，应力很快趋于均匀（图，应力很快趋于
16、均匀（图4.3-4b），），公式（公式（4.3-4）即可使用，）即可使用，其影响范围其影响范围约等于截面高度约等于截面高度h。以上概念称之为。以上概念称之为圣圣维南原理（维南原理（Saint_VenantsPrinciple）。需要说明的是，在材料力学中，一般需要说明的是，在材料力学中，一般假定外力均匀地施加在作用处，所以假定外力均匀地施加在作用处，所以公式（公式（4.3-4）对整个杆件都适用。）对整个杆件都适用。图图4.3-4圣维南原理圣维南原理？思考题（1）图示的曲杆，问）图示的曲杆，问公式（公式（4.3-4）是否适用？是否适用？（2）图示杆由钢的）图示杆由钢的和铝牢固粘接和铝牢固粘接而成
17、，问公式（而成，问公式（4.3-4）是否适用？）是否适用？（3）图示有凹槽的杆，问）图示有凹槽的杆，问公式公式（4.3-4）对）对凹槽段凹槽段是否适用？是否适用？44轴向拉压杆斜截面上的应力轴向拉压杆斜截面上的应力前面分析了拉压杆横截面上的正应力，前面分析了拉压杆横截面上的正应力，由由平面假设可知，此应力均匀分布平面假设可知，此应力均匀分布。为了分。为了分析构件的破坏规律以建立更为完善的强度析构件的破坏规律以建立更为完善的强度理论，需要研究更为一般的情况，即分析理论，需要研究更为一般的情况，即分析直杆任一斜截面上的应力。直杆任一斜截面上的应力。图图4.4-1（a）所示拉杆，仿照分析横截所示拉杆
18、，仿照分析横截面上应力均匀分布的过程，同样可以得面上应力均匀分布的过程，同样可以得出出任一斜截面上的应力任一斜截面上的应力也是均匀分布的也是均匀分布的结论结论（图（图4.4-1b）。一般来说，。一般来说，可分解可分解为垂直于斜截面的正应力为垂直于斜截面的正应力和平行于斜和平行于斜截面的剪应力截面的剪应力（图（图4.4-1c）图图4.4-1图图4.4-21）采用截面法）采用截面法由平衡方程：由平衡方程：Na a=P则：则：Aa a：斜截面面积；斜截面面积；Na a：斜截面上内力。斜截面上内力。由几何关系由几何关系：代入上式，得：代入上式，得：斜截面上全应力斜截面上全应力：式中式中0是横截面上得正
19、应力是横截面上得正应力图图4.4-3PPmmPmmPa at ta as sa a 反映：通过构件上一点不同截反映：通过构件上一点不同截面上应力变化情况。面上应力变化情况。当=90时，当=0,90时，当=0时，当=45时，图图4.4-3PPmmPmmPa at ta as sa a 2）剪应力的符号规定）剪应力的符号规定:使脱离体顺时针转向为正使脱离体顺时针转向为正;使脱离体逆时针转向为负使脱离体逆时针转向为负;1.1.概述概述 4-5 轴向拉伸或压缩时的变形轴向拉伸或压缩时的变形研究直杆的轴向变形，目的有：研究直杆的轴向变形，目的有：（1）分析杆件的）分析杆件的拉压刚度问题拉压刚度问题。以限
20、制其变形或位移不得超过规定以限制其变形或位移不得超过规定的数值，即：的数值，即：。为变为变形或位移的允许值，它由设计要求形或位移的允许值，它由设计要求而定。而定。（2）为解决）为解决静不定问题静不定问题准备必要准备必要的知识的知识。因为静不定问题必须借助。因为静不定问题必须借助于结构的变形协调关系才能求出全于结构的变形协调关系才能求出全部未知力部未知力2.2.纵向变形与横向变形纵向变形与横向变形 图图4.5-1图图4.5-1所示的拉杆所示的拉杆,变形前长为变形前长为L,直径为直径为d；变形后长为变形后长为L，直径为直径为d，定义定义如下符号：如下符号：2）横向变形）横向变形纵向应变和横向应变都
