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1、1.2独立性检验的独立性检验的基本思想及其初基本思想及其初步应用步应用定定量量变变量量的的取取值值一一定定是是实实数数，它它们们的的取取值值大大小小有有特特定定的含义，不同取值之间的运算也有特定的含义的含义，不同取值之间的运算也有特定的含义.如身高、体重、考试成绩、温度等等如身高、体重、考试成绩、温度等等.变量变量定量变量定量变量分类变量分类变量两个定量变量的相关关系分析：回归分析（画散点图、两个定量变量的相关关系分析：回归分析（画散点图、相关指数相关指数R2、残差分析）、残差分析）（定性变量）（定性变量）对对于于性性别别变变量量，其其取取值值为为男男和和女女两两种种，这这种种变变量量的的不不
2、同同“值值”表表示示个个体体所所属属的的不不同同类类别别，像像这这样样的的变变量量称称为为分类变量分类变量.在日常生活中，主要考虑在日常生活中，主要考虑分类变量之间是否有关系分类变量之间是否有关系：如是否吸烟、宗教信仰、是否患肺癌、国籍等等如是否吸烟、宗教信仰、是否患肺癌、国籍等等.例如，吸烟是否与患肺癌有关系？例如，吸烟是否与患肺癌有关系？性别是否对于喜欢数学课程有影响？等等性别是否对于喜欢数学课程有影响？等等.分分类类变变量量也也称称为为属属性性变变量量或或定定性性变变量量，它它们们的的取取值值一一定定是是离离散散的的，而而且且不不同同的的取取值值仅仅表表示示个个体体所所属属的的类类别别，
3、如性别变量，只取男、女两个值如性别变量，只取男、女两个值两个分类变量的相关关两个分类变量的相关关系的分析：系的分析：通过图形直观判断两通过图形直观判断两个分类变量是否相关；个分类变量是否相关；独立性检验独立性检验.不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌总计总计不吸烟不吸烟77757775424278177817吸烟吸烟20992099494921482148总计总计98749874919199659965由由列列联联表表可可以以粗粗略略估估计计出出，在在不不吸吸烟烟者者中中，有有0.54%0.54%患患有有肺肺癌癌；在在吸吸烟烟者者中中，有有2.28%2.28%患患有有肺肺癌癌。因因此此，直直观观上上可
4、可以以得得到到结结论论：吸吸烟烟者者和和不不吸吸烟烟者者患患肺肺癌癌的的可可能能性性存存在差异在差异.与与表表格格相相比比，三三维维柱柱形形图图和和二二维维条条形形图图能能更更直直观观地地反反映映出相关数据的总体状况出相关数据的总体状况.为调查吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤研究所随机为调查吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了地调查了9965人，得到如下结果（单位：人）：人，得到如下结果（单位：人）：吸烟与患肺癌吸烟与患肺癌列联表列联表（列出两个分类变量的频数表）：（列出两个分类变量的频数表）：患肺癌患肺癌比例比例不患肺癌不患肺癌比例比例等高等高条形图条形图4 4、等高条形图、等高条
5、形图等高条形图更清晰地表达了两种情况下患肺癌的比例等高条形图更清晰地表达了两种情况下患肺癌的比例.问题1：判断的标准是什么？吸烟与不吸烟，患病的可能性的大小是否有差异？说明：吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异，说明：吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异，吸烟者患肺癌的可能性大吸烟者患肺癌的可能性大问题2：差异大到什么程度才能作出“吸烟与患病有关”的判断？问题3：能否用数量刻画出“有关”的程度？现现在在想想要要知知道道能能够够以以多多大大的的把把握握认认为为“吸吸烟烟与与患患肺肺癌癌有关有关”，为此先假设：，为此先假设：H H0 0：吸烟与患肺癌没有关系：吸烟与患肺癌没有关系不患肺癌不患肺
