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1、等差数列保康县第一保康县第一中学中学 复习 数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项），且任一项与它如果已知数列的第一项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项的）间的关系可以用一个公式来表示，的前一项（或前几项的）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就那么这个公式就 叫做叫做这个数列的递推公式这个数列的递推公式。观察以下数列，看这些数列有什么共同特点？观察以下数列，看这些数列有什么共同特点？我们看到：我们看到：对于数列（对于数列（4），从第，从第2项开始，项开始，每一项每一项与与前一项的前一项的差都等于差都等于0.对于数列（对于数列（1），从第，从第2项开始，项开始，每一项每
2、一项与与前一项的前一项的差都等于差都等于1;对于数列（对于数列（2），从第，从第2项开始，项开始，每一项每一项与与前一项的前一项的差都等于差都等于2;对于数列（对于数列（3），从第，从第2项开始，项开始，每一项每一项与与前一项的前一项的差都等于差都等于-3-3;(1)1,2,3,4,5,6;(2)38,40,42,44,46,48,50,52,54,56;(3)10,7,4,1,-2,-5 (4)2,2,2,2,2,2,以上数列以上数列,从第从第2 2项开始项开始,每一项与前一项的差等于一个常数每一项与前一项的差等于一个常数定义：定义：一般的，如果一个数列从第一般的，如果一个数列从第2项起，每
3、一项与前一项的项起，每一项与前一项的差都等于同一个差都等于同一个常数常数，那么这个，那么这个 数列就叫做等差数列，这数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。表示。a2-a1=da3-a2=dan-an-1=da4-a3=da2=a1+da3=a2+d=a1+2da4=a3+d=a1+3dan=a1+(n-1)dan=a1+(n-1)d等差数列等差数列的通项公的通项公式式当当n=1n=1时，等式也成立时，等式也成立。a an+1n+1-a-an n=d=d例例1（1）求等差数列）求等差数列8，5，2，的第的第20项项 （2）4
4、01是不是等差数列是不是等差数列5，9，13，的项？如果是，是第几项？的项？如果是，是第几项？解：解：（1）由a1=8,d=5-8=-3,n=20,得a20=(2)由a1=8,d=9(5)=4,得到这个数列的通项公式为an=54（n1）由题意知，问是否存在正整数n，使得401 54（n1）成立解关于n的方程，得n100即401是这个数列的第100项。8 8+(20-1)(20-1)（3 3）=-49=-49（1）求等差数列）求等差数列3，7，11，的第的第4项与第项与第10项项解：解：（1）由a1=3,d=7-3=4,得a4=3+(41)4=15 （2）100是不是等差数列是不是等差数列2，9
5、，16，的项？如的项？如果是，是第几项？果是，是第几项？练习练习a10=3+(101)4=39(2)由a1=2,d=92=7,得到这个数列的通项公式为an=2（n1）7由题意知，问是否成在正整数n，使得100 2（n1）7 成立解关于n的方程，得n15即100是这个数列的第15项。例2 在等差数列aan n 中，已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d.解：由题意知，a5=10a a1+4da12=31a a1+11d解得:a a1=-2d=3即等差数列的首项为-2,公差为3练习练习(1)(1)已知已知a a4 4=10,a=10,a7 7=19,=19,求求a a1 1与与d.d.在
6、等差数列在等差数列aan n 中，中，(2)(2)已知已知a a3 3=9,a=9,a9 9=3,=3,求求d d与与a a1212.解：(1)由题意知，a4=10a a1+3da7=19a a1+6d解得:a1=11d=3即等差数列的首项为1,公差为3(2)由题意知，a3=9a a1+2da9=3a a1+8d解得:a1=1d=-1所以：a12=a a1+11d1111(-1)=0讨论：讨论：3.3.从数列从数列2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,a2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,a5n5n中抽出所中抽出所有项数为有项数为5 5的倍数的各项，组成新的数列的倍数的各项，组成
7、新的数列a a5 5,a,a1010,a a1515,a,a5n5n,这个新数列这个新数列bbn n 是等差数列吗？如果是，是等差数列吗？如果是，它的首项和公差是多少？它的首项和公差是多少？2.2.在等差数列在等差数列a,A,ba,A,b中中,A,A与与a,ba,b有什么关系？有什么关系？(1(1）数列中，第）数列中，第n n项与第项与第m m项有什么关系？项有什么关系？(2)(2)数列中，数列中，a an n与与a an+1n+1,a,an-1n-1的关系？的关系？1.1.已知无穷等差数列已知无穷等差数列aan n 中中,首项为首项为a a1 1，公差，公差为为d,d,(1(1）数列中，第）
8、数列中，第n n项与第项与第m m项有什么关系？项有什么关系？(2)(2)数列中，数列中，a an n与与a an+1n+1,a,an-1n-1的关系？的关系？1.1.已知无穷等差数列已知无穷等差数列aan n 中中,首项为首项为a a1 1，公差为，公差为d,d,an=am+(n-m)d解解:(1)依题得,a an n-a-an-1n-1=d=da am m=a=a1 1+(m-1)d+(m-1)d(2)依题得,a an n=a=a1 1+(n-1)d+(n-1)da an+1n+1-a-an n=d=d2.2.在等差数列在等差数列a,A,ba,A,b中中,A,A与与a,ba,b有什么关系？
9、有什么关系？A-a=b-A解解:依题得,所以,A=(a+b)/2A为a,b的等 差 中 项 3.3.从数列从数列2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,a2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,a5n5n中抽出所中抽出所有项数为有项数为5 5的倍数的各项，组成新的数列的倍数的各项，组成新的数列a a5 5,a,a1010,a a1515,a,a5n5n,这个新数列这个新数列bbn n 是等差数列吗？如果是，是等差数列吗？如果是，它的首项和公差是多少？它的首项和公差是多少？2 2 3 3 4 4 5 57 76 68 8 9 9a a5n5n1010111116162121a a5(n+
10、1)5(n+1)anb bn n 所以所以,数列数列bbn n 为等差数列为等差数列,首项首项b b1 1=a=a5 5=6,=6,公差公差d=ad=a10 10 a a5 5=5=5序号132475869 105n今天我们学了一些什么?等差数列中第等差数列中第m m项与第项与第n n项的关系项的关系a an n=a=am m+(n-m)d+(n-m)d.等差数列的定义等差数列的定义 a an+1n+1-a-an n=d=d等差数列中的等差中项等差数列中的等差中项A=(a+b)/2A=(a+b)/2等差数列的通项公式等差数列的通项公式a an n=a=a1 1+(n-1)d+(n-1)d作业作业:课本课本 P P114 T T1,2