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1、1998年世界硕士研究生入学分歧检验数学一试题一、填空题(此题共5小题,每题3分,总分值15分.)(1).(2)设存在二阶连续导数,那么.(3)设为椭圆其周长记为,那么.(4)设为阶矩阵,为的伴随矩阵,为阶单位矩阵.假设有特色值,那么必有特色值.(5)设破体地域由曲线及直线所围成,二维随机变量在地域上遵从均匀分布,那么关于的边缘概率密度在处的值为_.二、选择题(此题共5小题,每题3分,共15分.)(1)设连续,那么()(A)(B)(C)(D)(2)函数弗成导点的个数是()(A)3(B)2(C)1(D)0(3)已经清楚函数在任意点处的增量且事前,是的高阶无穷小,那么等于()(A)(B)(C)(D
2、)(4)设矩阵是满秩的,那么直线与直线()(A)订交于一点(B)重合(C)平行但不重合(D)异面(5)设是两个随机情况,且那么必有()(A)(B)(C)(D)三、(此题总分值5分)求直线在破体上的投影直线的方程,并求绕轴改变一周所成曲面的方程.四、(此题总分值6分)判定常数,使在右半破体上的向量为某二元函数的梯度,并求.五、(此题总分值6分)从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测恳求,需判定仪器的下沉深度(从海破体算起)与下沉速度之间的函数关系.设仪器在重力感染下,从海破体由活动开始铅直下沉,不才沉过程中还受到阻力跟浮力的感染.设仪器的质量为,体积为,海水比重为,仪器所受的阻力与下沉速度成正比,
3、比例系数为.试树破与所称心的微分方程,并求出函数关系式.六、(此题总分值7分)打算其中为下半球面的上侧,为大年夜于零的常数.七、(此题总分值6分)求八、(此题总分值5分)设正项数列单调添加,且发散,试征询级数是否收敛？并说明因由.九、(此题总分值6分)设是区间上的任一非负连续函数.(1)试证存在,使得在区间上以为高的矩形面积,等于在区间上以为曲边的梯形面积.(2)又设在区间内可导,且证明(1)中的是唯一的.十、(此题总分值6分)已经清楚二次曲面方程,可以经过正交变卦化为椭圆柱面方程,求的值跟正交矩阵.十一、(此题总分值4分)设是阶矩阵,假设存在正整数,使线性方程组有解向量,且,证明：向量组是线
4、性有关的.十二、(此题总分值5分)已经清楚线性方程组的一个基础解系为,试写出线性方程组的通解,并说明因由.十三、(此题总分值6分)设两个随机变量相互独破,且都遵从均值为0、方差为的正态分布,求随机变量的方差.十四、(此题总分值4分)从正态总体中抽取容量为的样本,假设恳求其样本均值位于区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95,征询样本容量至少应取多大年夜？附表：标准正态分布表1.281.6451.962.330.9000.9500.9750.990十五、(此题总分值4分)设某次检验的后天水果遵从正态分布,从中随机地抽取36位考生的效果,算得均匀效果为66.5分,标准差为15分,征询在分明性水
5、平0.05下,是否可以以为此次检验全体考生的均匀效果为70分？并给出检验过程.附表：分布表0.950.975351.68962.0301361.68832.02811998年世界硕士研究生入学分歧检验数学一试题分析一、填空题(此题共5小题,每题3分,总分值15分.)(1)【答案】【分析】方法1：用四那么运算将分子化简,再用等价无穷小交流,原式.方法2：采用洛必达法那么.原式.方法3：将分子按佩亚诺余项泰勒公式展开至项,从而原式.(2)【答案】【分析】由于存在二阶连续导数,使用混淆偏导数在连续的条件下与求导次序有关,先求或均可,但差异的选择可以阻碍打算的繁简.方法1：先求.,方法2：先求.方法3
