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1、第六讲 立体几何新题型的解题技巧考点1 点到平面的距离例1(2007年福建卷理)如图,正三棱柱的所有棱长都为,为中点ABCD()求证:平面;()求二面角的大小;()求点到平面的距离QBCPADOM例2.( 2006年湖南卷)如图,已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2,AB=4.()证明PQ平面ABCD;()求异面直线AQ与PB所成的角;()求点P到平面QAD的距离.考点2 异面直线的距离例3 已知三棱锥,底面是边长为的正三角形,棱的长为2,且垂直于底面.分别为的中点,求CD与SE间的距离.考点3 直线到平面的距离例4 如图,在棱长为2的正方体中,G是的中点,求BD到平面的
2、距离.BACDOGH考点4 异面直线所成的角例5(2007年北京卷文)如图,在中,斜边可以通过以直线为轴旋转得到,且二面角的直二面角是的中点(I)求证:平面平面;(II)求异面直线与所成角的大小例6(2006年广东卷)如图所示,AF、DE分别是O、O1的直径.AD与两圆所在的平面均垂直,AD8,BC是O的直径,ABAC6,OE/AD.()求二面角BADF的大小;()求直线BD与EF所成的角.考点5 直线和平面所成的角例7.(2007年全国卷理)四棱锥中,底面为平行四边形,侧面底面已知,()证明;()求直线与平面所成角的大小考点6 二面角例8(2007年湖南卷文)ABCQP如图,已知直二面角,直
3、线和平面所成的角为(I)证明; (II)求二面角的大小例9( 2006年重庆卷)如图,在四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,DAB为直角,ABCD,AD=CD=2AB, E、F分别为PC、CD的中点.()试证:CD平面BEF;()设PAkAB,且二面角E-BD-C的平面角大于,求k的取值范围.考点7 利用空间向量求空间距离和角例10(2007年江苏卷)如图,已知是棱长为的正方体,点在上,点在上,且(1)求证:四点共面; (2)若点在上,点在上,垂足为,求证:平面; (3)用表示截面和侧面所成的锐二面角的大小,求例11(2006年全国卷)如图,l1、l2是互相垂直的两条异面直线,MN是它们的公
4、垂线段,点A、B在l1上,C在l2上,AM=MB=MN(I)证明ACNB;(II)若,求NB与平面ABC所成角的余弦值.考点8 简单多面体的有关概念及应用,主要考查多面体的概念、性质,主要以填空、选择题为主,通常结合多面体的定义、性质进行判断.例12 . 如图(1),将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器,当这个正六棱柱容器的底面边长为 时容积最大.BACDEFGHIJ(A、B、C)DEFGHIJ例13 .如图左,在正三角形ABC中,D、E、F分别为各边的中点,G、H、I、J分别为AF、AD、BE、DE的中点,将ABC沿DE、EF、DF
5、折成三棱锥后,GH与IJ所成角的度数为( )A、90 B、60 C、45 D、0ABCADA1B1C1D1例14.长方体ABCDA1B1C1D1中, 设对角线D1B与自D1出发的三条棱分别成、角求证:cos2cos2cos21 设D1B与自D1出发的三个面成、角,求证:cos2cos2cos22考点9.简单多面体的侧面积及体积和球的计算例15. 如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,ABa,BCCAAA1a,A1在底面ABC上的射影O在AC上A1B1C1ABCDO 求AB与侧面AC1所成角; 若O恰好是AC的中点,求此三棱柱的侧面积. ABCMNKLABCMNKL例16. 等边三角形ABC的边长
6、为4,M、N分别为AB、AC的中点,沿MN将AMN折起,使得面AMN与面MNCB所成的二面角为30,则四棱锥AMNCB的体积为 ( )A、 B、 C、 D、3例17.如图,四棱锥PABCD中,底面是一个矩形,AB3,AD1,又PAAB,PA4,PAD60PAHEDBC 求四棱锥的体积; 求二面角PBCD的大小.RrAO1O例18 .(2006年全国卷)已知圆O1是半径为R的球O的一个小圆,且圆O1的面积与球O的表面积的比值为,则线段OO1与R的比值为 .【专题训练与高考预测】一、选择题1如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=1,D在BB1上, 且BD=1,若AD与侧面AA1CC1所