21、是正应变纵向应变和横向应变都是正应变（NormalStrain），），仅度量方向不同，前仅度量方向不同，前者沿轴力方向，后者垂直于轴力方向者沿轴力方向，后者垂直于轴力方向。LLeD=4.5-1ddeD=4.5-2纵向应变（Longitudinal Strain）横向应变（Transverse Strain）1）纵向变形3.3.虎克定律和泊松比虎克定律和泊松比 实验表明：实验表明：当应力小于比例极限时，应力与应变成正比。当应力小于比例极限时，应力与应变成正比。这就是虎克定律虎克定律（HookesLaw）。其中其中E-弹性弹性模量或杨氏模量（模量或杨氏模量（Youngsmodulus），），量纲是
22、量纲是力力/长度长度2，国际单位制中用国际单位制中用GPa表示，表示，GPa=103MPa=109Pa实验表明：当应力小于比例极限时，横向应变与纵向应变成正比。实验表明：当应力小于比例极限时，横向应变与纵向应变成正比。比例常数比例常数称称为为泊松比。弹性泊松比。弹性模量模量E与泊松比与泊松比都是材料的都是材料的弹性弹性常数，常数，对于对于各向同性材料，各向同性材料，E和和之值均与方向无关之值均与方向无关。Esess=p ,eme=.4.5-34.5-4如用如用N代表杆中轴力，代表杆中轴力，A代表杆的截面面积，并将式（代表杆的截面面积，并将式（4.5-1）和式（）和式（4.5-3）联合，则有）联
23、合，则有上式为上式为虎克定律虎克定律的又一表达式。它表明杆的轴向变形与轴力和的又一表达式。它表明杆的轴向变形与轴力和杆长成正比，而与乘积杆长成正比，而与乘积EAEA成反比，成反比，EAEA称为杆截面的抗拉压刚度称为杆截面的抗拉压刚度。显然，在一定的轴向载荷下，截面刚度愈大，轴向变形愈小。显然，在一定的轴向载荷下，截面刚度愈大，轴向变形愈小。NLLEAD =4.5-54.4.计算多力杆变形的方法计算多力杆变形的方法 （1）变形累加法）变形累加法（methodofDeformationAccumulation）根据各段的轴力，先分段计算变形，然后再求代数和根据各段的轴力，先分段计算变形，然后再求代
24、数和（设定伸长为正，缩（设定伸长为正，缩短为负）短为负）。如图。如图4.5-2的杆同时受到的杆同时受到P1和和P2的作用，试求总变形。的作用，试求总变形。第一段：图图4.5-2第二段：伸长伸长总变形：伸长（2）叠加法（叠加法（Superpositionmethod）如图如图4.5-2所示的杆件，现分别计算所示的杆件，现分别计算P1和和P2单个作用时杆的轴向变形单个作用时杆的轴向变形，然后，然后叠加（图叠加（图4.5-3a,b）。）。在2P的作用下：图图4.5-3在P的作用下：缩短总变形：伸长伸长若干载荷同时作用时产生的变形，等于单个载荷分别作用时产生的变形之和，若干载荷同时作用时产生的变形，等
25、于单个载荷分别作用时产生的变形之和，这就是叠加原理。这就是叠加原理。只有当因变量与自变量成线性关系时只有当因变量与自变量成线性关系时，叠加原理才成立。由，叠加原理才成立。由于于本课程主要研究的问题是属于线弹性问题，即杆的内力、应力及变形均与本课程主要研究的问题是属于线弹性问题，即杆的内力、应力及变形均与外载荷成线性关系，通常均可使用叠加原理进行分析计算外载荷成线性关系，通常均可使用叠加原理进行分析计算，此方法称为叠加，此方法称为叠加法。法。例题例题1 1 图示空心圆管，在轴力图示空心圆管，在轴力P作用下，测得纵向应变为作用下，测得纵向应变为 ,已知材料已知材料的弹性模量和泊松比，试求圆管截面面
