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1、前言.课程简介.学习课程的基本要求.选用教材，参考书第1页/共350页课程简介 有限元法基础这门课主要讲授有限原法的基础概念与原理，基本方法与程序（有限元）的基本使用方法，同时补充部分弹性力学的基本概念。课题讲授中心平面问题为主，重点讲授三角形单元，等参数单元求解平面问题的基本理论与方法，同时介绍有限元方程组的解法，以ANSYS程序为例讲解有限元程序的使用方法，并通过上机操作熟悉该软件。第2页/共350页 通过介绍有限元法的基本概念，理论，方法与程序，使学生能够掌握其求解力学问题的特点，解题过程，熟悉一种有限元程序，初步具备使用有限元方法解决工程设计分析问题的能力。本课程讲授的目的第3页/共3
2、50页本课程的要求1.做好笔记，及时复习与总结做好笔记，及时复习与总结2.阅读参考书籍独立上机操作阅读参考书籍独立上机操作3.独立上机操作独立上机操作第4页/共350页选用教材及参考书 机械工程中的有限元基础 高德平主编 西北工业大学出版社 参考书：有限元法 李景涌编 北京邮电大学出版社 有限单元发基本原理和数值方法 王冒城编 清华出版社弹性力学简明教程 徐芝纶 高等教育出版社 第5页/共350页.有限元法的一般概念.有限元法与其他课程之间的关系绪论第6页/共350页有限元法是求解数理方程的一种数值计算方法，是解决工程实际问题的一种有力的数值计算工具，最初这种方法被用来研究复杂的飞机结构中的应
3、力，是将弹性理论，计算数学和计算机软件有机的结合在一起的一种数值分析技术。由于这一方法的灵活，快速和有效性，是齐迅速发展成为求解各领域的数理方程 的一种通用的近似计算方法，目前已在许多学科领域 和工程问题中得到广泛的应用。常用数值分析方法：差分法，有限元法，有限体积法，边界元法 有限元法的一般概念第7页/共350页有限元法的基本思想将一个连续的求解域（连续体）离散化即分割成彼此用节点（离散点）互相联系的有限个单元，在单元体内假设近似解的模式，用有限个结点上的未知参数表征单元的特性，然后用适当的方法，将各个单元的关系式组合成包含这些未知参数的代数方程，得出个结点的未知参数，再利用插值函数求出近似
4、解。是一种有限的单元离散某连续体然后进行求解得一种数值计算的近似方法。由于单元可以被分割各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很好的适应复杂的几何形状，复杂的材料特性和复杂的边界条件，再加上它有成熟的大型软件系统支持，使它已成为一种非常受欢迎的，应用极广的数值计算方法。第8页/共350页有限元法的基本求解步骤位移型有限元法求解静力问题的一般步骤：）划分单元；）计算单元刚度矩阵；）进行载荷移置；）引入约束，解方程组求得位移；）计算应力和应变。注：若以节点力为未知参数，先求出节点处的节点力，后求位移与应力的方法，称为力型有限元法。第9页/共350页有限元法的基本概念结构离散化：1）划分网格；2）载荷移
5、置；3）简化约束。单元刚度矩阵与刚度系数：1）单元刚度矩阵物理意义为单元抵抗变形的能力；2）刚度系数的物理意义是产生单位位移时需要的力的大小。第10页/共350页有限元法与其他课程的关系力学的分类第11页/共350页各学科的任务与特点材料力学：研究杆状构件在拉压，剪切，弯曲，扭转作用 下的应力和位移。结构力学：在材料力学基础上研究杆状构件所组成的结构 例如，行架，刚架等，这些都是所谓的杆件系统。弹性力学：非杆状结构，例如板和水坝，地基等实体结构以及对杆状构件作进一步，较精确的分析。它与材 料力学的研究方法不同，主要是在材力中引入了构件形变状态或应力分布的假设 ，使数学推导大大简化，其解是理论解
6、（近似的），而弹性力学第12页/共350页则更精确一些。计算力学：是应用结构力学，弹性力学，计算数学，计算机学的一个结合，提供近似的数值计算方法，解决问题，而有限元法是其中的一种方法。上述各种方法最终目标是确立研究对象的应力，形变和位移，用以校核其是否有所需要的强度和刚度。各学科的任务与特点第13页/共350页弹性力学中的基本概念与方法.弹性力学.弹性力学中的基本假定.弹性力学中的基本概念第14页/共350页弹性力学即弹性体力学，有称弹性理论，是固体力学的一个分支，主要研究弹性体由于受外力作用或温度改变以及边界条件变化等原因发生的应力，形变和位移。第15页/共350页（1 1）假定物体是连续的
