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1、1991年天下硕士研讨生退学一致测验数学一试题一、填空题(此题总分值15分,每题3分.)(1)设那么=_.(2)由方程所断定的函数在点处的全微分=_.(3)曾经明白两条直线的方程是；,那么过且平行于的平面方程是_.(4)曾经明白事先,与是等价无量小,那么常数=_.(5)设4阶方阵,那么的逆阵=_.二、抉择题(此题总分值15分,每题3分.)(1)曲线()(A)不渐近线(B)仅有程度渐近线(C)仅有铅直渐近线(D)既有程度渐近线又有铅直渐近线(2)假定延续函数满意关联式,那么等于()(A)(B)(C)(D)(3)曾经明白级数,那么级数等于()(A)3(B)7(C)8(D)9(4)设是平面上以(1,
2、1)、(-1,1)跟(-1,-1)为极点的三角形地区,是在第一象限的局部,那么等于()(A)(B)(C)(D)0(5)设阶方阵、满意关联式,此中是阶单元阵,那么必有()(A)(B)(C)(D)三、(此题总分值15分,每题5分.)(1)求.(2)设曲直面在点处的指向外侧的法向量,求函数在点处沿偏向的方导游数.(3),此中是由曲线绕轴扭转一周而成的曲面与平面所围成的平面.四、(此题总分值6分)在过点跟的曲线族中,求一条曲线,使沿该曲线从到的积分的值最小.五、(此题总分值8分.)将函数开展成以2为周期的傅破叶级数,并由此求级数的跟.六、(此题总分值7分.)设函数在0,1上延续,(0,1)内可导,且,
3、证实在(0,1)内存在一点,使.七、(此题总分值8分.)曾经明白,及.(1)、为何值时,不克不及表现成的线性组合？(2)、为何值时,有的独一的线性表现式？并写出该表现式.八、(此题总分值6分)设为阶正定阵,是阶单元阵,证实的行列式年夜于1.九、(此题总分值8分)在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点处的曲率等于此曲线在该点的法线段长度的倒数(是法线与轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与轴平行.十、填空题(此题总分值6分,每题3分.)(1)假定随机变量听从均值为2,方差为的正态散布,且,那么=_.(2)随机地向半圆(为畸形数)内掷一点,点落在半圆内任何地区的概率与地区的面积成反比,那么原
4、点跟该点的连线与轴的夹角小于的概率为_.十一、(此题总分值6分)设二维随机变量的概率密度为,求随机变量的散布函数.1991年天下硕士研讨生退学一致测验数学一试题剖析一、填空题(此题总分值15分,每题3分.)(1)【谜底】【剖析】这是个函数的参数方程,满意参数方程所断定函数的微分法,即假如,那么.因而,再对求导,由复合函数求导法那么得.(2)【谜底】【剖析】这是求隐函数在某点的全微分,这里点的含意是.将方程双方责备微分,由一阶全微分方式稳定性得,再由全微分四那么运算法那么得,令,得,即.(3)【谜底】【剖析】所求平面过直线,因而过上的点；因为过平行于,因而平行于跟的偏向向量,即平行于向量跟向量,
5、且两向量不共线,因而平面的方程,即.(4)【谜底】【剖析】因为事先,事先,因而有因而.因为事先,与是等价无量小,因而,故.(5)【谜底】.【剖析】为求矩阵的逆可有多种办法,可用随同,可用初等行变更,也可用分块求逆.依照此题的特色,假定明白分块求逆法,那么能够复杂解答.留意：,.对于2阶矩阵的随同矩阵有法则：,那么求的随同矩阵.假如,如此.再应用分块矩阵求逆的法那么：,易见.二、抉择题(此题共5个小题,每题3分,总分值15分.)(1)【谜底】(D)【剖析】因为函数的界说域为,因而函数的延续点为,因而为铅直渐近线,因而为程度渐近线.因而选(D).【相干常识点】铅直渐近线：如函数在其延续点处有,那么