6、癌患肺癌患肺癌总计总计不吸烟不吸烟a ab ba+ba+b吸烟吸烟c cd dc+dc+d总计总计a+ca+cb+db+da+b+c+da+b+c+d把数字用字母代替，得到如下用字母表示的列联表：把数字用字母代替，得到如下用字母表示的列联表：不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌总计总计不吸烟不吸烟a ab ba+ba+b吸烟吸烟c cd dc+dc+d总计总计a+ca+cb+db+da+b+c+da+b+c+d吸烟与患肺癌的列联表：吸烟与患肺癌的列联表：如如果果“吸吸烟烟与与患患肺肺癌癌没没有有关关系系”，则则在在吸吸烟烟者者中中不不患患肺肺癌癌的的比比例例应应该该与与不不吸吸烟烟者者中中相相应应的的
7、比比例例应应差差不不多多，即即|ad-bc|ad-bc|越小，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱；越小，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱；|ad-bc|ad-bc|越大，说明吸烟与患肺癌之间关系越强越大，说明吸烟与患肺癌之间关系越强.为为了了使使不不同同样样本本容容量量的的数数据据有有统统一一的的评评判判标标准准，基基于于上上述分析，我们构造一个随机变量述分析，我们构造一个随机变量 若若H H0 0成立，即成立，即“吸烟与患肺癌没有关系吸烟与患肺癌没有关系”，则，则K K2 2应很小应很小.由列联表中数据，利用公式（由列联表中数据，利用公式（1 1）计算得）计算得K K2 2的观测值为：的观测值为：（1
8、 1）其中其中n=a+b+c+d为样本容量为样本容量.P(k2k0)0.500.400.250.150.100.050.025 0.010 0.0050.001k00.455 0.708 1.323 2.072 2.7063.8415.024 6.635 7.879 10.8280.1%0.1%把握认把握认为为A A与与B B无关无关1%1%把握认为把握认为A A与与B B无关无关99.9%99.9%把握认把握认为为A A与与B B有关有关99%99%把握认把握认为为A A与与B B有关有关90%90%把握认把握认为为A A与与B B有关有关10%10%把握认为把握认为 A A与与B B无关无
9、关没有充分的依据显示没有充分的依据显示A A与与B B有关，有关，但也不能显示但也不能显示A A与与B B无关无关在在H0成立的情况下，统计学家估算出如下的概率：成立的情况下，统计学家估算出如下的概率：也也就就是是说说，在在H H0 0成成立立的的情情况况下下，对对随随机机变变量量K K2 2进进行行多多次次观观测测，观观测测值值超超过过6.6356.635的的频频率率约约为为0.010.01，是是一一个个小小概概率率事事件件.现现在在K K2 2的的观观测测值值为为56.63256.632，远远远远大大于于6.6356.635，所所以以有有理理由由断断定定H H0 0不不成成立立，即即认认为
10、为“吸吸烟烟与与患患肺肺癌癌有有关关系系”但这种判断会犯错误，犯错误的概率不会超过但这种判断会犯错误，犯错误的概率不会超过0.01，即，即我们有我们有99的把握认为的把握认为“吸烟与患肺癌有关系吸烟与患肺癌有关系”.利利用用随随机机变变量量K K2 2来来确确定定在在多多大大程程度度上上可可以以认认为为“两两个个分分类类变变量量有有关关系系”的的方方法法称称为为两两个个分分类类变变量量的的独独立立性性检验检验.独立性检验：独立性检验：如果如果 ，就判断，就判断H0不成立；否则就判断不成立；否则就判断H0成立成立.反证法原理与假设检验原理反证法原理：反证法原理：在一个已知假设在一个已知假设下，如
