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1、立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第一轮）高中总复习（第一轮）理科数学理科数学 全国版全国版在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么第六章第六章 不等式不等式第 讲1立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第一轮）高中总复习（第一轮）理科数学理科数学 全国版全国版在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么考考点点搜搜索索利用基本不等式证明不等式利用基本不等式证明不等式运用重要不等式求最值运用重要不等式求最值重重要要不不等等式式在在实实际际问问题题中
2、中的的应应用用高高考考猜猜想想在在求求函函数数的的最最值值和和实实际际问问题题中中运运用用重重要要不不等等式式，选选择择题题、填填空空题题或或解解答题中均可能作为工具出现答题中均可能作为工具出现.2立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第一轮）高中总复习（第一轮）理科数学理科数学 全国版全国版在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么一、算术平均数与几何平均数定理一、算术平均数与几何平均数定理1.若若a0，b0，则称，则称_为两个正为两个正数的算术平均数，称数的算术平均数，称_为两个正数的几为两个正数的几何平均数何平均数.
3、2.如果如果a、b为实数，那么为实数，那么a2+b22abab_，当且仅当，当且仅当a=b时取时取“=”号号.3.如果如果a、b为正实数，那么为正实数，那么 _，当且仅当，当且仅当a=b时取等号时取等号.3立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第一轮）高中总复习（第一轮）理科数学理科数学 全国版全国版在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么如果如果a+b为定值为定值P,那么那么ab有最有最_值，为值，为_;如果如果ab为定值为定值S,那么那么a+b有最有最_值值,为为_.这一结论称为均值定理这一结论称为均值定理.其应用的
4、三个条件其应用的三个条件依次为依次为_、_、_.二、不等式恒成立问题二、不等式恒成立问题不等式不等式af(x)恒成立，恒成立，f(x)max存在存在 _，不等式，不等式af(x)恒成立，恒成立，f(x)min存在存在 _.大大小小一正一正二定二定三相等三相等af(x)maxaf(x)mix4立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第一轮）高中总复习（第一轮）理科数学理科数学 全国版全国版在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么1.若若x,yR+,且且x+y=s,xy=p,则下列命题中则下列命题中正确的是正确的是()A.当且
5、仅当当且仅当x=y时，时，s有最小值有最小值B.当且仅当当且仅当x=y时，时，p有最大值有最大值C.当且仅当当且仅当p为定值时，为定值时，s有最小值有最小值D.若若s为定值，则当且仅当为定值，则当且仅当x=y时，时，p有最大值有最大值解：解：由均值不等式易得答案为由均值不等式易得答案为D.D5立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第一轮）高中总复习（第一轮）理科数学理科数学 全国版全国版在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么2.若若x,yR+,x+y4,则下列不等式中成则下列不等式中成立的是立的是()解：解：故选故选B
6、.B6立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第一轮）高中总复习（第一轮）理科数学理科数学 全国版全国版在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么3.设设a0，b0，则下列不等式中不成立，则下列不等式中不成立的是的是()解法解法1：由于是选择题，可用特值法，由于是选择题，可用特值法，如取如取a=4,b=1,代入各选项中的不等式代入各选项中的不等式,易判断易判断 不成立不成立.D7立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第一轮）高中总复习（第一轮）理科数学理科数学 全国版全国版在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象
7、。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 解法解法2：可逐项使用均值不等式判断可逐项使用均值不等式判断 不等式成立不等式成立;B.因为因为 相乘得相乘得 成立成立;8立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第一轮）高中总复习（第一轮）理科数学理科数学 全国版全国版在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么C.因为因为又由又由 得得 所以所以 成立成立;D.因为因为 ，所以，所以 所以所以 即即 不成立不成立,故选故选D.9立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第一轮）高中总复习（第一轮）理科数
8、学理科数学 全国版全国版在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么1.今今有有一一台台坏坏天天平平,两两臂臂长长不不等等,其其余余均均精精确确.有有人人说说要要用用它它称称物物体体的的重重量量,只只需需将将物物体体放放在在左左右右托托盘盘各各称称一一次次,则则两两次次称称量量结结果果的的和和的的一一半半就就是是物物体体的的真真实实重重量量,这这种种说说法法对对吗吗?并并说说明你的理由明你的理由.解：解：不对不对.设设左左、右右臂臂长长分分别别是是l1,l2,物物体体放放在在左左、右右托盘称得重量分别为托盘称得重量分别为a,b，真实重