7、 假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙，这样物体内的应力，形变，位移等才可能是连续的，因而用坐标的连续函数来表示它们的变化规律。只要组成物体的微观尺寸及相林微粒之间的距离都比物体的尺寸小很多，那麽假定引起的误差就不大。（2 2）假定物体是完全弹性的 完全弹性提出是物体能完全恢复原形而没有剩余形变。这样物体在任一瞬时的形变就完全决定于它在这一瞬时所受的外力，而与它的过去受力状况无关，完全弹性体服从虎克定律；，也就是形变与引起该形变的应力呈正比（线形弹性），弹性常数不随应力或形变而变。弹性力学中的基本假定第16页/共350页（3）假定物体是均匀的也就是，整个物体由同一材料
8、组成，各部分具有相同的弹性。（4）假定物体是各向同性的即物体的弹性在各个方向都相同，这样，物体的弹性常数才不随访向而变。由于钢材作成的构件，虽然包含有各向异性的晶体，但晶体很微小，且随机排列，所以起弹性大致是相同的。符合以上四个假定的物体，就称为理想弹性体。弹性力学中的基本假定第17页/共350页弹性力学中的基本假定（5）假定位移和形变是微小的即假定物体受力后，整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。第18页/共350页弹性力学中的基本概念（1）外力 分为体积力和表面力，简称为体力和面力。体力：是分布在物体体积内的力。如重力和惯性力 (N/m3)(N/m2)第
9、19页/共350页面力：是分布在物体表面上的力。如流体压力和接触力 F F 在x x，y y，z z轴上的投影X X，Y Y，Z Z称为该物体在P P点的体力分量，以沿坐标轴正向为正，沿坐标轴负向为负。F F在x x，y y，z z轴上的投影 ，称为在P P点的面力分量，以沿坐标轴正向为正，沿坐标轴负向为负。（2 2）应力：研究物体在某一点P P的内力。研究物体在其某一点P的内力弹性力学中的基本概念第20页/共350页这个极限矢量S就是物体在截面 mn上的，在P点的应力，应力的S方向就是 Q 的极限方向。对于应力，处了推导公式外，通常不用它在坐标轴方向的分量,，因为这些分量与物体的形变或材料强
10、度都没有直接的关系。与物体的形变或材料强度直接相关的，是应力在其作用截面的法线方向的分量，也就是正应力 及剪应力 。因次（N/m*2 ）显然可见，在物体内的一点P，不同街面上的应力是不同的，为了分析这一点的应力状态，即各街面上的应力的大小和方向。弹性力学中的基本概念第21页/共350页弹性力学中的基本概念 PA=x PB=y PC=z第22页/共350页弹性力学中的基本概念例如：x是作用在垂直于x轴的面上 xy表示“x”垂直于x轴，表示“y”沿着y轴的方向 正面截面上的外法线坐标轴的正向，沿正向为正 负面截面上的外法线坐标轴的负向，沿负向为正 剪应力与材料力学的不同 第23页/共350页 六个
11、剪应力之间有一定的互等关系。例如，以ab为矩轴，可得：同理：zx=xz xy=yx 可以证明：在物体的任意一点，如果已知 x、y、z、yz、zx、xy就可求得经过该点的任意截面上的正应力和剪应力。因此，六个分量可以完全确定该点的应力状态。（3）形变：就是形状的改变，可以归结为长度和角度的改变。为了分析物体在某一点的形态状态，在这一点沿着坐标轴 x,y ,z的正方向取三个微小的线段PA，PB，PC。物体变形后，三个线段的长度及它们之间的角度都将改变。弹性力学中的基本概念第24页/共350页各线段的每个单位长度的伸缩，即单位伸缩或相对伸缩称为正应变，各线段之间直角的改变，用弧度表示，称为剪应变，分
12、别用 x ,xz表示。正应变以伸长时为正，缩短是为正。剪应变以直角变小时为正，变大时为负。可以证明，物体任意一点，如果已知了六个应变分量 x ,y ,z,yz,zx,xy 就可以求得经过该点的任意线段的正应变，也可以求得经过该点的任意两个线段之间角度的改变。因此，这六个应变，称为该点的形变分量，可以完全确定该点的形态状态。弹性力学中的基本概念第25页/共350页 （4）位移：就是位置的移动，物体内任意一点的位移，用它在x，y，z三轴上的投影u，v，w来表示，它们沿坐标轴的正向为正，负向为负。这三个投影称为该点的位移分量，因次是长度。一般而言，弹性体内任意一点的体力分量，面力分量，应力分量，形变
