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1、三角函数公式同角三角函数的基本关系式：倒数关系：商的关系：平方关系：tanx=1cotxsinxcosx=tanx=secxcscxsin2x+cos2x=1cscx=1sinxcosxsinx=cotx=cscxsecx1+tan2x=sec2xsecx=1cosx1+cot2x=csc2x二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin2=2sincos=2tan+cotsin3x=3sinx-4sin3xcos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2cos3x=4cos3x-3cosx=3tanx-tan3xtan2=2tan1-tan2tan3x=3tanx
2、-tan3x1-3tan2xtan2=sec2-1asinxbcosx=a2+b2sinx其中角所在象限由a、b的符号拟定，角的值由tan=ba拟定两角和与差的三角函数：万能公式：cos+=coscos-sinsinsinx=2tanx21+tan2x2cos-=coscos+sinsincosx=1-tan2x21+tan2x2sin=sincoscossintanx=2tanx21-tan2x2tan+=tan+tan1-tantantan-=tan-tan1+tantan和差化积公式：积化和差公式：sin+sin=2sin+2cos-2sincos=12sin+sin-sin-sin=2
3、cos+2sin-2cossin=12sin+-sin-cos+cos=2cos+2cos-2coscos=12cos+cos-cos-cos=-2sin+2sin-2sinsin=-12cos+-cos-等比数列的求和公式：Sn=a1-anq1-q=a11-qn1-q等差数列求和公式：Sn=na1-an2=na1+nn-12d立方和差公式：x3-y3=x-yx2+xy+y2x3+y3=x+yx2-xy+y2xn-an=x-axn-1+axn-2+xan-2+an-1对数的概念：假如a（a0，且a1）的b次幂等于N，即ab=N，那么数b 叫做以a为 底N的对数，记 作：logaN=b.由定义知
4、：（1）负数和零没有对数；（2）a0，且a1，N0；（3）loga1=0，logaa=1，logaaN=N，alogaN=N.对数函数的运算法则：（）logaMN=logaM+logaN（）logaMN=logaM-logaN（）logaMn=nlogaM（）logbN=logaNlogab（）logamNn=nmlogaN三角函数值角度030456090120135150180270360sin012223213222120-10cos13222120-12-22-32-101tan03313/-3-1-330/0导数公式：（1）C=0（2）x=x-1（3）sinx=cosx（4）cosx=
5、-sinx（5）tanx=sec2x（6）cotx=-csc2x（7）secx=secxtanx（8）cscx=-cscxcotx（9）ax=axlna（10）ex=ex（11）logax=1xlna（12）lnx=1x（13）arcsinx=11-x2（14）arccosx=-11-x2（15）arctanx=11+x2（16）arccotx=-11+x2基本积分表：（1）kdx=kx+C（k是常数），（2）xdx=x+1+1+C1（3）dxx=lnx+C（4）dx1+x2=arctanx+C（5）tanxdx=-lncosx+C（6）cotxdx=lnsinx+C（7）secxdx=lns
6、ecx+tanx+C（8）cscxdx=lncscx-cotx+C（9）dxa2+x2=1aarctanxa+C（10）dxx2-a2=12alnx-ax+a+C（11）dxa2-x2=arcsinxa+C（12）dxx2+a2=lnx+x2+a2+C（13）dxx2-a2=lnx+x2-a2+C第一章 函数与极限第一节 映射与函数一、集合假如a是集合A的元素，就说a属于A，记作a A；假如a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a A.全体非负整数即自然数的集合记作N，即N=0，1，2，n，；全体正整数的集合为N+=1，2，n，；全体整数的集合记作Z，即Z=，-n，-2，-1，0，1，2，n