6、：对两项分不采用差异的次序更庞杂些：评注：此题中,中的中间变量均为一元,因此此题实质上是一元复合函数的求导,只需留心到对求导时,视为常数；对求导时,视为常数就可以了.(3)【答案】【分析】关于轴(轴)对称,关于(关于)为奇函数.又在上,因此,原式.【相关知识点】对称性：破体第一型曲线积分,设在上连续,假设关于轴对称,为上的部分,那么有结论：类似地,假设关于轴对称,为上的部分,那么有结论：(4)【答案】【分析】方法1：设的对应于特色值的特色向量为,由特色向量的定义有.由,知(假设0是的特色值),将上式中间左乘,得,从而有(即的特色值为).将此式中间左乘,得.又,因此,故的特色值为.方法2：由,的
7、特色值(假设0是的特色值),那么有特色值,的特色值为；的特色值为.【相关知识点】1.矩阵特色值与特色向量的定义：设是阶矩阵,假设存在数及非零的维列向量使得成破,那么称是矩阵的特色值,称非零向量是矩阵的特色向量.由为的特色值可知,存在非零向量使,中间左乘,得.由于,故,因此有.按特色值定义知是的特色值.假设,那么.即假设是的特色值,那么的特色值是.2.矩阵可逆的充要条件是,且.O12(5)【答案】【分析】起首求的结合概率密度.,地域的面积为其次求关于的边缘概率密度.当或时,；事前,.故二、选择题(此题共5小题,每题3分,共15分.)(1)【答案】(A)【分析】为变限所定义的函数求导数,作积分变量
8、代换,选(A).【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：假设,均一阶可导,那么.(2)【答案】(B)【分析】当函数中出现绝对值号时,就有可以出现弗成导的“尖点,由于这时的函数是分段函数.,事前可导,因此只需在处考察是否可导.在这些点我们分不考察其左、右导数.由,即在处可导.又,因此在处弗成导.类似,函数在处亦弗成导.因此只需2个弗成导点,故应选(B).评注：此题也可使用以下结论停顿揣摸：设函数,其中在处连续,那么在处可导的充要条件是.(3)【答案】(D)【分析】由有令得是的高阶无穷小,那么,即.不离变量,得单方积分,得,即代入初始条件得因此,.故【相关知识点】无穷小的比较：设在一致个极限过程
9、中,为无穷小且存在极限,(1)假设称在该极限过程中为同阶无穷小；(2)假设称在该极限过程中为等价无穷小,记为；(3)假设称在该极限过程中是的高阶无穷小,记为.假设不存在(不为),称弗成比较.(4)【答案】(A)【分析】设,题设矩阵是满秩的,那么由行列式的性质,可知,故向量组与线性有关,否那么由线性相关的定义知,肯定存在,使得,如斯上面行列式经过初等行变卦值应为零,发生冲突.与分不为的倾向向量,由倾向向量线性相关,两直线平行,可知不平行.又由得,即.异常由,得,即,可见均过点,故两直线订交于一点,选(A).(5)【答案】C【分析】由题设条件,知发生与不发生条件下发生的条件概率相当,即发生不发生无
10、阻碍的发生概率,故相互独破.而此题选项(A)跟(B)是考虑与是否相当,选项(C)跟(D)才是情况与B是否独破.【分析】由条件概率公式及条件知,因此有,可见.应选(C).【相关知识点】条件概率公式：.三、(此题总分值5分)【分析】方法1：求直线在破体上的投影：方法1：先求与的交点.以代入破体的方程,得.从而交点为；再过直线上点作破体的垂线,即并求与破体的交点：,交点为.与的连接线即为所求.方法2：求在破体上的投影线的最简方法是过作垂直于破体的破体,所求投影线的确是破体与的交线.破体过直线上的点与不共线的向量(直线的倾向向量)及(破体的法向量)平行,因此的方程是,即.投影线为上面求绕轴改变一周所成