9、量为，真实重量为G.题型题型1 利用均值不等式比较代数式的大小利用均值不等式比较代数式的大小10立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第一轮）高中总复习（第一轮）理科数学理科数学 全国版全国版在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么则由杠杆平衡原理有：则由杠杆平衡原理有：l1G=l2b，l2G=l1a.得得G2=ab,所以所以 .由于由于l1l2，故，故ab,由均值不等式由均值不等式 知说法不对知说法不对,真真实重量是两次称量结果的几何平均值实重量是两次称量结果的几何平均值.11立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总
10、复习（第一轮）高中总复习（第一轮）理科数学理科数学 全国版全国版在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么点点评评：本本题题考考查查均均值值不不等等式式,杠杠杆杆平平衡衡原原理理知知识识及及分分析析问问题题、解解决决问问题题的的能能力力，属属跨跨学学科科(数数学学、物物理理)的的创创新新问问题题.均均值值不不等等式式应应用用的的条条件件是是“一一正正二二定定三三相相等等”，即即两两个个数数都都为为正正数数，两两个个数数的的和和或或积积是是定定值，有相等的可取值值，有相等的可取值.12立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第
11、一轮）高中总复习（第一轮）理科数学理科数学 全国版全国版在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么13立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第一轮）高中总复习（第一轮）理科数学理科数学 全国版全国版在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么14立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第一轮）高中总复习（第一轮）理科数学理科数学 全国版全国版在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么15立足教育
12、立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第一轮）高中总复习（第一轮）理科数学理科数学 全国版全国版在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么解：解：因为因为x-1，所以，所以x+10.设设x+1=z0，则，则x=z-1.把把x=z-1代入函数式，得代入函数式，得当且仅当当且仅当z=2，即，即x=1时上式取等号时上式取等号.所以当所以当x=1时，函数时，函数y有最小值有最小值9，无最大值，无最大值.题型题型2 求函数或代数式的最值求函数或代数式的最值 2.设设x-1，求函数，求函数 的最值的最值.16立足教育立足教育 开创未来开创未来
13、 高中总复习（第一轮）高中总复习（第一轮）理科数学理科数学 全国版全国版在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么点点评评：这这是是一一类类应应用用均均值值不不等等式式求求分分式式型型函函数数的的值值域域的的题题型型，此此类类问问题题求求解解中中注注意意变变形形配配凑凑成成两两个个正正数数的的和和式式(或或积积式式)，且且它它们们的的积积(或或和和)式式为为定定值值的的形形式式，然然后后看看能能否否有有相相等等条条件件，若若有有再再利利用用均均值值不不等等式式得得出出函函数数的的最最值值；若若没没有有，则则利利用用函函数数的的单调性
14、求解单调性求解.17立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第一轮）高中总复习（第一轮）理科数学理科数学 全国版全国版在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么设设x0,y0,则则 的的最大值为最大值为_.解法解法1：因为因为x0,y0,，所以所以 当且仅当当且仅当 (即即 )时时,取得最大值取得最大值18立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第一轮）高中总复习（第一轮）理科数学理科数学 全国版全国版在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么解法解法2：
15、令令则则 当当2cos2=1+2sin2,即即 ,即即 时，时，取得最大值取得最大值 .19立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第一轮）高中总复习（第一轮）理科数学理科数学 全国版全国版在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么3.若对任意正实数若对任意正实数x、y,不等式不等式 恒成立，则恒成立，则a的最小值是的最小值是 .解：解：若不等式恒成立若不等式恒成立,则则 恒成立恒成立.所以所以因为因为 所以所以 当且仅当当且仅当x=y时取等号时取等号.所以所以a ，故，故amin=.题型题型3 用均值不等式求用均值不等式求
16、解不等式中解不等式中 的恒成立问题的恒成立问题20立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第一轮）高中总复习（第一轮）理科数学理科数学 全国版全国版在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么点点评评：求求恒恒成成立立中中的的问问题题的的方方法法比比较较多多，本本题题利利用用的的是是分分离离变变量量法法：即即一一边边为为所所求求参参数数a；另另一一边边是是其其他他参参数数的的式式子子，然然后后求求其其式式子子的的最最值值.从从填填空空题题的的角角度度来来思思考考，本本题题也也可可以以利利用用对对称称式式的的特特点点取取x=y=