7、，；全体有理数的集合记作Q，即Q=pq | pZ，qN+且p与q互质；全体实数的集合记作R.假如集合A与集合B互为子集，即A B且B A，则称集合A与集合B相等，记作A= B.例如，设A=1，2，B=x | x2-3x+2=0.则A=B若A B且A B，则称A是B的真子集，记作A B.不含任何元素的集合称为空集，规定空集是任何集合A的子集，即 A.设A、D、C为任意三个集合，则有下列法则成立:（1）互换律A B = B A，A B = B A;（2）结合律ABC=ABC，ABC=ABC（3）分派律ABC=ACBC，ABC=ACBC（4）对偶律ABC=ACBC，ABC=ACBC二、映射 定义设X
8、、Y是两个非空集合，假如存在一个法则f，使得对X中每个元素x，按法则f，在Y中有唯一拟定的元素y与之相应，则称f为从X到Y的映射，记作 f：X Y其中y称为元素x（在映射f下）的像，并记作了fx，即 y=fx而元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像；集合X称为映射f的定义域，记作Df，即Df=X；X中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域，记作Rf或fX，即Rf=fX=fx|xX三、函数定义设数集DR，则称映射f：DR为定义在D上的函数，通常简记为 y=fx，xD其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，记作Df，即Df=D.假如两个函数的定义域相同，相应法则也相同，那么这两个函数就是
9、相同的，否则就是不同的. 在自变量的不同变化范围中，相应法则用不同式子来表达的函数，通常称为分段函数.函数的几种特性：（1）函数的有界性 假如存在正数M，使得 |fx|M对任一xX 都成立，则称函数fx在X上有界假如这样的M不存在，就称函数fx在X上无界;这就是说，假如对于任何正数M，总存在x1X，使|fx1|M，那么函数fx在X上无界. 容易证明，函数fx在X上有界的充足必要条件是它在X上既有上界又有下界.（2）函数的单调性（3）函数的奇偶性设函数fx的定义域D关于原点对称.假如对干任一 xD，f-x=fx恒成立，则称fx为偶函数. 假如对干任一 xD，f-x=-fx恒成立，则称fx为奇函数
10、.偶函数的图形关于y轴是对称的，奇函数的图形关于原点是对称的，反函数的图形关于y = x对称.函数y=sinx是奇函数.函数y=cosx是偶函数.函数y=sinx+cosx既非奇函数，也非偶函数.（4）函数的周期性设函数fx的定义域为D.假如存在一个正数l，使得对于任一xD有xlD且 fx+l=fx恒成立，则称fx为周期函数, l称为fx的周期，通常我们说周期函数的周期是指最小正周期.初等函数： 幂函数：y=x（R是常数） 指数函数：y=axa0且a1 对数函数：y=logaxa0且a1，特别当a=e时，记为y=lnx 三角函数：y=sinx 反三角函数：y=arcsinx 以上这五类函数统称
11、为基本初等函数. 由常数和基本初等函数通过有限次的四则运算和有限次的函数复合环节所构成并可用一个式子表达的函数，称为初等函数. 对数函数与指数函数当a0且a1，N=ax等价于x=logaN，对数函数是指数函数的反函数.第二节 数列的极限 定义设xn为一数列，假如存在常数a，对于任意给定的正数（不管它多么小），总存在正整数N，使得当n N时，不等式|xn-a|0或a 0，当n N时，都要xn0或xn0.定理4（收效数列与其子数列间的关系）假如数列xn收敛于a，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a.第三节 函数的极限 定义1设函数fx在点x0的某一去心邻域内有定义.假如存在常数A，对于任意给定的