26、积以及壁厚的弹性模量和泊松比，试求圆管截面面积以及壁厚t和外径和外径D的的改变量。改变量。解：解：（1）用应力公式和虎克定律：用应力公式和虎克定律：则(2)(2)壁厚方向的改变（即横向应变）为壁厚方向的改变（即横向应变）为图图4.5-4（3 3）外径改变量可由周向应变（即横向应变），求得：）外径改变量可由周向应变（即横向应变），求得：图示杆受均布载荷图示杆受均布载荷p，试求杆的变形。试求杆的变形。例题例题2 2解：由于每一截面的轴力均不相同，故将杆件分解：由于每一截面的轴力均不相同，故将杆件分为无限多个无限短的杆元，计算每一杆元变形，为无限多个无限短的杆元，计算每一杆元变形，然后利用定积分法确
27、定杆件的总伸长。然后利用定积分法确定杆件的总伸长。轴力轴力杆元的伸长杆元的伸长图图4.5-5总伸长总伸长切线代圆弧方法切线代圆弧方法-切线法切线法 附附:桁架的节点位移桁架的节点位移桁架变形通常用节点的位移表示，我们以桁架变形通常用节点的位移表示，我们以图图4.5-6a所示的桁架为例，介绍用切线代所示的桁架为例，介绍用切线代圆弧的方法求节点位移。圆弧的方法求节点位移。解：（解：（1）绘制受力图（图）绘制受力图（图4.5-6b），），求出求出各杆轴力各杆轴力（2）计算各杆变形）计算各杆变形（3）绘制变形图（想一想变形后的节点）绘制变形图（想一想变形后的节点A应在何处？）应在何处？）图图4.5-6
28、A就是变形后节点就是变形后节点A的新位置。事的新位置。事实上，由于实上，由于A位置的确定是一个位置的确定是一个复杂的非线性问题，加之杆件变形复杂的非线性问题，加之杆件变形很小，只是原长的千分之几，所以很小，只是原长的千分之几，所以工程上往往不需要计算上述精确工程上往往不需要计算上述精确位位置置，而是，而是采用切线替代圆弧采用切线替代圆弧的方的方法，以寻求近似位置，称为切线法。法，以寻求近似位置，称为切线法。从从A1和和A2分别作圆弧的切线（或原分别作圆弧的切线（或原杆的垂线）杆的垂线）交于交于A点，此点被认点，此点被认为是变形后节点为是变形后节点A的位置的位置（4）确定节点的位移）确定节点的位
29、移为计算节点位移，在变形图上作辅助线，为计算节点位移，在变形图上作辅助线，由几何关系得节点由几何关系得节点A的位移分量：的位移分量：图图4.5-6水平位移水平位移垂直位移垂直位移小变形是一个重要概念，在小变形条件下，通常可按结构原几小变形是一个重要概念，在小变形条件下，通常可按结构原几何尺寸计算支反力和内力，并可采用上述切线代圆弧的方法确何尺寸计算支反力和内力，并可采用上述切线代圆弧的方法确定简单桁架节点位移和杆的转角，使得问题的分析大为简化。定简单桁架节点位移和杆的转角，使得问题的分析大为简化。（5）确定杆BA和杆CA的转角杆BA的转角；杆CA的转角例题例题1 1设横梁设横梁ABCD为刚梁，横截面面积为为刚梁，横截面面积为 76.36mm 的钢索绕过无摩擦的钢索绕过无摩擦的定滑轮。设的定滑轮。设 P=20=20kN，试求刚索的应力和试求刚索的应力和 C点的垂直位移。设刚索的点的垂直位移。设刚索的 E=177=177GPa。2)钢索的应力和伸长分别为：800400400DCPAB60 60PABCDTTYAXA解：1）求钢索内力：以ABCD为对象CPAB60 60800400400D3）变形图如左图,C点的垂直位移为：AB60 60DBDC作业：作业：轴力图轴力图:4-1、4-2正应力：正应力：4-3、4-4剪应力：剪应力：4-5变形：变形：4-64-11