11、的改变曲面的方程.为此,将写成参数的方程：按参数式表示的改变面方程得的参数方程为消去得的方程为,即四、(此题总分值6分)【分析】令那么在单联通地域右半破体上为某二元函数的梯度在上原函数其中,.由,即称心,.可见,事前,所给向量场为某二元函数的梯度场.为求,采用折线法,在半破体内任取一点,比如点作为积分道路的起点,那么按照积分与道路有关,有(折线法)(第一类换元法)(全然积分公式)其中为任意常数.【相关知识点】1.二元可微函数的梯度公式：.2.定理：设为破体上的单连通地域,函数与在内连续且有连续的一阶偏导数,那么以下六个命题等价：(1)；(2)为内任意一条逐项光滑的封闭曲线；(3)仅与点有关,与
12、连接什么样的分段光滑曲线有关；(4)存在二元单值可微函数,使(即为某二元单值可微函数的全微分；(5)微分方程为全微分方程；(6)向量场为某二元函数的梯度.换言之,其中任一组条件成破时,不的五组条件皆成破.以后提成破时,可用试图法或折线法求函数.五、(此题总分值6分)【分析】先树破坐标系,取沉放点为原点,铅直向下作为轴正向,探测器不才沉过程中受重力、浮力跟阻力的感染,其中重力大小：,浮力的大小：；阻力：,那么由牛顿第二定律得(*)由,代入(*)得与之间的微分方程.不离变量得,单方积分得,(第一类换元法).再按照初始条件即.故所求与函数关系为六、(此题总分值7分)【分析】方法1：此题属于求第二类区
13、面积分,且不属于封闭区面,那么考虑添加一破体使被积地域封闭后用高斯公式停顿打算,但由于被积函数分母中包含,因此不克不迭破刻加、减辅助面,宜先将曲面方程代入被积表达式先化简：添加辅助面,其侧向下(由于为下半球面的上侧,而高斯公式恳求是全体界线区面的外侧,这里我们取辅助面的下侧,跟的上侧构玉成部界线区面的内侧,前面取负号即可),由高斯公式,有第一个积分前面加负号是由于我们取界线区面的内侧,第二个积分前面加负号是由于的倾向向下；不的由曲面片在破体投影面积为零,那么,而上,那么.,其中为与所围成的有界闭地域,为在面上的投影.从而,第一个积分用球体体积公式；第二个用柱面坐标求三重积分；第三个用圆的面积公
14、式.方法2：逐项打算：其中,第一个负号是由于在轴的正半空间地域的上侧倾向与轴反向；第二个负号是由于被积函数在取负数.为在破体上的投影域,用极坐标,得其中为在破体上的投影域.故【相关知识点】高斯公式：设空间闭地域是由分片光滑的闭曲面所围成,函数、在上存在一阶连续偏导数,那么有或这里是的全体界线曲面的外侧,、是在点处的法向量的倾向余弦.上述两个公式叫做高斯公式.七、(此题总分值6分)【分析】这是项跟式的极限,跟式极限素日的方法就两种：一、把跟式放缩,使用夹逼准那么求极限；二、把跟式转换成定积分的定义方法,使用定积分求极限.这道题,把两种方法结合到一起来求极限.当各项分母均一样是时,项跟式是函数在0
15、,1区间上的一个积分跟.因此可由定积分求得极限.【分析】由于,因此,.由于,按照夹逼定理知,.【相关知识点】夹逼准那么：假设存在,事前,且有,那么.八、(此题总分值5分)【分析】方法1：因正项数列单调添加有下界0,知极限存在,记为,那么且.又发散,按照莱布尼茨判非法知,必有(否那么级数收敛).又正项级数单调添加,有而,级数收敛.按照正项级数的比较判非法,知级数也收敛.方法2：同方法1,可证明.令那么按照根值判非法,知级数也收敛.【相关知识点】1.交错级数的莱布尼茨判非法：设交错级数称心：(1)(2)那么收敛,且其跟称心余项反之,假设交错级数发散,只是称心条件(1),那么可以反证说明此级数肯定不