11、果下，如果推出一推出一个矛盾个矛盾，就，就证明证明了这个假设不成了这个假设不成立。立。假设检验原理：假设检验原理：在一个已知假设在一个已知假设下，如果下，如果一个与一个与该假设矛盾的小该假设矛盾的小概率事件发生概率事件发生，就就推断推断这个假设这个假设不成立。不成立。独立性检验的基本思想：独立性检验的基本思想：类似于数学上的反证法，对类似于数学上的反证法，对“两个分类变量有关系两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度的判断：这一结论成立的可信程度的判断：（1 1）假设该结论不成立，即假设结论）假设该结论不成立，即假设结论“两个分类变量两个分类变量没有关系没有关系”成立成立.（2 2）在在假假
12、设设条条件件下下，计计算算构构造造的的随随机机变变量量K K2 2，如如果果由由观观测测数数据据计计算算得得到到的的K K2 2很很大大，则则在在一一定定程程度度上上说说明明假假设设不合理不合理.（3 3）根根据据随随机机变变量量K K2 2的的含含义义，可可以以通通过过（2 2）式式评评价价假假设设不不合合理理的的程程度度，由由实实际际计计算算出出的的k6.635k6.635，说说明明假假设设不不合合理理的的程程度度约约为为99%99%，即即“两两个个分分类类有有关关系系”这这一一结结论成立的可信程度约为论成立的可信程度约为99%.99%.y y1 1y y2 2总计总计x x1 1a ab
13、 ba+ba+bx x2 2c cd dc+dc+d总计总计a+ca+cb+db+da+b+c+da+b+c+d一一般般地地，假假设设有有两两个个分分类类变变量量X X和和Y Y，它它们们的的可可能能取取值值分分别别为为xx1 1,x,x2 2 和和yy1 1,y,y2 2,其其样样本本频频数数列列联联表表（称称为为2x22x2列联表）为：列联表）为：利利用用独独立立性性检检验验来来考考察察两两个个分分类类变变量量是是否否有有关关系系，能能较精确地给出这种判断的可靠程度较精确地给出这种判断的可靠程度.具体作法是：具体作法是：（1 1）根据实际问题需要的可信程度确定临界值）根据实际问题需要的可信
14、程度确定临界值k k0 0；（2）由观测数据计算得到随机变量）由观测数据计算得到随机变量K2的观测值的观测值k；（3）如果）如果k6.635，就以，就以 1-P(K26.635)100%的把的把握认为握认为“X与与Y有关系有关系”；否则就说样本观测数据没有；否则就说样本观测数据没有提供提供“X与与Y有关系有关系”的充分证据的充分证据.10.8287.8796.6355.0243.8412.7062.0721.3230.7080.445 k0.0010.0050.0100.0250.050.100.150.50.400.50（1 1）如果）如果k10.828k10.828，就有，就有99.9%9
15、9.9%的把握认为的把握认为“X X与与Y Y有关系有关系”；（2 2）如果）如果k7.879k7.879，就有，就有99.5%99.5%的把握认为的把握认为“X X与与Y Y有关系有关系”；（3 3）如果）如果k6.635k6.635，就有，就有99%99%的把握认为的把握认为“X X与与Y Y有关系有关系”；（4 4）如果）如果k5.024k5.024，就有，就有97.5%97.5%的把握认为的把握认为“X X与与Y Y有关系有关系”；（5 5）如果）如果k3.841k3.841，就有，就有95%95%的把握认为的把握认为“X X与与Y Y有关系有关系”；（6 6）如果）如果k2.706k
16、2.706，就有，就有90%90%的把握认为的把握认为“X X与与Y Y有关系有关系”；（7 7）如果）如果k=2.706k=2.706，就认为没有充分的证据显示，就认为没有充分的证据显示 “X X与与Y Y有关系有关系”.临界值临界值例例1 在在某某医医院院，因因为为患患心心脏脏病病而而住住院院的的665名名男男性性病病人人中中，有有214人人秃秃顶顶；而而另另外外772名名不不是是因因为为患患心心脏脏病病而而住住院院的的男男性性病病人人中中有有175人人秃秃顶顶。分分别别利利用用图图形形和和独独立立性性检检验验方方法法判判断断秃秃顶顶与与患患心心脏脏病病是是否否有有关关系系？你你所所得得的