12、正数（不管它多么小），总存在正数，使得当𝓍满足不等式0x-x0时，相应的函数值fx都满足不等式fx-A那么常数A就叫做函数fx当xx0时的极限，记作limxx0fx=A或fxA当xx0我们指出，定义中0X时，相应的函数值fx都满足不等式fx-A 0和 0，使得当0x-x0 0（或A 0，使得当0x-x00（或fx0）.第四节 无穷小与无穷大 定义1假如函数fx当xx0（或x）时的极限为零，那么称函数fx为当xx0（或x）时的无穷小 特别地，以零为极限的数列xn称为 n时的无穷小.定理1在自变量的同一变化过程xx0（或x）中，函数fx具有极限A的充足必要条件是了fx=A+，其中是
13、无穷小.定义2设函数fx在x0的某一去心邻域内有定义（或x大于某一正数时有定义），假如对于任意给定的正数M（不管它多么大），总存在正数（或正数X），只要x适合不等式0x-x0X），相应的函数值fx总满足不等式fxM则称函数fx为当xx0（或x）时的无穷大.定理2在自变量的同一变化过程中，假如fx为无穷大，则1fx为无穷小;反之，假如fx为无穷小，且fx0，则1fx为无穷大.第五节 极限运算法则定理1有限个无穷小的和也是无穷小.定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论1常数与无穷小的乘积是无穷小.推论2有限个无穷小的乘积也是无穷小.定理3假如limfx=A，limgx=B，那么（1）limfx
14、gx= limfxlimgx=AB（2）limfxgx= limfxlimgx=AB（3）若又有B 0，则limfxgx=limfxlimgx=AB推论1假如limfx存在，而c为常数，则limcfx=climfx.推论2假如limfx存在，而n是正整数，则limfxn=limfxn定理6（复合函数的极限运算法则）设函数y=fgx是由函数u=gx与函数y=fu复合而成，fgx在点x0的某去心邻域内有定义，若limxx0gx=u0，limuu0fu=A，且存在00，当xUx0，0时，有gxu0，则limxx0fgx=limuu0fu=A第六节 极限存在准则 两个重要极限两个重要极限：limx0s
15、inxx=1limx1+1xx=e准则 假如数列xn 、yn及zn满足下列条件：（1）从某项起，即 n0N，当n n0时，有yn xn zn（2）limnyn=a，limnzn=a那么数列xn的极限存在，且limnxn=a（称为：夹逼准则）准则 单调有界数列必有极限柯西极限存在准则数列xn收敛的充足必要条件是:对于任意给定的正数，存在着这样的正整数N，使得当m N，n N时，就有|xn-xm|0，就说是关于的k阶无穷小.假如lim=1，就说与是等价的无穷小，记作 .等价无穷小：1+x1n-11nx ， xsinx，xtanx ，xarcsinx， 1-cosx12x2，lnx+1x，ex1+x
16、定理1与是等价无穷小的充足必要条件为：=+o定理2设 ， ，且lim 存在，则lim= lim 第八节 函数的连续性与间断点定义设函数y=fx在点x0的某一领域内有定义，假如limx0y=limx0fx0+x-fx0=0那么就称函数y=fx在点x0连续.所以，函数y=fx在点x0连续的定义又可叙述如下：设函数y=fx在点x0的某一领域内有定义，假如：limxx0fx=fx0那么就称函数fx在点x0连续. 设函数fx在点x0的某去心邻域内有定义.在此前提下，假如函数fx有下列三种情形之一：（1）在x=x0没有定义； （2）虽在x=x0有定义，但limxx0fx不存在；（3）虽在x=x0有定义，且
17、limxx0fx存在，但limxx0fxfx0，则函数fx在点x0为不连续，而点x0称为函数fx的不连续点或间断点.函数间断点的几种常见类型：（1）无穷间断点（2）震荡间断点（3）可去间断点（4）跳跃间断点通常把间断点提成两类：假如x0是函数fx的间断点，但左极限fx0-及右极限fx0+都存在，那么x0称为函数fx的第一类间断点.不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点.可去间断点和跳跃间断点为第一类间断点.无穷间断点和震荡间断点显然是第二类间断点.第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性定理1设函数fx和gx在点x0连续，则它们的和（差）、积及商都在点x0连续.定理2假如函数y=fx在
