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1、学科中学数学论文序号KB几何画板下的圆锥曲线定义探究【内容摘要】：几何画板下圆锥曲线定义的动态探究【关键词】：几何画板 圆锥曲线定义 动态探究许多过去在解析几何，对轨迹、圆锥曲线定义等教学问题，最多是实物工具在黑板上画，更多是要老师的讲述和学生的空间想象，现在的课堂教学工具有多媒体，如果我们在上解析几何时能充分利用计算机，安装几何画板工具，就能更有效进行课堂教学，达到教与学的双赢效果。因为几何画板能把过去想到做不到的事，都可以在几何画板的教学现场即兴发挥，随意操作。而且由于信息技术的介入，会使学生全身心地投入到教学活动之中，对课程内容产生浓厚的兴趣。也是大家创造性地教学与学习的园地和平台。一、
2、高中课堂引入几何画板的原因1几何画板的课堂实用性几何画板是一个适用于几何（包括平面几何、立体几何、解析几何等）教学的软件平台。它为老师和学生提供了一个观察和探索几何图形内在关系的环境。它以点、线、圆为基本元素的变换、构造、测算、计算、动画、轨迹跟踪等，构造出其他较为复杂的图形。2几何画板的课堂动态性几何画板最大的特色是“动态性”，可以用鼠标拖动图形上的任一元素（点、线、圆），而事先给定的所有几何关系（即图形的基本性质）保持不变，同时，利用它的动态性和形象性，可以创造一个实际“操作”几何图形的环境。学生可以任意拖动图形、观察图形、发现结论、猜想并验证，在观察、探索、发现的过程中增加对各种图形的感
3、性认识，形成丰厚的几何经验背景，从而更有肋于学生理解和证明。 3几何画板的课堂操作性 几何画板的“电子黑板”上写的，画的东西都可以储存，根据教学需要随意隐藏、显示或改变颜色和大小位置，这都是过去想到做不到的，现在是很容易做到的。几何画板的操作非常简单，一切操作都只靠工具栏和菜单实现，而无需编制任何程序。在几何画板中，一切都要借助于几何关系来表现，用它设计课件最关键的是把握“几何关系”（即图形的基本性质）。 二、几何画板下圆锥曲线定义探究1椭圆定义的探究【人教版课本P38探究】：取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这是笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆。
4、如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，你能说出移动的笔尖（动点）满足的几何条件？这是课本对椭圆定义的探究，一般老师都会好好利用这个探究，加深对椭圆定义的教学。我们来看下面两个课堂教学片段，从对比中来体会几何画板在课堂教学体现的实用功能。【课堂教学片段1】在桐中高二名师闻长伟老师上的椭圆定义这堂课的导入上，先从小到生活大到天体运动中（图1）让学生感受椭圆的存在，再到充分利用这个探究，先让学生操作，探究出画出的是什么曲线，再用Flash动画（图2）的图片验证。这节课的导入上得非常精彩。 图3图1图2 【课堂教学片段2
5、】：在上这节课的导入时，我是先让学生到黑板上操作，再到几何画板上给予演示验证（图3），在跟踪点P的轨迹，可以观察发现，在几何画板上也观察到P在动，但动点P到两个定点的距离之和的值是不变的，学生亲眼看到了，也从感官上证实了定值，也强化了椭圆的定义，还可以随意改变两个定点的距离，再跟踪动点P轨迹，画出的椭圆在形状上有些变化，但是还是椭圆。从而给出椭圆的定义。分析定值2a的范围不同，它形成的轨迹也不同，再配上Flash图片（图2）来证实。还能进一步从a，b的值的范围来研究椭圆的圆扁程度。这节课下来，学生收获很大。 2、双曲线定义的探究【思考（课本P52）】：我们知道，与两个定点距离的和为非零常数（大