17、的结结论论在在什什么么范范围围内有效？内有效？秃头秃头不秃头不秃头解：根据题目所给数据得到如下列联表1-13：患心脏病患心脏病 不患心脏不患心脏病病总计总计秃顶秃顶214175389不秃顶不秃顶4515971048总计总计6657721437 根据联表根据联表1-13中的数据，得到中的数据，得到所所以以有有99%的的把把握握认认为为“秃秃顶顶患患心心脏脏病病有有关关”。因为这组数据来自住院的病人，因此所得到的结论适合住院的病人群体例例2 为为考考察察高高中中生生的的性性别别与与是是否否喜喜欢欢数数学学课课程程之之间间的的关关系系，在在某某城城市市的的某某校校高高中中生生中中随随机机抽抽取取30
18、0名学生，得到如下联表：名学生，得到如下联表：喜欢数学课喜欢数学课程程不喜欢数学不喜欢数学课程课程总计总计男男3785122女女35143178总计总计72228300由由表表中中数数据据计计算算K2的的观观测测值值k4.513。在在多多大大程程度度上上可可以以认认为为高高中中生生的的性性别别与与是是否否喜喜欢欢数学课程之间有关系？为什么？数学课程之间有关系？为什么？而而我我们们所所得得到到的的K2的的观观测测值值k4.513超超过过3.841，这这就就意意味味着着“性性别别与与是是否否喜喜欢欢数数学学课课程程之之间间的的关关系系”这这一一结结论论错错误误的的可可能能性性约约为为0.05（或或
19、小小于于0.05），即即有有95%（或或大大于于 95%）的的把把握握认认为为“性性别别与与是是否否喜喜欢欢数学课程之间有关系数学课程之间有关系”。解解：在在假假设设“性性别别与与是是否否喜喜欢欢数数学学课课程程之之间间的关系的关系”的前提下的前提下K2应该很小，并且应该很小，并且练习练习:(P17)甲乙两个班级进行一门考试甲乙两个班级进行一门考试,按照学生考试成绩优秀和按照学生考试成绩优秀和不优秀统计后不优秀统计后,得到如下列联表得到如下列联表:优秀优秀不优秀不优秀总计总计甲班甲班103545乙班乙班73845总计总计177390画出列联表的条形图出列联表的条形图,并通过图形判断成绩与班级是
20、否并通过图形判断成绩与班级是否有关有关.利用列联表的独立性检验估计利用列联表的独立性检验估计,认为认为“成绩与班级成绩与班级有关系有关系”犯错误的概率是多少。犯错误的概率是多少。由图及表直观判断，好像由图及表直观判断，好像“成绩优秀与班级有关系成绩优秀与班级有关系”，由表中，由表中数据计算，得数据计算，得 的观察值为的观察值为 。由教科书中表。由教科书中表1-121-12，得，得从而由从而由50%50%的把握认为的把握认为“成绩优秀与班级有关系成绩优秀与班级有关系”，即断言，即断言“成成绩优秀与班级有关系绩优秀与班级有关系”犯错误的概率为犯错误的概率为0.50.5。100%90%80%70%6
21、0%50%40%30%20%10%0%优秀优秀不优秀不优秀列联表的条形图：列联表的条形图：P16 第1,2题不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌总计总计不吸烟不吸烟77757775424278177817吸烟吸烟20992099494921482148总计总计987498749191996599651 1、列联表、列联表2 2、三维柱形图、三维柱形图3 3、二维条形图、二维条形图不患肺癌患肺癌吸烟不吸烟不患肺癌患肺癌吸烟不吸烟080007000600050004000300020001000从从三三维维柱柱形形图图能能清清晰晰看看出出各各个频数的相对大小个频数的相对大小.从二维条形图能看出，吸烟者中从二维条形图能看出，吸烟者中患肺癌的比例高于不患肺癌的比例患肺癌的比例高于不患肺癌的比例.