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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载高等数学上册 第一章 函数与极限（一） 函数 1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、 反函数、复合函数、函数的运算；3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函 数、双曲函数、反双曲函数；4、 函数的连续性与间断点；函数fx在x 连续lim x x 0fxfx 0第一类：左右极限均存在；间断点 可去间断点、跳动间断点 其次类：左右极限、至少有一个不存在；无穷间断点、振荡间断点 5、 闭区间上连续函数的性质： 有界性与最大值最小值定理、 零点定 理、介值定理及其推论；（二） 极限名师归纳总
2、结 1、定义0,N,nN,xna第 1 页,共 18 页数列极限1）lim nx na- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2）函数极限学习必备欢迎下载lim x x 0fxAlim x x 0f0,0x,当0xx0时,fx A左极限：fx 0x右极限：fx 0lim x x 0fx lim x x0fxA存在fx0fx0a就称为无穷2、极限存在准就1）夹逼准就：1）y nx nz nnn 02）lim ny nlim nz nanlimxn2）单调有界准就：单调有界数列必有极限；3、无穷小（大）量1）定义：如lim0就称为无穷小量； 如lim大量；2）无
3、穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小名师归纳总结 Th1 ,limo; limlim（无穷小代Th2 存在,就第 2 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载换）4、求极限的方法e）单调有界准就；1）夹逼准就；2）极限运算准就及函数连续性；3）两个重要极限：4）alim x 0sinx1xblim x 0 1x1lim x 11xxx5）无穷小代换：（x0）arctanxaxsinxtanxarcsinx其次章b1cosx1x2lna）2cex1x（ax1xxxdln1x x（loga 1lnae 1x
4、1x导数与微分（一） 导数名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1、学习必备欢迎下载,fx 0处的切线的定义：fx 0lim x x 0fx fx 0xx 0fx 0左导数：fx 0lim x x 0fxxx0右导数：fx 0lim x x 0fxfx 0xx 0fx 0函数fx在0x点可导fx 02、几何意义：fx 0为曲线yfx在点x 0斜率；3、可导与连续的关系：4、求导的方法 1） 导数定义；2） 基本公式；3） 四就运算；4） 复合函数求导（链式法就） ；5） 隐函数求导数；6） 参数方程求导；7） 对数求导
5、法；5、高阶导数d2yddy第 4 页,共 18 页1）定义：dx2dxdx名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2）Leibniz 公式：uv学习必备kn0欢迎下载kvnknCkun（二） 微分1） 定义：yfx 0x fx 0Axox,其中 A 与x 无关；2） 可微 与可 导的 关系 ：可微可导 ,且dxdyfx 0xfx 0第三章微分中值定理与导数的应用（一） 中值定理名师归纳总结 1、 Rolle 定理：如函数fx满意：3 ）1 ）fxC a,b ；2 ）fxDa,b；fafb； 3 ）就a,b,使f0. 2、 Lagrange 中
6、值定理：如函数fx满意：1）fxC a,b；2）fxDa,b；就a,b,使fbfafba. 3、 Cauchy 中值定理：如函数fx,Fx满意：1 ）fx,FxC a,b；2 ）fx,FxDa,bFx,0xa,b第 5 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 就a,b,使fbf学习必备f欢迎下载 aFbF aF（二） 洛必达法就留意 :1、尽量先化简（有理化、无穷小代换、分别非零因子）再用洛必达法就！如：lim x 01x24cosxtanx2、对于某些数列极限问题,可化为连续变量的极限,然后用洛必达法就！bn如：lim nna2n（三） T
