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1、第第六六章章不不等等式式16.2 均值不等式均值不等式 考点考点搜索搜索利用基本不等式证明不等式利用基本不等式证明不等式运用重要不等式求最值运用重要不等式求最值重要不等式在实际问题中的应用重要不等式在实际问题中的应用高考高考猜想猜想 在求函数的最值和实际问题中运在求函数的最值和实际问题中运用重要不等式，选择题、填空题或解用重要不等式，选择题、填空题或解答题中均可能作为工具出现答题中均可能作为工具出现.2 一、算术平均数与几何平均数定理一、算术平均数与几何平均数定理 1.若若a0，b0，则称，则称_为两个正为两个正数的算术平均数，称数的算术平均数，称_为两个正数的几为两个正数的几何平均数何平均数
2、.2.如果如果a、b为实数，那么为实数，那么a2+b22abab_，当且仅当，当且仅当a=b时取时取“=”号号.3.如果如果a、b为正实数，那么为正实数，那么 _，当且仅当，当且仅当a=b时取等号时取等号.3 如果如果a+b为定值为定值P,那么那么ab有最有最_值，值，为为_;如果如果ab为定值为定值S,那么那么a+b有最有最_值值,为为_.这一结论称为均值定理这一结论称为均值定理.其应用其应用的三个条件依次为的三个条件依次为_、_、11 _.二、不等式恒成立问题二、不等式恒成立问题 不等式不等式af(x)恒成立，恒成立，f(x)max存在存在 12 _，不等式，不等式af(x)恒成立，恒成立
3、，f(x)min存在存在 13 _.大大小小一正一正二定二定三相等三相等af(x)maxaf(x)mix4 盘点指南：盘点指南：;大；大；;小；小；;一正；一正；二定；三相等；二定；三相等；11 af(x)max;12 af(x)min5 若若x,y ,且且x+y=s,xy=p,则下列命题中正则下列命题中正确的是确的是()A.当且仅当当且仅当x=y时，时，s有最小值有最小值 B.当且仅当当且仅当x=y时，时，p有最大值有最大值 C.当且仅当当且仅当p为定值时，为定值时，s有最小值有最小值 D.若若s为定值，则当且仅当为定值，则当且仅当x=y时，时，p有最有最大值大值 解：解：由均值不等式易得答
4、案为由均值不等式易得答案为D.D6 若若x,y ,x+y4,则下列不等式中成立的则下列不等式中成立的是是()解：解：故选故选B.B7 设设a0，b0，则下列不等式中不成立的，则下列不等式中不成立的是是()解法解法1：由于是选择题，可用特值法，由于是选择题，可用特值法，如取如取a=4,b=1,代入各选项中的不等式代入各选项中的不等式,易判断易判断 不成立不成立.解法解法2：可逐项使用均值不等式判断可逐项使用均值不等式判断 不等式成立不等式成立;8 B.因为因为 相乘得相乘得 成立成立;C.因为因为 又由又由 得得 所以所以 成立成立;D.因为因为 ，所以，所以 所以所以 即即 不成立不成立,故选
5、故选D.9 1.今有一台坏天平今有一台坏天平,两臂长不等两臂长不等,其余均精其余均精确确.有人说要用它称物体的重量有人说要用它称物体的重量,只需将物体放在只需将物体放在左右托盘各称一次左右托盘各称一次,则两次称量结果的和的一半则两次称量结果的和的一半就是物体的真实重量就是物体的真实重量,这种说法对吗这种说法对吗?并说明你的并说明你的理由理由.解：解：不对不对.设左、右臂长分别是设左、右臂长分别是l1,l2,物体放在左、右物体放在左、右托盘称得重量分别为托盘称得重量分别为a,b，真实重量为，真实重量为G.题型题型1 利用均值不等式比较代数式的大小利用均值不等式比较代数式的大小10 则由杠杆平衡原