13、分量和位移分量，都是随着该点的位置而变的，因而都是位置坐标的函数。在弹性力学的问题里，通常已知物体的形状和大小，（即已知物体的边界），物体的弹性常数，物体所受的力，物体边界上的约束情况或面力，而应力分量，形变分量和位移分量则是需求解的。弹性力学中的基本概念第26页/共350页弹性力学中的基本概念 为了由弹性力学中的已知量求出未知量，必须建立这些已知量与未知量之间的关系，以及个未知量之间的关系，从而倒出一套求解的方程。在倒出方程时，可以从三个方面来分析：1 静力学方面，建立应力，体力，面力之间的关系 2 几何学方面，建立位移，形变，边界位移之间的关系 3 物理学方面，建立形变，应力之间的关系第2
14、7页/共350页平面问题的基本理论.平面应力问题与平面应变问题.平衡微分方程.平面问题中的点的应力状态.几何方程与刚体位移.物理方程.边界条件与圣维南原理.总结第28页/共350页平面应力问题与平面应变问题 任何一个弹性体都是空间的物体，一般的外力都是空间力系。但如果所考察的弹性体具有某种特殊的形状，并承受特殊的外力，就可以向空间问题简化成近似的平面问题，这样处理分析和计算工作量将大为减少，而所的成果却仍然可以满足工程上的精确度的要求。第29页/共350页（1）平面应力问题设有很薄的等厚度板，受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力。如，平板坝的平板支墩平面应力问题与平面应变问题第30页/共350
15、页平面应力问题与平面应变问题设板的厚度为t，以薄板的中面为xy面，因为板面上(z=t/2)不受力，所以有(z)z=t/2=0,(zx)z=t/2=0,(zy)z=t/2=0 y=0,zx=0,zy=0 六个独立 x，y，xy=yx 3个且只是x，y的函数，不随z而变化第31页/共350页（2）平面应变问题 与上相反，设有很长的柱形体，受有平行于横截面而且不沿长度变化的面力。假设该物体为无限长，可以以任意横截面为 x 轴，则所有的量都不沿 z 变化，而只是 x,y 的函数，只有 x,y 的位移而 z 向位移为 0，因为所有个点的位移矢都平行于 xy 面，称为平面位移问题，但习惯上称为平面应变问题
16、。平面应力问题与平面应变问题第32页/共350页 由对称性 zx=0,zy=0 剪应力互等 xz=0,yz=0 但由于 z 方向伸缩被阻止，z 一般不等于零。平面应力问题与平面应变问题第33页/共350页 平面应力问题与平面应变问题 从静力学角度出发介绍应力分量与体力分量之间的关系式即平衡微分方程见图：第34页/共350页 通过中心 C 并平行于 z 轴的直线为矩轴 以 x 轴为投影轴 以 y 轴为投影轴说明：（1）三个未知数 （2）平面应变问题中，z 不影响方程的建立，同样适用平面应力问题与平面应变问题第35页/共350页平面问题中的点的应力状态 继续考虑平面问题的静力学方面，假定已知任一点
17、 P出的应力分量 x，y，xy=yx，求出经过该点的平行于 z 轴而倾斜 z 于轴，y 轴的任何斜面上的应力。第36页/共350页平面问题中的点的应力状态取平面，当平面上的应力就成为点斜面的应力代表斜面的外法线方向，其方向余弦为：cos(N,x)=l,cos(N,y)=m(1)设斜面长度为ds，lds，mds ldsmds=PAB由 Fx=0 XN=l x+m xy Fy=0 YN=my+l xy(2)正应力N，剪应力为N投影关系可得：N=l XN+m YN=l 2z+m 2 y+2lm xy N=l YN m YN=lm(y x)+(l 2 m 2)xy 第37页/共350页 如果已知 点处
18、的应力分量 x，y，xy 就可以求出任意斜面上的正应力 N，剪应力 N。设经过 P 点的某一斜面上的剪应力等于零，则该斜面上的正应力称为 P 点上的一个主应力，而该斜面称为P 点的一应力主面，该斜面的法线方向（即主应力的方向）称为 P 点的一个应力主向。主应力经推导可得出：平面问题中的点的应力状态第38页/共350页 而 1与x轴的夹角为 1，则 2与x轴的夹角为 2，1与 2互相垂直 同时两个主应力也就是最大最小的正应力。最大最小的剪应力 发生在x轴与y轴成45度的斜面上。平面问题中的点的应力状态第39页/共350页几何方程与刚体位移现从几何学方面考虑平面问题，介绍形变分量与位移分量之间的关
19、系式，即几何方程。PA=dx PB=dyP,A,B,A,B 第40页/共350页几何方程与刚体位移PA的正应变不考虑y向位移v引起的PA伸缩。同理PB的正应变PA与PB间直角的改变，即剪应变：xy由两部分组成 (1)由y向位移v引起的，即x向PA的转角(2)由x向位移u引起的，即y向PB的转角第41页/共350页几何方程与刚体位移，减小为正剪应变则上式为几何方程：平动，转动第42页/共350页 由上式可知：位移分量完全确定时，形变分量完全确定，反之则不成立。其原因是存在与形变无关的位移，因此必然是刚体位移。既然物体在形变为零时可以有刚体位移，可见，当物体发生一定形变时，由约束条件的不同，它可能