18、区间Ix上单调增长（或单调减少）且连续，那么它的反函数x=f-1x也在相应的区间Ix=y | y=fx，xIx上单调增长（或单调减少）且连续.一般的，对于形如uxvx（ux0，ux1）的函数（通常称为幂指函数），假如limux=a0，limvx=b那么limuxvx=ab第十节 闭区间上连续函数的性质 定理1（有界性与最大值最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值. 定理2（零点定理）设函数fx在闭区间 a，b 上连续，且fa与fb异号，那么在开区间a，b内至少有一点，使 f=0定理3（介值定理）设函数fx在闭区间 a，b 上连续，且在这区间的端点取不同的函
19、数值 fa=A 及 fb=B那么，对于A与B之间的任意一个数C，在开区间a，b内至少有一点，使得f=C ab推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.第二章导数与微分第一节导数概念 定义设函数y=fx在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处取得增量x（点x0+x仍在该邻域内）时，相应的函数取得增量y=fx0+x-fx0；假如y 与x之比当x0时的极限存在，则称函数y=fx在点x0处可导，并称这个极限为函数y=fx在点x0处的导数，记为fx0，即fx0=limx0yx=limx0fx0+x-fx0xfx0=limh0fx0+h-fx0hfx0=limxx0fx-fx
20、0x-x0也可记作y | x= x0，dydx | x= x0，dfxdx | x= x0常数和基本初等函数的导数公式：（1）C=0（2）x=x-1（3）sinx=cosx（4）cosx=-sinx（5）tanx=sec2x（6）cotx=-csc2x（7）secx=secxtanx（8）cscx=-cscxcotx（9）ax=axlna（10）ex=ex（11）logax=1xlna（12）lnx=1x（13）arcsinx=11-x2（14）arccosx=-11-x2（15）arctanx=11+x2（16）arccotx=-11+x2函数的和、差、积、商的求导法则：uv=uvCu=Cu
21、uv=uv+uvuv=uv-uvv2极限存在的充足必要条件是左、右极限都存在且相等。假如极限不存在，就说函数y=fx在点x0处不可导。假如不可导的因素是由于x0时，比 式 yx，为了方便起见，也往往说函数y=fx在点x0处的导数为无穷大.由此可见，当x0时，y0，这就是说，函数y=fx在点x处是连续的，所以，假如函数y=fx在点x处可导，则函数在该点必连续.另一方面，一个函数在某点连续却不一定在该点可导.第二节函数的求导法则定理1假如函数u=ux及v=vx都在点x具有导数，那么它们的和、差、积、商（除分母为零的点外）都在点x具有导数.定理2假如函数x=fy在区间Iy内单调、可导且fy0，则它的
22、反函数y=f-1x 在 区 间Ix=x | x=fy，yIy内也可导，且f-1x=1fy 或 dydx=1dxdy反函数的导数等于直接函数导数的倒数.定理3假如u=gx在点x可导，而y=fu在点u=gx可导，则复合函数y=fgx在点x可导，且其导数为dydx=fugx 或 dydx=dydududx第三节高阶导数exn=exln1+xn=-1n-1n-1！1+xnsinxn=sinx+n2cosxn=cosx+n2莱布尼茨公式：uvn=k=0nCnkun-kvk第四节隐函数及由参数方程所拟定的函数的导数相关变化率一般的，若参数方程x=ty=t （3）拟定y与x间的函数关系，则称此函数关系所表达
23、的函数为由参数方程（3）所拟定的函数.dydx=ttd2ydx2=tt-tt3t第五节函数的微分定义设函数y=fx在某区间内有定义，x0及x0+x在这区间内，假如增量y=fx0+x-fx0可表达为y=Ax+ox其中A是不依赖于x的常数，那么称函数y=fx在点x0是可微的，而Ax叫做函数y=fx在点x0相应于自变量增量x的微分，记作dy，即dy=Ax 函数fx在点x0可微的充足必要条件是函数fx在点x0可导，且当fx在点x0可微时，其微分一定是dy=fx0x函数y=fx在任意点x的微分，称为函数的微分，记作dy或dfx，即dy=fxx通常把自变量x的增量x称为自变量的微分，记作dx，即dx=x.