6、是函数的一条铅直渐近线；程度渐近线：当,那么为函数的程度渐近线.(2)【谜底】(B)【剖析】令,那么,因而,双方对求导,得,这是一个变量可不离的微分方程,即.解之得,此中是常数.又因为,代入,得,得,即.(3)【谜底】(C)【剖析】因为(收敛级数的联合律与线性性子),因而.而,故应选(C).(4)【谜底】(A)【剖析】如图,将地区分为四个子地区.显然,对于轴对称,对于轴对称.令,因为对及对基本上奇函数,因而.而对是偶函数,对是奇函数,故有,因而,应选(A).(5)【谜底】(D)【剖析】矩阵的乘法公式不交流律,只要一些特别状况能够交流.因为、均为阶矩阵,且,平等式双方取行列式,据行列式乘法公式,
7、失掉、,知、均可逆,那么,对于,先左乘再右乘有,故应选(D).事实上,对于先右乘再左乘,有.三、(此题总分值15分,每题5分.)(1)【剖析】这是型不决式求极限.令,那么时,因而,因而.因为事先,因而,故.(2)【剖析】先求偏向的偏向余弦,再求,最初按方导游数的盘算公式求出方导游数.曲面在点处的法向量为,在点处指向外侧,取正号,并单元化得又,因而方导游数.(3)【剖析】由曲线绕轴扭转一周而围成的扭转面方程是.因而,是由扭转抛物面与平面所围成.曲面与平面的交线是.选用柱坐标变更,令,因而,因而.四、(此题总分值6分)【剖析】曲线,那么,因而.对对于的函数双方对求导数,此中,并令得.因而,且.故为
8、函数的极小值点,也是最小值点.故所求的曲线为.五、(此题总分值8分.)【剖析】按傅式级数公式,先求的傅式系数与.因为偶函数,因而,.因为在区间上满意狄利克雷收敛定理的前提,因而.令,有,因而,.又,因而,即.六、(此题总分值7分.)【剖析】由定积分中值定理可知,对于,在区间上存在一点使得,即.由罗尔定理可知,在区间内存在一点,使得.七、(此题总分值8分)【剖析】设,按重量写出,那么有.对方程组的增广矩阵作初等行变更:第一行分不乘以有、加到第三行跟第四行上,再第二行乘以、加到第三行跟第四行上,有,因而,事先,方程组无解.等于不存在使得成破,不克不及表现成的线性组合；事先,方程组有独一解,故有独一
9、表白式,且.【相干常识点】非齐次线性方程组有解的断定定理：设是矩阵,线性方程组有解的充沛须要前提是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,等于(或许说,可由的列向量线表出,亦同等于与是等价向量组).设是矩阵,线性方程组,那么(1)有独一解(2)有无量多解(3)无解不克不及由的列向量线表出.八、(此题总分值6分)【剖析】办法1：因为为阶正定阵,故存在正交矩阵,使,此中,是的特点值.因而两头取行列式得,从而.办法2：设的个特点值是因为为阶正定阵,故特点值全年夜于0.由为的特点值可知,存在非零向量使,两头同时加上,得.按特点值界说知是的特点值.因为的特点值是它们全年夜于1,依照,知.【相干常识点】阵特点值与特
10、点向量的界说：设是阶矩阵,假定存在数及非零的维列向量使得成破,那么称是矩阵的特点值,称非零向量是矩阵的特点向量.九、(此题总分值8分)【剖析】曲线在点处的法线方程为(事先),它与轴的交点是,从而.事先,有,上式依然成破.因而,依照题意得微分方程,即.这是可落阶的高阶微分方程,且事先,.令,那么,二阶方程落为一阶方程,即.即,为常数.因为事先,因而,即,因而.不离变量得.令,并积分,那么上式左端变为.因曲线在上半平面,因而,即.故.事先,以后取+时,；以后取时,；因而.十、填空题(此题总分值6分,每题3分.)(1)【剖析】普通说来,假定盘算正态散布随机变量在某一范畴内取值的概率,应当曾经明白散布的两个参数跟,否那么应先依照题设前提求出,再盘算有关事情的概率,此题可从,经过查表求出,然而留意到所求概率等于与之间的关联,能够直截了当由的值盘算出.因为,因而可规范化得,由规范正态散布函数概率的盘算公式,有,.由正态散布函数的对称性可失掉.(2)【剖析】设事情=“掷的点跟原点的连线与轴的夹角小于,O这是一个多少何型概率的盘算咨询题.由多少何概率公式,而,故.十一、(此题总分值6分)【剖析】二维延续型随机变量的概率等于对应地区的二重积分,因而有O.事先,.因为在直线的下方与(即第一象限)不年夜众地区,因而.事先,在直线的上方与第一象限订交成一个三角形地区,此即为积分区间.因而的散布函数