20、有不同的刚体位移，因而它的位移并不是完全确定的。在平面问题中，存在两个刚体位移，一个转动位移。因而为了完全确定位移，就必须有三个适当的约束条件来确定这三个常数。几何方程与刚体位移第43页/共350页物理方程物理学方面，介绍形变分量与应力分量之间的关系式，即物理方程。其中：弹性模量（拉压）弹性模量（剪切）泊松常数（泊松比）第44页/共350页在应变问题中 如将 即可得相同方程物理方程第45页/共350页以上我们介绍了 8 个方程，可当作平面问题中的基本方程。2 个平衡微分方程 3 个几何方程 3 个物理方程 集中包含 8 个未知数：应力：3 个 形变：3 个 位移：2 个 因此在适当的边界条件下
21、，从基本方程中求解未知函数是可能的。物理方程第46页/共350页边界条件与圣维南原理 边界 位移边界：应力边界：混合边界：既有位移，又有应力 第47页/共350页边界条件与圣维南原理 前提：（1）求解弹力问题时，使应力分量，形变分量，位移分量完全满足 基本方程并不困难，但使边界条件得到完全满足却有很大困难。（2）在实际问题中，在物体的一小部分边界上，仅知道面力的合力，而面力分部方式不明确，无从考虑边界条件。因而，圣维南原理指出：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换成为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对同一点的主矩也相同）那麽近处的应力分布将显著的改变，但远处所受的影响可以不计。第48页
22、/共350页边界条件与圣维南原理第49页/共350页圣维南原理也可陈述成：如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主矢及主矩都等于零），那麽，这个面力就只会使得近处产生显著的应力，而远处的应力可以不计。边界条件与圣维南原理第50页/共350页总 结（1）有限元的基本概念（2）弹性力学的基本假定，基本概念与基本方程 第51页/共350页平面问题的有限元法.引言.位移函数.位移函数的一般形式.三节点三角形单元的位移函数.位移函数及其性质.位移函数与解的收敛性.单元刚度方程.基本方法.三角形平面单元的单元刚度矩阵.单元刚度矩阵的性质第52页/共350页平面问题的有限元法.载荷移置与等效节点载荷.
23、非节点载荷的移置.载荷移置的普遍公式.载荷移置举例.，.（自学）.结构刚度方程.集合的基本原则.结构刚度的建立.形成总刚的常用方法.总刚的性质及其应用第53页/共350页平面问题的有限元法.位移边界条件的处理.总刚的奇异性.处理位移边界条件的常用方法.应力计算.基本公式.变温应力的计算.应力的表示方法.主应力和主方向.解题示例与公式推广.解题示例第54页/共350页平面问题的有限元法.位移型有限元法求解线弹性静力问题的普遍公式.斜边界问题的处理.六节点三角形单元第55页/共350页引言一为什么先进行平面问题的有限元法：.平面问题的有限元分析较简单，具有典型性.在工程应用中有其实际意义，主要表现
24、在在满足工程精度的要求下，降低问题的复杂性，提高分析问题的效率。.平面问题的有限元分析是今后进一步分析轴对称问题，三维问题及板壳问题的基础。从平面问题的有限元法分析入手，可有利于有限元基本概念、方法、理论的理解与掌握。第56页/共350页引言二选用的单元类型及特点进行平面问题研究时，选用三角形单元较简单。三节点的三角形单元又是最简单而又被广泛采用的一种单元类型。由于在平面问题分析中，结构发生的是平面变形，三角形的三个节点可以看作是平面铰，每个节点具有两个自由度，这样共有个节点个自由度，如果节点位移或其中某一个分量为零时，可在该节点处设置一个平面铰支座或连杆支座，以限制其位移。由三角单元离散的结
25、构是由三角形单元的节点铰接而成的。第57页/共350页引言三三角形单元的网格剖分原则.各节点必须相连。如图所示中（a）是正确的，而（b）是错误的。第58页/共350页引言.三角形单元不能奇异，也就是三角形单元中的三个边长不能相差太大，或者有过大的钝角或过小的锐角，如图示第59页/共350页引言.单元的大小，数目取决于计算精度的要求和计算容量的限制分网时首先要满足计算精度的要求，同时可利用结构的对称性，循环对称性的特点，从厚结构中取出一部分进行分析，或者对有应力集中的构件，采用疏密不同的网格剖分。也可以采用子结构法。第60页/共350页引言.同一单元内的结构，几何特性与材料特性相同，也就是不要把