7、aylor 公式n 阶 Taylor 公式：名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载xx 021fn1 xn1fx fx 0fx 0xx 0fx 0.2fnx0xx 0nfn1 xx0nn .n1 .在0x与 x 之间. fn 0 xn当0x0时,成为 n 阶麦克劳林公式：fx f 0 f0 xf0x 2.1.2n .n1 .在0与x之间 . 常见函数的麦克劳林公式：1）x ex1x1x21xnm1ne1 .n x122m1 ）x2m1.2n .；在 0 与 x 之间,x2xx3x5x71x2m1sin2
8、sin.3.5.72m1 .；m1 .在 0 与 x 之间,x3名师归纳总结 - - - - - - -）第 7 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - cosx1x2x4x6学习必备1 m欢迎下载m2.cos22m2x2m1x2.2.4.62 m2m .在 0 与 x 之间,x；4）ln 1x x2 xx3x41 n1xnn1 nxn1n1）1x n234n1 11在 0 与 x 之间,x15x 1x.21x21 2 x 3n1n 1.3n .1n 11xn1,n1 .在 0 与 x 之间,1x1. （四） 单调性及极值1、 单 调 性 判 别 法 ：fxCa,b,
9、fx Da,b, 就 如x单调增加；就如fx0,就fx单fx0,就f调削减；2、 极值及其判定定理：名师归纳总结 a必要条件：fx 在x 可导,如x 为fx 的极值点,就第 8 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载f 0x 0 . b 第一充分条件：f x 在 x 的邻域内可导,且 f 0x 0,就如当 x x 0 时,f x 0,当 x 0x 时,f x 0,就 x 0为极大值点；如当 x x 0 时,f x 0,当 x x 0 时,f x 0,就 x 为微小值点；如在 x 的两侧 f x 不变号,就 x 不是极值点；
10、c 其次充分条件：f x 在 x 处二阶可导,且 f x 0 0,f 0x 0,就如 f x 0 0,就 x 为极大值点；如 f x 0 0,就 x 0为微小值点；3、 凹凸性及其判定,拐点1）fx 在区间 I 上连续,如x 1,x 2I,fx 12x2fx 12fx2,就称fx在区间I上的图形是凹的；如x 1,x2I,fx 12x2fx 1fx 2,就称fx 在区间 I 上的图2形是凸的；2）判定定理：fx在a,b 上连续,在a,b上有一阶、二阶导数,就名师归纳总结 a 如xa,b,fx 0,就fx在a ,b上的图形是凹的；第 9 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 -
11、- - - - - - - - 学习必备 欢迎下载b 如 x a , b , f x 0 ,就 f x 在 a , b 上的图形是凸的；3）拐点：设 y f x 在区间 I 上连续,x 是 f x 的内点,假如曲线 y f x 经过点 x 0 , f x 0 时,曲线的凹凸性转变了,就称点 x 0 , f x 0 为曲线的拐点；（五） 不等式证明1、 利用微分中值定理；2、 利用函数单调性；3、 利用极值（最值）；（六） 方程根的争论1、 连续函数的介值定理；2、 Rolle 定理；3、 函数的单调性；4、 极值、最值；5、凹凸性；（七） 渐近线名师归纳总结 1、 铅直渐近线：lim x af
12、x,就xfa为一条铅直渐近线；2、 水平渐近线：lim xfx b,就yb为一条水平渐近线；3、 斜 渐 近 线 ：lim xfxklim xxkx b存 在 , 就xykxb为一条斜第 10 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载渐近线；（八） 图形描画步骤 : 1. 确定函数yxfx的定义域,并考察其对称性及周期性；2. 求fx,f并求出fx 及fx为零和不存在的点；3. 列表判别函数的增减及曲线的凹向 4. 求渐近线 ; , 求出极值和拐点 ; 5. 确定某些特别点, 描画函数图形. 第四章不定积分（一） 概念和性质
13、1、原函数：在区间 I 上,如函数 F x 可导,且 F x f x ,就 F x 称为 f x 的一个原函数；2、不定积分：在区间 I 上,函数 f x 的带有任意常数的原函数称为 f x 在区间 I 上的不定积分；3、基本积分表（ P188 ,13 个公式）；4、性质（线性性）；（二） 换元积分法名师归纳总结 1、 第一类换元法（凑微分）：第 11 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2、 第fx xd学习必备欢迎下载ux代换）：xfudu二类换元法（变量fxdxfttd tt1x（三） 分部积分法：udvuvvdu（四） 有理函数积