24、于是函数y=fx的微分又可记作dy=fxdx第三章微分中值定理与导数的应用第一节微分中值定理 费马引理设函数fx在点x0的某邻域Ux0内有定义，并且在x0处可导，假如对任意的xUx0，有fxfx0 或 fxfx0那么fx0=0.通常称导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点，临界点）. 罗尔定理假如函数fx满足 （1）在闭区间 a，b 上连续； （2）在开区间 a，b 内可导； （3）在区间端点处的函数值相等，即fa=fb，那么在 a，b 内至少有一点 ab，使得f=0.拉格朗日中值定理假如函数fx满足（1）在闭区间 a，b 上连续；（2）在开区间 a，b 内可导；那么在 a，b 内至少有一点 a
25、N时，fx及Fx都存在，且Fx0；（3）limxfxFx存在（或为无穷大），那么limxfxFx=limxfxFx其他尚有一些0 、 - 、00、1、0型的未定式，也可通过00 或 型的未定式来计算.第三节泰勒公式泰勒中值定理假如函数fx在具有x0的某个开区间a，b内具有直到n+1阶的导数，则对任一xa，b，有fx=fx0+fx0x-x0+fx02!x-x02+fnx0n!x-x0n+Rnx其中Rnx=fn+1n+1!x-x0n+1这里是x0与x之间的某个值.第四节函数的单调性与曲线的凹凸性定理1设函数y=fx在 a，b 上连续，在 a，b 内可导.（1）假如在 a，b 内fx0，那么函数y=
26、fx在 a，b 上单调增长；（2）假如在 a，b 内fx0，那么函数y=fx在 a，b 上单调减少.定义设fx在区间I 上连续，假如对I 上任意两点x1，x2 恒有fx1+x22fx1+fx22那么称fx在I 上的图形是（向上）凸的（或凸弧）.定理2设fx在 a，b 上连续，在 a，b 内具有一阶和二阶导数，那么（1）若在 a，b 内fx0，则fx在 a，b 上的图形是凹的；（2）若在 a，b 内fx0，则fx在 a，b 上的图形是凸的.求连续曲线y=fx的拐点：（1）求fx；（2）令fx=0，解出这方程在区间I 内的实根，并求出在区间I 内fx不存在的点；（3）对于（2）中求出的每一个实根或
27、二阶导数不存在的点x0，检查fx在x0左、右两侧邻近的符号，那么当两侧的符号相反时，点x0，fx0是拐点，当两侧的符号相同时，点x0，fx0不是拐点.第五节函数的极值与最大值最小值定义设函数fx在点x0的某邻域Ux0内有定义，假如对于去心领域Ux0内的任一x，有fxfx0 那么就称fx0是函数fx的一个极大值（或极小值）.定理1（必要条件）设函数fx在点x0处可导，且在x0处取得极值。那么fx0=0.定理2（第一充足条件）设函数fx在点x0处连续，且在x0的某去心邻域Ux0，内可导.（1）若xx0-，x0时，fx0，而xx0，x0+时，fx0，则fx在x0处取得极大值；（2）若xx0-，x0时
28、，fx0，则fx在x0处取得极小值；（3）若xUx0，时，fx的符号保持不变，则fx在x0处没有极值.第四章不定积分第一节不定积分的概念与性质定义1假如在区间 I 上，可导函数Fx的导函数为fx，即对任一xI，都有Fx=fx 或 dFx=fxdx那么函数Fx就称为fx （或fxdx）在区间 I 上的原函数.原函数存在定理假如函数 fx在区间 I 上连续，那么在区间 I 上存在可导函Fx，使对任一xI都有Fx=fx简朴地说就是:连续函数一定有原函数.定义2在区间 I 上，函数fx的带有任意常数项的原函数称为fx （或fxdx）在区间 I 上的不定积分，记作fxdx其中记号称为积分号，fx称为被积
29、函数，fxdx称为被积表达式，x称为积分变量.fxdx=Fx+C基本积分表：（1）kdx=kx+C（k是常数），（2）xdx=x+1+1+C1（3）dxx=lnx+C（4）dx1+x2=arctanx+C（5）tanxdx=-lncosx+C（6）cotxdx=lnsinx+C（7）secxdx=lnsecx+tanx+C（8）cscxdx=lncscx-cotx+C（9）dxa2+x2=1aarctanxa+C（10）dxx2-a2=12alnx-ax+a+C（11）dxa2-x2=arcsinxa+C（12）dxx2+a2=lnx+x2+a2+C（13）dxx2-a2=lnx+x2-a2+
