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1、第十章对坐标的曲线积分第一页，本课件共有24页一、一、对坐标的曲线积分的概念与性质对坐标的曲线积分的概念与性质1.问题问题:变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B,求移“大化小”“常代变”“近似和”“取极限”变力沿直线所作的功解决办法:动过程中变力所作的功W.第二页，本课件共有24页1)“大化小大化小”.2)“常代变常代变”把L分成 n 个小弧段,有向小弧段近似代替,则有所做的功为F 沿则用有向线段 上任取一点在第三页，本课件共有24页3)“近似和近似和”4)“取极限取极限”(其中 为 n 个小弧段的 最大长度)第四页，本课件共有2
2、4页2.定义定义第五页，本课件共有24页类似地定义类似地定义存在条件：存在条件：第六页，本课件共有24页组合形式组合形式推广推广第七页，本课件共有24页性质性质说明说明:对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向方向!定积分是第二类曲线积分的特例.第八页，本课件共有24页二、对坐标的曲线积分的计算二、对坐标的曲线积分的计算定理定理第九页，本课件共有24页一代、二换、三定限一代、二换、三定限曲线积分化成参变量的定积分曲线积分化成参变量的定积分代代将将 L 的参数方程代入被积函数的参数方程代入被积函数换换定限定限下限下限起点参数值起点参数值上限上限终点参数值终点参数值第十页，本课件共有24页特殊情形特
3、殊情形第十一页，本课件共有24页第十二页，本课件共有24页三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的参数方程为已知L切向量的方向余弦为则两类曲线积分有如下联系第十三页，本课件共有24页类似地,在空间曲线 上的两类曲线积分的联系是令记 A 在 t 上的投影为有向曲线元第十四页，本课件共有24页例例1.计算其中L 为沿抛物线解法解法1 取 x 为参数,则解法解法2 取 y 为参数,则从点的一段.第十五页，本课件共有24页例例2.计算其中 L 为(1)半径为 a 圆心在原点的 上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点 A(a,0)沿 x 轴到点 B(a,0)
4、.解解:(1)取L的参数方程为(2)取 L 的方程为则则第十六页，本课件共有24页例例3.计算其中L为(1)抛物线 (2)抛物线 (3)有向折线 解解:(1)原式(2)原式(3)原式第十七页，本课件共有24页思考题思考题思考题解答思考题解答曲线方向由参数的变化方向而定曲线方向由参数的变化方向而定.第十八页，本课件共有24页例例4.求其中从 z 轴正向看为顺时针方向.解解:取 的参数方程(空间曲线的参数表示)第十九页，本课件共有24页选择选择例例5.将积分化为对弧长的积分,解：解：其中L 沿上半圆周第二十页，本课件共有24页小结小结1、对坐标曲线积分的概念、对坐标曲线积分的概念2、对坐标曲线积分的计算、对坐标曲线积分的计算3、两类曲线积分之间的联系、两类曲线积分之间的联系第二十一页，本课件共有24页作业作业 P141 3 (2),(4),(6);4 (1),(3)第二十二页，本课件共有24页设曲面的方程为：如图，重积分的应用：曲面的面积第二十三页，本课件共有24页曲面S的面积元素设曲面的方程为：曲面面积公式为：设曲面的方程为：曲面面积公式为：同理可得第二十四页，本课件共有24页