26、厚度不同或材料不同的区域划分在同一个单元里。第61页/共350页引言四节点编号的约定.节点编号分为局部节点编号和总体节点编号两种如下图中的矩形，分为个节点，个单元，其中，为总体节点编号。而对于任一单元 中，为局部节点编号，在公式推导中用i，j，m编号我们约定其为逆时针顺序。这主要是因为要保证用i，j，m节点计算的单元面积为正值，如下图：第62页/共350页引言.相邻节点号的差值要尽可能小。如图 最大差值为5 最大差值为4 第63页/共350页引言五三角形单元划分的示例第64页/共350页位移函数结构离散化后，要对单元进行力学特性分析，也就是确定单元节点力与节点位移之间的关系，这时就需要把单元内
27、的任一点的位移分量表示成坐标的某种函数。这种函数就叫位移函数。第65页/共350页位移函数位移函数的一般介绍.定义：把单元中任一点的位移分量与坐标的函数关系叫位移函数或叫位移模式。第66页/共350页位移函数.选择位移函数的原因（）决定了单元的力学特性。（意义）（）反映了单元的位移形态。（物理意义）（）它是利用位移法求解问题的开始。（基础）第67页/共350页位移函数.位移函数必须具备的条件（）在节点上的值应等于节点的位移（）所采用的函数必须保证有限元的解收敛于真实解第68页/共350页位移函数的一般形式位移函数一般为多项式形式，这样处理是从两方面出发的（）进行数学运算（如微分，积分）较简单（
28、）任意阶次的多项式可以近似地表示精确解，其一般形式为：u=u(x,y)=1+2x+3y+4x2+5xy+6y2+mynv=v(x,y)=m+1+m+2x+2myn （-）式中:,其中1 m为待定系数。式中的也称为广义坐标，这种描述方式又称为广义坐标形式。（一维形式多项式u(x)=1+2x+x2+nxn）第69页/共350页位移函数的一般形式（-）式也可以参照帕斯卡三角形来确定第70页/共350页三节点三角形单元的位移函数.位移函数形式就是最简单的情况而言，可以选取位移为坐标的线性函数形式，也就是：u(x,y)=1+2x+3yv(x,y)=4+5x+6y （-）对于图.中的三角形单元，为了确定（
29、-）式中的待定系数16，可以将节点i，j，m的位移值及坐标值代入上式，得到方程组：u=1+2xi+3yiu=1+2xi+3yi（i=i，j，m）（-）式中ui，vi节点位移 xi，yi节点坐标第71页/共350页三节点三角形单元的位移函数这是一个一阶线性方程组，在求解之前，回顾一下来克姆法则第72页/共350页三节点三角形单元的位移函数.克来姆法则设有一线性方程组：a11x1+a12x2+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+a2nxn=b2an1x1+an2x2+annxn=bn （a11 ann系数）当其系数行列式不等于零时 上述的方程组有唯一解：（j，n）其中是将中第j列元素替换为右
30、端项而得到的行列式第73页/共350页三节点三角形单元的位移函数.待定系数1 的求解如果用节点位移（ui,vi）,（uj,vj）,（um,vm）及节点坐标（xi,yi）,（xi,yi）,（xi,yi）代入（2-3）式可以得到：ui=1+2xi+3yi uj=1+2xj+3yj um=1+2xm+3ym vi=1+2xi+3yi vj=1+2xj+3yj vm=1+2xm+3ym第74页/共350页三节点三角形单元的位移函数由克来姆法则可知：当2 0，上述方程有唯一解：第75页/共350页三节点三角形单元的位移函数为了描述方便，引入系数 ai=xj ym-xmyj bi=yj-ym ci=-xj
31、+xm aj=xmyi-xi ym bj=ym-yi cj=-xm+xi am=xi yj-xj yj bm=yi-yj cm=-xi+xj第76页/共350页三节点三角形单元的位移函数代入上式后可以得到第77页/共350页三节点三角形单元的位移函数另外，由解析几何知识可以知道等于三角形i,j,m的面积，为了使面积不出现定值，我们规定i,j,m顺序必须按照逆时针方向排列。第78页/共350页三节点三角形单元的位移函数.位移函数的插值函数形式假设这样一个函数：(i=i,j ,m)代入（-）式后可得u=iui+juj+mum v=ivi+jvj+mvm 式中：i，j，m被称为单元的形状函数，简称形