17、1，由由此此猜猜想想a的的值值.21立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第一轮）高中总复习（第一轮）理科数学理科数学 全国版全国版在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么(2010 山东卷山东卷)若对任意若对任意x0，a恒成立，则恒成立，则a的取值范围是的取值范围是_22立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第一轮）高中总复习（第一轮）理科数学理科数学 全国版全国版在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么解解：因因为为 对对任任意意x0恒恒成成立
18、立，设设u=x+3，所所以以只只需需a 恒恒成立即可成立即可因因为为x0，所所以以u5(当当且且仅仅当当x=1时时取取等等号号)由由u5知知0 ，故故a .23立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第一轮）高中总复习（第一轮）理科数学理科数学 全国版全国版在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么已知已知a、b、cR,求证：求证：证明：证明：因为因为 所以所以 同理同理,三式相加得三式相加得24立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第一轮）高中总复习（第一轮）理科数学理科数学 全国版全国版在日常生活中，随处都可以
19、看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么1.均值不等式具有将均值不等式具有将“和式和式”转化为转化为“积积式式”及将及将“积式积式”转化为转化为“和式和式”的放缩功能的放缩功能.2.a2+b22ab成立的条件是成立的条件是a，bR，而，而 成立，则要求成立，则要求a0且且b0.使用时，使用时，要明确定理成立的前提条件要明确定理成立的前提条件.3.均值不等式有均值不等式有a2+b22ab，a+b 等形式，解题时要根据问题特点适当选用等形式，解题时要根据问题特点适当选用.25立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第一轮）高中总复习（第一轮）理科数学
20、理科数学 全国版全国版在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么第六章第六章 不等式不等式第 讲（第三课时）（第三课时）26立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第一轮）高中总复习（第一轮）理科数学理科数学 全国版全国版在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么题型题型6 用反证法证不等式用反证法证不等式1.已知已知a、b、c(0，1)，求证：求证：(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a不能同时大于不能同时大于 .证法证法1：假设三式同时大于假设三式同时大于
21、，即有即有(1-a)b ，(1-b)c ，(1-c)a ,三式同向相乘，得三式同向相乘，得(1-a)a(1-b)b(1-c)c .27立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第一轮）高中总复习（第一轮）理科数学理科数学 全国版全国版在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么又又(1-a)a()2=，同理，同理，(1-b)b ，(1-c)c ，所以所以(1-a)a(1-b)b(1-c)c ，因此与假设矛盾，故结论正确因此与假设矛盾，故结论正确.证法证法2：假设三式同时大于假设三式同时大于 .因为因为0a1，所以，所以1-a0，
22、28立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第一轮）高中总复习（第一轮）理科数学理科数学 全国版全国版在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么点评：点评：证明有关证明有关“至少至少”“最多最多”“唯一唯一”或含有其他否定词的命题，可采用反证法或含有其他否定词的命题，可采用反证法.反证法的证题步骤是：反设反证法的证题步骤是：反设推理推理导出导出矛盾矛盾(得出结论得出结论).所以所以 同理，同理，都大于都大于 .三式相加得三式相加得 ，矛盾，矛盾.故假设不成立，从而原命题成立故假设不成立，从而原命题成立.29立足教育立足教育
23、开创未来开创未来 高中总复习（第一轮）高中总复习（第一轮）理科数学理科数学 全国版全国版在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么30立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第一轮）高中总复习（第一轮）理科数学理科数学 全国版全国版在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么31立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第一轮）高中总复习（第一轮）理科数学理科数学 全国版全国版在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪
24、费这一点点算不了什么 题型题型7 用换元证不等式用换元证不等式2.已知已知a、bR，a2+b24，求证：求证：|3a2-8ab-3b2|20.证明：证明：因为因为a、bR，a2+b24，所以可设所以可设a=rcos,b=rsin,其中其中0r 2，所以所以|3a2-8ab-3b2|=r2|3cos2-4sin2|=r2|5cos(2+arctan )|5r220.所以原不等式成立所以原不等式成立.32立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第一轮）高中总复习（第一轮）理科数学理科数学 全国版全国版在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一