6、于两定点间的距离）的点的轨迹是椭圆，那么，与两定点距离的差为非零常数的点的轨迹是什么？类比椭圆的定义，你能给出双曲线的定义吗？【课堂教学片段1】：传统的课堂教学中是使用PPT，采用的是课本中提供的拉链图片（图4），来引出双曲线的定义，形象易懂。但呈现给学生的是一张图片而已，不能从动态的角度来展现双曲线定义中的定值。 图5图6图4【课堂教学片段2】：对双曲线的定义教学，在几何画板中先复习椭圆定义（图3），再由思考问题来改变条件，让学生先猜想动点的轨迹，再让学生上来演示跟踪动点P的轨迹（图5），来验证猜想的正误。再类比椭圆，得出双曲线的定义。再从定值2a的范围来讨论，发现范围不同，动点的轨迹也不同
7、（图6）。一来动态演示，二来和椭圆形成对比，学生印象深刻，达到良好的教学效果。 3、抛物线定义的探究【课堂教学片段1】：用Flash做的尺规作图，有抛物线生成的动画（图7），很漂亮，但是在播放的过程中，不能根据课堂教学需要修改，以适应学生的教学。 图8图7【课堂教学片段2】人教版课本P64，用几何画板画图，点F是定点，L是不经过点F的定直线。H是L上的任意一点，过点H作MHL，线段FH的垂直平分线m交MH于点M，拖动点H，观察点M的轨迹，你能发现点M满足的几何条件吗？课本直接从几何画板来研究动点M的轨迹，更进一步体现几何画板在圆锥曲线定义的课堂教学的适用性功能。三、圆锥曲线定义的再现定义直接运
8、用再现1： 单圆画椭圆和双曲线（课本P49A组第7题）如图（图9），圆O的半径为定长r，A是圆O内一定点，P是圆上任意一点。线段AP的垂直平分线L和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？图10图9 （课本P62A组第5题）如图（图10），圆O的半径为定长r，A是圆O外一定点，P是圆上任意一点。线段AP的垂直平分线L和直线OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？上面两题是课体的习题，用几何画板，可先让学生猜想点Q的轨迹，再用跟踪点的轨迹来跟踪画出点Q的轨迹分别是椭圆和双曲线。实际上在操作上只需把点A从圆内移到圆外就得到椭圆和双曲线。这两题的本质是
9、利用单圆也可以画椭圆和双曲线。再现2：双圆画椭圆、双曲线线（课本P50B组第2题）一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程。并说明它是什么曲线。用几何画板可以动态演示动圆圆心的轨迹是椭圆。变式：动圆P与定圆都相切，求动圆圆心的轨迹方程分四种情况讨论：（1） 与两定圆都外切（图11）（2） 与两定圆都内切（图12）（3） 与定圆C1内切，与定圆C2外切（图13）（4） 与定圆C1外切，与定圆C2内切（图14） 图13图14图12图11从几何画板中可以很清楚的观察到这四种情况下的动圆圆心的轨迹是双曲线的一支。这与双曲线定义中的差的绝对值之间的区别是非常明显的。 再现3：一定点和一定直线画
10、圆锥曲线 1画椭圆（课本P47例6）点M（x，y）与定点F（4，0）的距离和它到直线L：的距离的比是常数，求点M的轨迹。如图 2画双线（课本P59例5）点M（x，y）与定点F（5，0）的距离和它到直线L：的距离的比是常数，求点M的轨迹。如图 3画圆锥曲线（课本P62B组第3题）求到定点F（c，0）（c0）和它到定直线L：的距离的比是，求M的轨迹方程。如图 三种曲线的作图统一：离心率取不同范围下的值对应的轨迹不同。在这种情况下的图，只需操作离心率e的值，离心率大于0小于1是椭圆，等于1是抛物线，大于1是双曲线。用几何画板演示很清楚，可以绕开讲椭圆、双曲线的第二定义，直接引用课本的例题和习题，讲圆锥曲线的统一定义。这样纵向延伸一下，学生易于接受。有时间的话，可以和学生探究一下课本P76阅读和思考。加深对圆锥曲线统一定义的理解。 从本章教材安排分析，用几何画板从三个层次来研究圆锥曲线，一是定义，二是习题，三是课后探究。在本章的学习和教学中，用几何画板不仅能提高课堂效率，还能让学生学习起来感到数学的动态观点。让学生在动态的数学课堂中感受数形结合思想、方程思想。圆锥曲线定义在几何画板中的教学，让学生的思维飞得更高更远。参考文献1 数学人教版选修212李传中 左传波 超级画板范例教程3浙江省高中新课程指导意见4 方 欣 关于开展高效课堂建设年活动的思考 桐庐县教育局教研室 5