32、函数或插值函数。第79页/共350页三节点三角形单元的位移函数把（-）式写成矩阵形式：简写为：f=Ne（-）第80页/共350页三节点三角形单元的位移函数式中的矩阵反映了单元的位移形态，又是坐标的函数，我们称之为形函数矩阵，这种描述方式称为位移函数的插值函数形式。通过上面的推导，我们得到了两种形式的位移函数，（-）（-）后一种描述更简单，更直观，通常采用。这样我们就建立了单元中任一点的位移和单元节点位移之间的关系。第81页/共350页位移函数及其性质当节点位移一定时，单元形态完全决定于i，j，m这时形函数就具有如下的性质：.形函数i在节点i处的值为，而在其他两个节点（j，m）处的值为零。即：i
33、（xi，yi）=1 而i（xj，yj）=i（xm，ym）=0同样的j（xi，yi）=0 j（xj，yj）=1 i（xm，ym）=0 m（xi，yi）=0 m（xj，yj）=0 m（xm，ym）=1 第82页/共350页位移函数及其性质.在单元任一节点处，三个形函数之和等于。证明如下：i（x，y）+j（x，y）+m（x，y）=（ai+bix+ciy+aj+bjx+cjy+am+bmx+cmy）（）=（ai+aj+am）+（bi+bj+bm）x+（ci+cj+cm）y（）=（+0+0）/（）=1此外，形函数与位移函数是同样类型的函数。如：位移函数u=1+2x+3y形函数i=（ai+bix+ciy）
34、（）第83页/共350页位移函数与解的收敛性选择位移函数时，为保证有限元法的收敛性，必须满足以下个条件：.位移函数必须包含单元的常量应变.位移函数必须包含单元的刚体位移.位移函数在单元内部必须是连续函数（连续性要求）.位移函数应使得相邻单元间的位移协调（保续性要求）上述四个条件中，若全部满足，这样的位移函数构成的单元称为协调单元，若只满足前三条，则称为非协调单元第84页/共350页位移函数与解的收敛性下面我们用以下四个条件来考察三角形常应变单元的位移函数（）由=x ,y,xyT=2,6,5+3 T 因2,6,5+3都是常数，与某坐标无关，因此含有常应变项（）将位移函数可改写成第85页/共350
35、页位移函数与解的收敛性当发生刚体位移时：x=x=xy=0也就是2=6=5+3=0这时：其中u0,v0为平动位移分量。0为单元绕垂直于x，y平面的轴线作刚体转动时的角位移，它表示了刚体位移。第86页/共350页位移函数与解的收敛性（）位移函数（-）或是x，y的单值连续函数，故满足连续性要求。（）位移函数（-）式是线性函数，由于相邻单元在公共节点处的位移值相等，而通过两个节点可以连成一直线，其连线上的位移相同，因此边界上各点的位移是连续的，不会出现：综上所述，三角形常应变单元属于协调元第87页/共350页单元刚度方程对单元进行力学特性分析目的在于确定单元节点力与节点位移的关系，并称之为单元刚度方程
36、：e e=e式中：e，e 单元节点力及节点位移列阵e 单元刚度矩阵基本方法第88页/共350页基本方法建立上述方程时可采用的方法（）直接刚度法（）虚位移原理或最小势能原理位移型有限元（）余虚功原理或最小余能原理力法有限元（）变分法（非结构问题）第89页/共350页基本方法单元特性分析的步骤（）假设位移函数（）建立应力，应变与节点位移间的关系（）由能量原理，建立单元节点力与节点位移间的关系（）得到单元刚阵第90页/共350页三角形平面单元的单元刚度矩阵（）上节的知识可以知道位移函数为：u=iui+juj+mum v=ivi+jvj+mvm式中i=（ai+bix+ciy）（）（i=i,j,m）（）
37、应力应变与节点位移的关系对三节点三角形单元，节点位移e=ui,vi,uj,vj,um,vmTFe=Fix,Fiy,Fjx,Fjy,Fmx,FmyT第91页/共350页三角形平面单元的单元刚度矩阵由弹力知识可知，几何方程为：第92页/共350页三角形平面单元的单元刚度矩阵令：=Bi ,Bj ,Bm且（i=i,j,m）方程可简写为：=e第93页/共350页三角形平面单元的单元刚度矩阵我们称单元的几何矩阵，其物理意义反映了单元任一点的应变与单元位移之间的关系。对于一个给定的单元，节点坐标一定，系数bi，ci也随之确定，也为常数，所以几何矩阵为常量矩阵，这也证明节点三角形单元是一种常应变单元。由弹性理