25、点点算不了什么点点评评：换换元元法法一一般般有有代代数数式式的的整整体体换换元元、三三角角换换元元等等换换元元方方式式.换换元元时时要要注注意意新新变变元元的的取取值值范范围围，以以及及换换元元后后的的式式子子的的意意义义.常常用用的的换元有：换元有：若若x2+y2=a2，可设，可设x=acos，y=asin；若若 可设可设x=acos，y=bsin；若若x2+y21，可设可设x=rcos，y=rsin(0r1).33立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第一轮）高中总复习（第一轮）理科数学理科数学 全国版全国版在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，
26、也许你认为浪费这一点点算不了什么已知已知1x2+y22，求证：，求证：x2-xy+y23.证明证明:设设x=rcos,y=rsin,且且1r2,R,则则 由由-1sin21，得，得 1-sin2 .又又1r22，所以，所以 r2(1-sin2)3，即即 x2-xy+y23.34立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第一轮）高中总复习（第一轮）理科数学理科数学 全国版全国版在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么3.求证：求证：证明：证明：令令 xR，则则yx2+yx+y=x2-x+1.于是于是(y-1)x2+(y+1)x
27、+y-1=0.(1)若若y=1，则，则x=0，符合题意；，符合题意；(2)若若y1,则则式是关于式是关于x的一元二次方程的一元二次方程.题型题型8 判别式法证不等式判别式法证不等式35立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第一轮）高中总复习（第一轮）理科数学理科数学 全国版全国版在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么由由xR，知，知=(y+1)2-4(y-1)20，解得解得 y3且且y1.综合综合(1)(2)，得，得 y3，即，即 点评：点评：与二次式有关的不等式证明，与二次式有关的不等式证明，可通过构造二次方程，然后
28、利用方程有可通过构造二次方程，然后利用方程有实数解的充要条件得出式子的取值范围，实数解的充要条件得出式子的取值范围，就是所要证明的不等式就是所要证明的不等式.36立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第一轮）高中总复习（第一轮）理科数学理科数学 全国版全国版在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么求证：求证：证明：证明：令令 则则yx2-(y+1)x+y+1=0，(1)当当y=0时，得时，得x=1，符合题意；，符合题意；(2)当当y0时，则时，则式是关于式是关于x的一元二次方程的一元二次方程.由由xR，得，得=(y+1)
29、2-4y(y+1)0，解得解得-1y ,且且y0.综合综合(1)(2),得得-1y ,所以所以37立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第一轮）高中总复习（第一轮）理科数学理科数学 全国版全国版在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么已知函数已知函数f(x)=ln(x+1)-x，若，若x-1，证明，证明:ln(x+1)x.证明：证明：令令f(x)=0，得，得x=0.当当x(-1，0)时，时，f(x)0;当当x(0，+)时，时，f(x)0.题型题型 不等式与函数的综合应用不等式与函数的综合应用38立足教育立足教育 开创未来
30、开创未来 高中总复习（第一轮）高中总复习（第一轮）理科数学理科数学 全国版全国版在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么所以所以f(x)在区间在区间(-1，0)上是增函数，上是增函数，在区间在区间(0，+)上是减函数上是减函数.所以当所以当x-1时，时，f(x)f(0)=0，即即ln(x+1)-x0，故，故ln(x+1)x.令令 则则令令g(x)=0，得，得x=0.当当x(-1，0)时，时，g(x)0;当当x(0，+)时，时，g(x)0.39立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第一轮）高中总复习（第一轮）理科数学理科数
31、学 全国版全国版在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么所以所以g(x)在在(-1，0)上是减函数，上是减函数，在在(0，+)上是增函数，上是增函数，故当故当x-1时，时，g(x)g(0)=0，即即 故故综上知，综上知，40立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第一轮）高中总复习（第一轮）理科数学理科数学 全国版全国版在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么1.在在已已知知中中如如果果出出现现两两数数相相加加等等于于一一个个正正常常数数，可可联联想想到到公公式式sin2+cos2=1，进进行行三角换元三角换元.2.含含有有字字母母的的不不等等式式证证明明，可可以以化化为为一一边边为为零零，而而另另一一边边为为某某个个字字母母的的二二次次三三项项式式，考虑判别式考虑判别式.3.有有些些不不等等式式，从从正正面面证证如如果果不不易易说说清清楚楚，可可以以考考虑虑反反证证法法.凡凡是是有有“至至少少”“唯唯一一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法或含有其他否定词的命题，适宜用反证法.41