7、成的角为,则的值为( )CBADA. B. C. D. 2直线a与平面成角,a是平面的斜线,b是平面内与a异面的任意直线,则a与b所成的角( )A. 最小值,最大值 B. 最小值,最大值C. 最小值,无最大值 D. 无最小值,最大值3在一个的二面角的一平面内有一条直线与二面角的棱成角,则此直线与二面角的另一平面所成的角为( )A. B. C. D. BACDD1C1B1A14如图,直平行六面体ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2,则对角线A1C与侧面DCC1D1所成的角的正弦值为( )A. B. C. D. 5已知在中,AB=9,AC=15,它所在平面外一点P到三顶点的距离都是14,那么点P
8、到平面的距离为( ) A. 13 B. 11 C. 9 D. 7ADBAD1C1B1A1MN6如图,在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是棱A1B1、A1D1的中点,则点B到平面AMN的距离是( )A. B. C. D. 27将,边长MN=a的菱形MNPQ沿对角线NQ折成的二面角,则MP与NQ间的距离等于( )A. B. C. D.8二面角的平面角为,在内,于B,AB=2,在内,于D,CD=3,BD=1, M是棱上的一个动点,则AM+CM的最小值为( )A. B. C. D. 9空间四点A、B、C、D中,每两点所连线段的长都等于a, 动点P在线段AB上, 动点Q在线段CD
9、上,则P与Q的最短距离为( )A. B. C. D.10在一个正四棱锥,它的底面边长与侧棱长均为a ,现有一张正方形包装纸将其完全包住(不能裁剪纸,但可以折叠),那么包装纸的最小边长应为( )A. B. C. D. 11已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AB=2,若棱AB上存在点P,使,则棱AD的长的取值范围是 ( )A. B. C. D. 12将正方形ABCD沿对角线AC折起,使点D在平面ABC外,则DB与平面ABC所成的角一定不等于( )DCBAED1A1C1B1A. B. C. D. 二、填空题1如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E是A1B1的中点,则下列四
10、个命题: E到平面ABC1D1的距离是; 直线BC与平面ABC1D1所成角等于; 空间四边形ABCD1在正方体六个面内的射影围成面积最小值为; BE与CD1所成的角为ABDCPEA1D1C1B12如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,P是A1C1上的动点,E为CD上的动点,四边形ABCD满足_时,体积恒为定值(写上你认为正确的一个答案即可)3边长为1的等边三角形ABC中,沿BC边高线AD折起,使得折后二面角B-AD-C为60,则点A到BC的距离为_,点D到平面ABC的距离为_.4在水平横梁上A、B两点处各挂长为50cm的细绳,AM、BN、AB的长度为60cm,在MN处挂长为60cm 的木
11、条,MN平行于横梁,木条的中点为O,若木条绕过O的铅垂线旋转60,则木条比原来升高了_.5多面体上,位于同一条棱两端的顶点称为相邻的.如图正方体的一个顶点A在平面内.其余顶点在的同侧,正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别是1、2和4. P是正方体其余四个顶点中的一个,则P到平面的距离可能是:3;4;5;6;7.以上结论正确的为 .(写出所有正确结论的编号)O1O2O36. 如图,棱长为1m的正方体密封容器的三个面上有三个锈蚀的小孔(不计小孔直径)O1、O2、O3它们分别是所在面的中心.如果恰当放置容器,容器存水的最大容积是_m3.三、解答题1 在正三棱柱ABCA1B1C1中,底面边长为a
12、,D为BC为中点,M在BB1上,且BM=B1M,又CMAC1;(1) 求证:CMC1D;(2) 求AA1的长.2 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是矩形且AD=2,AB=PA=,PA底面ABCD,E是AD的中点,F在PC上.(1) 求F在何处时,EF平面PBC;(2) 在(1)的条件下,EF是不是PC与AD的公垂线段.若是,求出公垂线段的长度;若不是,说明理由;(3) 在(1)的条件下,求直线BD与平面BEF所成的角.3如图,四棱锥SABCD的底面是边长为1的正方形,SD垂直于底面ABCD,SB= (1)求证BCSC; (2)求面ASD与面BSC所成二面角的大小; (3)设棱SA的中点为M,求异面直线DM与SB所成角的 大小4在直角梯形ABCD中,D=BAD=90,AD=DC=AB=a,(如图一)将ADC 沿AC折起,使D到记面AC为a,面ABC为b面BC为g (1)若二面角a-AC-b为直二面角(如图二),求二面角b-BC-g的大小;(2)若二面角a-AC-b为60(如图三),求三棱锥-ABC的体积5如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是线段EF的中点(1)求证AM/平面BDE;(2)求二面角A-DF-B的大小;(3)试在线段AC上确定一点P,使得PF与BC所成的角是60