38、论中关于平面问题的物理方程可知，当不考虑变温影响时，单元中任一点的应力为:=D式中为弹性矩阵，反映了单元材料方面的特性。第94页/共350页三角形平面单元的单元刚度矩阵由上面应变与节点位移之间的关系代入后可得=D=DBe若令S=DB则=Se式中，S称为单元的应力矩阵物理意义：反映了单元中任一点的应力与节点位移之间的关系，对于节点三角形单元D，B为常量矩阵，S也为常量矩阵，这种常应变单元，也是一种常应力单元，回顾一下，平面应力问题：第95页/共350页三角形平面单元的单元刚度矩阵而对于平面应变问题如果采用：代入第96页/共350页三角形平面单元的单元刚度矩阵两种问题具有相同的描述形式，只是对材料
39、的弹性模量与泊松比进行相应的代换，则在计算中可以采用同样形式的弹性矩阵。（）单元节点力与节点位移之间的关系在位移型有限元法中，对单元的力学特性分析，最终是需要建立节点位移和节点力之间的关系，也就是确定单元的刚度矩阵。应用虚位移原理来建立这种关系式。设某单元发生一虚位移，则该单元各节点上的虚位移为e，相应地单元内任一点处的虚应变为：。根据与间的关系有：=B e 第97页/共350页三角形平面单元的单元刚度矩阵这时单元体在节点力作用下处于平衡状态，根据虚位移原理，当虚位移发生时节点力在虚位移上所做的功等于单元的虚应变能，即：式中：e为单元的体积，上式称为单元的虚功方程。把=DBe和=B e代入上式
40、得由于节点位移e及节点虚位移e均为常量，提出积分外，有：第98页/共350页三角形平面单元的单元刚度矩阵进一步可得：令：则上式可写为求得了我们所要的形式的方程，称之为单元刚度方程，式中的e称为单元的刚度矩阵，反映了节点力与节点位移之间的关系。同样，可采用最小势能原理来建立单元节点力与节点位移的关系式。我们得到的单元刚度矩阵e是普遍公式，适用于各种类型的单元，对于三角形常应变单元的具体表达式，显式是什么第99页/共350页三角形平面单元的单元刚度矩阵（）三角形常应变单元刚度矩阵的显式：由于普遍公式中，均为常量矩阵，可以提出积分符号，而d是单元的微元体体积且d=t dx dy式中t为单元的厚度，同
41、一单元，厚度t为常数，故单元体积（为单元的面积）普遍公式就可写为：为了便于计算利用B=Bi Bj Bm将上式展开第100页/共350页三角形平面单元的单元刚度矩阵第101页/共350页三角形平面单元的单元刚度矩阵式中子刚阵为：Krs=tBrTDBs （r,s=i,j,m）Krs是一个阶矩阵，因此三角形常应变单元的刚度方程为的方程，也就是单刚阶数单元的自由度数。对与平面应力问题：将：B=Bi Bj Bm及代入第102页/共350页三角形平面单元的单元刚度矩阵（r,sr,s=i,j,mi,j,m）第103页/共350页三角形平面单元的单元刚度矩阵简写为：相应的：第104页/共350页三角形平面单元
42、的单元刚度矩阵由上述公式可知：单刚决定于单元的形状，大小，方向和材料性质无关单元平移或坐标轴改变第105页/共350页单元刚度矩阵的性质（）单元刚度矩阵是对称矩阵（）单元刚度矩阵的主对角元素恒为正值（）单刚为奇异阵（）单元刚度仅与单元的几何特性（）及材料特性有关（）而与外力无关。上述四条性质，与杆系的单刚性质相同第106页/共350页载荷移置与等效节点载荷.由于在进行有限元分析中，单元和单元之间仅通过节点相互联系当外载不是直接作用在节点上，那么需要将非节点载荷向节点移置，也就是真实外载（理想化）节点上的集中载荷移置后的载荷称之为等效节点载荷非节点载荷移置第107页/共350页非节点载荷移置.结
43、构的非节点载荷移置将各单元所受的非节点外载荷分别移置到各单元的相应节点上，在公共节点处应用载荷叠加原理，就可以得出.载荷移置的原则能量等效的原则单元的实际载荷与移置后的等效节点载荷在相应的虚位移上所做的虚功相等。.单元载荷移置的方法（）直接法：利用能量等效原则，直接进行单元载荷移置只适用于线性位移函数的单元第108页/共350页非节点载荷移置（）普遍公式法：根据能量等效原则，推导出普遍公式适用于各种类型的单元说明：由圣维南原理可知，载荷移置后，只会在结构的局部产生误差。对整个结构的变形或应力状态的影响不大，由于有限元分析中，单元一般都很小，移置的结果不会带来很大的误差。第109页/共350页载
44、荷移置的普遍公式.集中力的移置公式：设（）单元i,j,m中任意一点（x，y）作用集中载荷P=Px，Px（）各节点上的等效节点载荷向量为：Re=Rix,Riy,Rjx,Rjy,Rmx,Rmy（）发生微小位移时，集中力作用点相应的虚位移为：f*=u,v（）各节点相应的虚位移为：*e=ui*,vi*,uj*,vj*,um*,vm*第110页/共350页载荷移置的普遍公式推导：（）根据单元内位移与节点位移关系 f=u,v=N e f*=N*e P（）根据能量等效原则：*e Re=f*P *e Re=(N *e)P=*e NP Re=NP 这就是集中力的移置公式，式中为单元的形函数矩阵。第111页/共3