14、分1、“ 拆”2、变量代换（三角代换、倒代换等） ；第五章 定积分（一） 概念与性质：名师归纳总结 1、定义：bfxdxlim 0infix ia,b上连续,就a12、fx 在区间性质：（7 条）函数性质7 （积分中值定理）fdxfba（ 平 均 值 ：a,b, 使bfxabfxdx）aba第 12 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（二） 微积分基本公式（ NL 公式）1、变上限积分：设xx aftdt,就x fx2、推广：dxftdtfxxfx xx dxFxf x的 一 个 原 函 数 , 就为N L公 式 ：
15、如FabfxdxFba（三） 换元法和分部积分1、换元法：bfxdxfttd ta2、分部积分法：budvuvbb avduaa（四） 反常积分名师归纳总结 1、无穷积分：ftfxdxfxdx第 13 页,共 18 页fxdxlim taabfxdxtlimbfxdxt2、fxdx0xdx0瑕积分：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - bfxdxlim t atbf学习必备欢迎下载xdx（a 为瑕点）abfxdxlim t btfxdx（b 为瑕点）aa两个重要的反常积分：1 dx,xp1b1,a1 q,q1a1pp1axpp1bdxdbq2axaqa b
16、xqq1第六章定积分的应用（一） 平面图形的面积名师归纳总结 1、 直角坐标：Abf2xf1xdx第 14 页,共 18 页a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2、 极坐标：A1学习必备欢迎下载d2 2221（二） 体积1、 旋转体体积：a曲边梯形yfx,xa,xb,x轴,绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积：Vxbf2xdxab曲边梯形yfx,xa,xb,x轴,绕 y 轴旋转而成的旋转体的体积：Vyb2xfxdx（柱壳法）a2、 平行截面面积已知的立体：VbAxdxa（三） 弧长名师归纳总结 1、 直角坐标：sb1tfx2dx2dt第 15 页,共 18
17、 页a2、 参数方程：s2t- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3、 极坐标：s学习必备2欢迎下载2d第七章 微分方程（一） 概念 1、 微分方程：表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系 的方程；阶：微分方程中所显现的未知函数的最高阶导数的阶 数；2、 解：使微分方程成为恒等式的函数；通解：方程的解中含有任意的常数,且常数的个数与微分方程 的阶数相同；特解：确定了通解中的任意常数后得到的解；（二） 变量可分别的方程gydyfx dx,两边积分gy dyfx dx（三） 齐次型方程名师归纳总结 或dyy,设uy,就dyuxdu dx；第 16 页,共
18、 18 页dxxxdxdxx,设vx,就dxvydv dydyyydy- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（四） 一阶线性微分方程ydyxP xyQx Px易dx法C或用公式：dx用常数变ePdxQxedx（五） 可降阶的高阶微分方程1、ynffx,两边积分 n 次；yp,就yp；yx ,y（不显含有 y ）,令2、3、yfy,yyp,就ypdp（不显含有 x ）,令dy（六） 线性微分方程解的结构1、y 1, y 2是齐次线性方程的解,就C 1y 1C2y 2也是；C2y 2是方C 1y 1y 1, y22、是齐次线性方程的线性无关的
19、特解,就程的通解；3、yC1y 1C2y2y*为非齐次方程的通解,其中y 1, y 2为对应齐次方程的线性无关的解,（七） 常系数齐次线性微分方程*y 非齐次方程的特解；名师归纳总结 二阶常系数齐次线性方程：0yp yqy20第 17 页,共 18 页特点方程：r2prq,特点根：r 1, r- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 特点根学习必备欢迎下载通解实根r 1ir2yr C 1 e1xC2r e2xC2sinxr 1r2pyC 1C2xre1x2r ,2yexC1cosx（八） 常系数非齐次线性微分方程名师归纳总结 ypyqyfxk0, 不是特点根,1、fxexP mx设特解y*xkexQmx,其中1 , 是一个单根2、fxexPxcosxP n2 , 是重根xsinxxkex 1R mx cosx 2R mxsinx设特解y*其中mmaxl,n ,k0,i不是特点根第 18 页,共 18 页1 ,i是特点根- - - - - - -