30、C不定积分的性质：性质1设函数fx及gx的原函数存在，则fx+gxdx=fxdx+gxdx性质2设函数fx的原函数存在，k为非零常数，则kfxdx=kfxdx第二节换元积分法定理1设fu具有原函数，u=x可导，则有换元公式fxxdx=fuduu=x一般的，对于积分fax+bdx，总可作变换u=ax+b，把它化为fax+bdx=1afax+bdax+b =1afuduu=ax+b定理2设x=t是单调、可导的函数，并且t0.又设ftt具有原函数，则有换元公式fxdx=fttdtt=-1t第三节分部积分法设函数u=ux及v=vx具有连续导数.那么，两个的函数乘积的导数公式为：uv=uv+uv移项，得
31、uv=uv-uv对这个等式两边求不定积分，得uvdx=uv-uvdx（1）公式（1）称为分部积分公式.为简便起见，一也可把公式（1）写成下面的形式：udv=uv-vdu第四节有理函数的积分两个多项式的商PxQx称为有理函数，又称有理分式. 我们总假定分子多项式Px与分母多项式Qx之间是没有公因式的.当分子多项式Px的次数小于分母多项式Qx的次数时，称这有理函数为真分式，否则称为假分式例1 求x+1x2-5x+6dx解被积函数的分母分解成x-3x-2，故可设x+1x2-5x+6=Ax-3+Bx-2其中A、B为待定系数.上式两端去分母后，得x+1=Ax-2+Bx-3即x+1=A+Bx-2A-3B比
32、较上式两端同次幂的系数，既有A+B=12A+3B=-1从而解得A=4，B=-3于是x+1x2-5x+6dx=4x-3-3x-2dx=4lnx-3-3lnx-2+C第五章定积分第一节定积分的概念与性质定积分表达式：abfxdx=I=lim0i=1nfixi其中fx叫做被积函数，fxdx叫做被积表达式，x叫做积分变量，a 叫做积分下限，b 叫做积分上限， a，b 叫做积分区间.定理1设fx在区间 a，b 上连续，则fx在 a，b 上可积.定理2设fx在区间 a，b 上有界，且只有有限个间断点，则设fx在 a，b 上可积.定积分的性质：为了以后计算及应用方便起见，对定积分作以下两点补充规定：（1）当
33、a=b时，abfxdx=0；（2）当ab时，abfxdx=-bafxdx.性质1abfxgxdx=abfxdxabgxdx性质2abkfxdx=kabfxdx性质3设acb，则abfxdx=acfxdx+cbfxdx性质4假如在区间 a，b 上fx1，则ab1dx=abdx=b-a性质5假如在区间 a，b 上fx0，则abfxdx0推论1假如在区间 a，b 上，fxgx，则abfxdxabgxdx ab推论2abfxdxabfxdx ab性质6设M及m分别是函数fx在区间 a，b 上的最大值及最小值，则mb-aabfxdxMb-a ab性质7（定积分中值定理）假如函数fx在积分区间 a，b 上
34、连续，则在 a，b 上至少存在一个点，使下式成立：abfxdx=fb-a ab这个公式叫做积分中值公式.第二节微积分基本公式牛顿一莱布尼茨公式：定理3假如函数Fx是连续函数fx在区间 a，b 上的一个原函数，则abfxdx=Fb-Fa第三节定积分的换元法和分部积分法第七章微分方程第一节微分方程的基本概念凡表达未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程，有时也简称方程. 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶. 假如微分方程的解中具有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解. 第二节可分离变量的微分方程 一般的，假如一个一阶微分方程能写成 gydy=fxdx 的形式，就是说，能把微分方程写成一端只含y的函数和dy，另一端只含x的函数和dx，那么原方程就称为可分离变量的微分方程.第三节齐次方程假如一阶微分方程可化成dydx= yx的形式，那么就称这方程为齐次方程.第四节一阶线性微分方程方程dydx+Pxy= Qx （1）叫做一阶线性微分方程，由于它对于未知函数y及其导数是一次方程.假如Qx0，则方程（1）称为齐次的；假如Qx0，则方程（1）称为非齐次的.由此可知，一阶非齐次线性方程的通解等于相应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和.第五节可降阶的高阶微分方程