45、50页载荷移置的普遍公式.体力g的移置公式设：单元ijm上作用有体力g=gx,gy 推导（）将单元体tdxdy上的体积力gdxdy当作集中力，应用集中力的移置公式Re=NP 有微元体上dRe=N g tdxdy（）积分在整个单元上有 Re=N g tdxdy=t N g dxdy第112页/共350页载荷移置的普遍公式3.表面力q的移置公式设单元ijm的jm边上作用有表面力q=qx，qy可将微元面积上tds上的面力qtds当作集中力则Re=sjmdRe=sjm qt ds=tsjm q ds上述公式适用于任何单元及任意坐标方向。第113页/共350页载荷移置举例以单元自重（或作用在单元形心处的
46、集中力）为例。设一个均质等厚的三角形单元ijm，其厚度为t，面积为，材料比重为，则单元的自重为：W=t,且其作用在单元形心c处第114页/共350页载荷移置举例思路：（）欲求哪个节点在哪个方向上的载荷分量，就在该方向加一单位虚位移，其他自由度为。（）利用线性位移函数的特点导出几何关系。（）根据能量等效原则列出虚功相等，解出节点载荷分量第115页/共350页载荷移置举例.直接法求解先求，i在y方向的等效节点载荷设 vi*=1 而ui*=uj*=vj*=um*=vm*=0相当于上图由于，单元具有线性位移函数，当vi*=1时变形情况见上图jm边不动，点b亦不动，由几何关系可知：第116页/共350页
47、载荷移置举例又根据能量等效原则：式中“”号表示与y轴方向相反 同理可得：第117页/共350页载荷移置举例类似可以得出：各节点沿x方向的等效节点载荷Rix=Rjx=Rmx=0Re=Rix,Riy,Rjx,Rjy,Rmx,RmyT =-t 0 1 0 1 0 1 T/3上式也表明对三角形单元（均厚，等厚）所受重力，只需将自重平均的移置到节点上，方向与重力方向相同。第118页/共350页载荷移置举例.普遍公式法求解对于此处为集中力P=0 -W T作用在形心c处由Re=N T P可知第119页/共350页载荷移置举例可以证明：在三角形形心c处，有Ni=Nj=Nm=1/3代入上式可得 Re=-W0 1
48、 0 1 0 1 T/3=-t 0 1 0 1 0 1 T/3可见采用上述两种方法移置的结果相同说明：单元具有线性位移函数时，采用直接法移置较简单单元具有非线性位移函数时，只能采用普遍公式法进行。第120页/共350页面积坐标面积坐标是利用三角形的面积关系表示三角形单元任一点位置的一种方法。优点：简明，方便。第121页/共350页面积坐标对于图中三角形单元任一点P（x ,y）可用下三个比值来确定：Li ,Lj ,Lm 称为P点的面积坐标，显然面积坐标具有以下性质：性质.Li+Lj+Lm=1 （i+j+m=）性质.平行于三角形jm边的直线上所有点其Li相同 AB变化时，hi不变,故i不变，Li
49、不变第122页/共350页面积坐标性质.Li=1 Lj=0 Lm=0 （i）Li=0 Lj=1 Lm=0（j）Li=0 Lj=0 Lm=1（m）性质.Li=Lj=Lm=1/3在三角形形心处面积坐标与形函数的关系：第123页/共350页面积坐标同理：Lj=Nj ，Lm=Nm 所以，面积坐标与形函数相同（量值）但意义不同第124页/共350页结构刚度方程通过单元特性分析，可建立单元刚度矩阵Ke通过单元载荷移置，可建立节点载荷列阵Re 从而得到单元刚度方程 Kee=Fe 集合成结构刚度方程的三个方面的内容是：（）单元的节点位移e 结构的节点位移列阵 （）单元的节点载荷列阵Re 结构的节点载荷列阵R
50、（）单元的单刚Ke 结构的总刚K 得到 K =R（2-45）第125页/共350页结构刚度方程上为结构刚度方程，表示了节点载荷与节点位移间的关系，是一个以节点位移为未知量的线形代数方程组，可求得，进一步求出应变，应力。第126页/共350页集合的基本原则（）在相互连接的公共节点处，各单元的节点位移必须相等，即必须满足变形协调条件。i=i=i=i 所以，节点位移不须按单元来区分。第127页/共350页集合的基本原则（）公共节点处，各单元对节点的作用力，与作用在该节点上的外载荷Ri之间，必须满足静力平衡条件。Ri=Fi+Fi+Fi+Fi所以，若Ri=0，则有Fi+Fi+Fi+Fi=0第128页/共