6、理有：则由杠杆平衡原理有：l1G=l2b，l2G=l1a.得得G2=ab,所以所以 .由于由于l1l2，故，故ab,由均值不等式由均值不等式 知说法不对知说法不对,真实重量真实重量是两次称量结果的几何平均值是两次称量结果的几何平均值.点评：点评：本题考查均值不等式本题考查均值不等式,杠杆平衡原理杠杆平衡原理知识及分析问题、解决问题的能力，属跨学科知识及分析问题、解决问题的能力，属跨学科(数学、物理数学、物理)的创新问题的创新问题.均值不等式应用的条均值不等式应用的条件是件是“一正二定三相等一正二定三相等”，即两个数都为正数，即两个数都为正数，两个数的和或积是定值，有相等的可取值两个数的和或积是
7、定值，有相等的可取值.11 已知已知a、b、c都是正数，且都是正数，且a+b+c=1.求证：求证：证明：证明：因为因为 所以所以 同理，有同理，有 所以所以 但由于但由于3a+21，所以上式不能取等号，所以上式不能取等号.所以所以12 2.(1)已知已知x0,y0,且且 求求x+y的最小值的最小值;(2)已知已知x0,y0,所以所以题型题型2 求函数或代数式的最值求函数或代数式的最值13 当且仅当当且仅当 即即y=3x时时,上式等号成立上式等号成立.又又 所以所以x=4,y=12时，时，(x+y)min=16.(2)因为因为x0,所以所以 当且仅当当且仅当 即即x=1时时,上式等号成立上式等号
8、成立,故当故当x=1时，时，ymax=1.14 (3)由由2x+8y-xy=0，得，得2x+8y=xy，所以，所以 所以所以x+y=(x+y)()=10+=10+2()10+22 =18,当且仅当当且仅当 ，即，即x=2y时取等号时取等号.又又2x+8y-xy=0，所以，所以x=12,y=6,所以当所以当x=12,y=6时，时，x+y取最小值取最小值18.15 点评：点评：第第(2)小题是一类应用均值不等小题是一类应用均值不等式求分式型函数的最值的题型，此类问题式求分式型函数的最值的题型，此类问题求解中注意变形配凑成两个正数的和式求解中注意变形配凑成两个正数的和式(或或积式积式)，且它们的积，
9、且它们的积(或和或和)式为定值的形式，式为定值的形式，然后看能否有相等条件，若有再利用均值然后看能否有相等条件，若有再利用均值不等式得出函数的最值；若没有，则利用不等式得出函数的最值；若没有，则利用函数的单调性求解函数的单调性求解.第第(1)(3)小题可利用已知小题可利用已知条件转化为条件转化为(2)的形式的形式.161718 3.若对任意正实数若对任意正实数x、y,不等式不等式 恒恒成立，则成立，则a的最小值是的最小值是.解：解：若不等式恒成立若不等式恒成立,则则 恒成立恒成立.所以所以 因为因为 所以所以 当且仅当当且仅当x=y时取等号时取等号.所以所以a ，故，故amin=.题型题型3
10、用均值不等式求解不等式中用均值不等式求解不等式中 的恒成立问题的恒成立问题19 点评：点评：求恒成立中的问题的方法比求恒成立中的问题的方法比较多，本题利用的是分离变量法：即一较多，本题利用的是分离变量法：即一边为所求参数边为所求参数a；另一边是其他参数的；另一边是其他参数的式子，然后求其式子的最值式子，然后求其式子的最值.从填空题的从填空题的角度来思考，本题也可以利用对称式的角度来思考，本题也可以利用对称式的特点取特点取x=y=1，由此猜想，由此猜想a的值的值.2021 已知已知a、b、cR,求证：求证：证明：证明：因为因为 所以所以 同理同理,三式相加得三式相加得22 1.均值不等式具有将均值不等式具有将“和式和式”转化为转化为“积积式式”及将及将“积式积式”转化为转化为“和式和式”的放缩功能的放缩功能.2.a2+b22ab成立的条件是成立的条件是a，bR，而，而 成立，则要求成立，则要求a0且且b0.使用时，要使用时，要明确定理成立的前提条件明确定理成立的前提条件.3.均值不等式有均值不等式有a2+b22ab，a+b 等形式，解题时要根据问题特点适当选用等形式，解题时要根据问题特点适当选用.23