16、称心条件(2),因此有(否那么级数收敛)2.正项级数的比较判非法：设跟全然上正项级数,且那么(1)事前,跟同时收敛或同时发散；(2)事前,假设收敛,那么收敛；假设发散,那么发散；(3)事前,假设收敛,那么收敛；假设发散,那么发散.3.根值判非法：设,那么当九、(此题总分值6分)【分析】(1)要证,使；令,要证,使.可以对的原函数应用罗尔定理：,又由在连续在连续,在连续,在可导.按照罗尔定理,使.(2)由,知在内单调增,故(1)中的是唯一的.评注：假设开门见山对应用零点定理,会遇到麻烦：.事前,对任何的结论都成破；事前,但,假设,那么难以说明在内存在.当开门见山对用零点定理遇到麻烦时,不妨对的原
17、函数应用罗尔定理.【相关知识点】1.罗尔定理：假设函数称心(1)在闭区间上连续；(2)在开区间内可导；(3)在区间端点处的函数值相当,即,那么在内至少有一点(),使得.十、(此题总分值6分)【分析】经正交变卦化二次型为标准形,二次型矩阵与标准形矩阵既公约又类似.由题设知,二次曲面方程左端二次型对应矩阵为,那么存在正交矩阵,使得,即类似.由类似矩阵有一样的特色值,知矩阵有特色值从而,从而,事前,因此得方程组的同解方程组为,可知基础解系的个数为,故有1个自由未知量,选为自由未知量,取,解得基础解系为事前,因此得方程组的同解方程组为,可知基础解系的个数为,故有1个自由未知量,选为自由未知量,取,解得
18、基础解系为事前,因此得方程组的同解方程组为,可知基础解系的个数为,故有1个自由未知量,选为自由未知量,取,解得基础解系为由实对称矩阵差异特色值对应的特色向量相互正交,可知相互正交.将单位化,得因此所求正交矩阵为.评注：使用类似的需要条件求参数时,是比较好用的一个关系式.亦可用比较同次方的系数来求参数.【相关知识点】1.特色值的性质：2.类似矩阵的性质：假设矩阵类似,那么.十一、(此题总分值4分)【分析】用线性有关的定义证明.设有常数使得单方左乘,那么有,即.上式中因,可知,代入上式可得由题设,因此将代入,有.单方左乘,那么有,即.异常,由,可得由题设,因此类似地可证明因此向量组是线性有关的.【
19、相关知识点】向量组线性相关跟线性有关的定义：存在一组不全为零的数使,那么称线性相关；否那么,称线性有关十二、(此题总分值5分)【分析】的通解为,其中,为任意常数.因由：可记方程组,的系数矩阵分不记为,由于的每一行全然上的解,故.的列是的基础解系,故由基础解系的定义知,的列向量是线性有关的,因此.故基础解系所含向量的个数,得.因此,的行向量线性有关.对单方取转置,有,那么有的列向量,即的行向量是的线性有关的解.又,故基础解系所含向量的个数应为,偏偏等于的行向量个数.故的行向量组是的基础解系,其通解为,其中,为任意常数.十三、(此题总分值6分)【分析】把看成一个随机变量,按照独破正态随机变量的线性
20、组合肯定为正态分布的性质,可以清楚,如斯可以简化整题的打算.【分析】令,由于相互独破,且都遵从正态分布,因此也遵从正态分布,且,.因此,.而,故【相关知识点】1.关于随机变量与均遵从正态分布,那么与的线性组合亦遵从正态分布.假设与相互独破,由数学期望跟方差的性质,有,其中为常数.2.方差的定义：.3.随机变量函数期望的定义：假设,那么.十四、(此题总分值4分)【分析】由题知：,千般本相互独破,按照独破正态随机变量的性质,.其中,.按照期望跟方差的性质,因此,.把标准化,.从而,故查表掉掉落即因此致少应取35.【相关知识点】1.关于随机变量与均遵从正态分布,那么与的线性组合亦遵从正态分布.假设与相互独破,由数学期望跟方差的性质,有,其中为常数.2.假设,那么十五、(此题总分值4分)【分析】设该次检验的考天水果为,那么,设为从总体抽取的样本容量为的样本均值,为样本标准差,那么在分明性水平下树破检验假设：由于未知,故用检验.拔取检验统计量,在时,选择拒绝域为,其中称心：,即由可算得统计量的值：.因此接受假设,即在分明性水平0.05下,可以以为此次检验全体考生的均匀效果为70分.