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1、第二章 第十一节 变化率与导数、导数的计算题组一导数的概念及运算f(x)xlnx,若f(x0)2,则x0 ()Ae2 Be C. Dln2解析:f(x)x1lnx1lnx,由1lnx02,知x0e.答案:B2设f0(x)cosx,f1(x)f0(x),f2(x)f1(x),fn1(x)fn(x),nN,则f2010(x) ()Asinx Bsinx Ccosx Dcosx解析:f1(x)(cosx)sinx,f2(x)(sinx)cosx,f3(x)(cosx)sinx,f4(x)(sinx)cosx,由此可知fn(x)的值周期性重复出现,周期为4,故f2010(x)f2(x)cosx.答案:
2、D3(2009安徽高考)设函数f(x)x3x2tan,其中0,则导数f(1)的取值范围是 ()A2,2 B, C,2 D,2解析:f(x)sinx2cosx,f(1)sincos2sin()0,sin(),1,f(1),2答案:D4设f(x)(axb)sinx(cxd)cosx,试确定常数a,b,c,d,使得f(x)xcosx.解:由已知f(x)(axb)sinx(cxd)cosx(axb)sinx(cxd)cosx(axb)sinx(axb)(sinx)(cxd)cosx(cxd)(cosx)asinx(axb)cosxccosx(cxd)sinx(acxd)sinx(axbc)cosx.又
3、f(x)xcosx,必须有即解得ad1,bc0.题组二导数的几何意义5.(2009辽宁高考)曲线y在点(1,1)处的切线方程为 ()Ayx2 By3x2Cy2x3 Dy2x1解析:y(),ky|x12.l:y12(x1),即y2x1.答案:D6(2010福建四地六校联考)下列曲线的所有切线构成的集合中,存在无数对互相垂直的切线的曲线是()Af(x)ex Bf(x)x3 Cf(x)lnx Df(x)sinx解析:设切点的横坐标为x1,x2则存在无数对互相垂直的切线,即f(x1)f(x2)1有无数对x1,x2使之成立对于A由f(x)ex0,所以不存在f(x1)f(x2)1成立;对于B由于f(x)3
4、x20,所以也不存在f(x1)f(x2)1成立;对于C由于f(x)lnx的定义域为(0,),f(x)0,对于Df(x)cosx,f(x1)f(x2)cosx1cosx2,当x12k,x2(2k1),kZ,f(x1)f(x2)1恒成立答案:D7(2009宁夏、海南高考)曲线yxex2x1在点(0,1)处的切线方程为_解析:yexxex2,y|x03,切线方程为y13(x0),y3x1.答案:y3x18(2009福建高考)若曲线f(x)ax2lnx存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是_解析:f(x)2ax.f(x)存在垂直于y轴的切线,f(x)0有解,即2ax0有解,a,a(,0)答案:(,
5、0)9已知函数f(x)x3x16.(1)求曲线yf(x)在点(2,6)处的切线的方程;(2)直线l为曲线yf(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标;(3)如果曲线yf(x)的某一切线与直线yx3垂直,求切点坐标与切线的方程解:(1)可判定点(2,6)在曲线yf(x)上f(x)(x3x16)3x21,在点(2,6)处的切线的斜率为kf(2)13.切线的方程为y13(x2)(6),即y13x32.(2)法一:设切点为(x0,y0),则直线l的斜率为f(x0)31,直线l的方程为y(31)(xx0)x016,又直线l过点(0,0),0(31)(x0)x016,整理得,8,x02,y0(2
6、)3(2)1626,k3(2)2113.直线l的方程为y13x,切点坐标为(2,26)法二:设直线l的方程为ykx,切点为(x0,y0),则k,又kf(x0)31,31,解之得x02,y0(2)3(2)1626,k3(2)2113.直线l的方程为y13x,切点坐标为(2,26)(3)切线与直线y3垂直,切线的斜率k4.设切点的坐标为(x0,y0),则f(x0)314,x01,或切线方程为y4(x1)14或y4(x1)18.即y4x18或y4x14.题组三导数的灵活应用10.下图中,有一个是函数f(x)x3ax2(a21)x1(aR,a0)的导函数f(x)的图象,则f(1) ()A B C. D
7、或解析:f(x)x22ax(a21),导函数f(x)的图象开口向上又a0,其图象必为第(3)个图由图象特征知f(0)0,且a0,a1.故f(1)11.答案:B11(文)(2010开原模拟)设a0,f(x)a2bxc,曲线yf(x)在点P(x0,f(x0)处切线的倾斜角的取值范围为0,则点P到曲线yf(x)对称轴距离的取值范围为()A0, B0, C0,| D0,|解析:yf(x)在点P(x0,f(x0)处切线的倾斜角的范围为0,0f(x0)1,即02ax0b1,x0,0x0,即点P到曲线yf(x)对称轴的距离的取值范围为0,答案:B(理)曲线yln(2x1)上的点到直线2xy30的最短距离是
8、()A. B2 C3 D0解析:设曲线上过点P(x0,y0)的切线平行于直线2xy30,此切点到直线2xy30的距离最短,即斜率是2,则y|xx0(2x1)|xx0|xx02.解得x01,所以y00,即点P(1,0),点P到直线2xy30的距离为,曲线yln(2x1)上的点到直线2xy30的最短距离是.答案:A12(文)设t0,点P(t,0)是函数f(x)x3ax与g(x)bx2c的图象的一个公共点,两函数的图象在点P处有相同的切线试用t表示a,b,c.解:因为函数f(x),g(x)的图象都过点(t,0),所以f(t)0,即t3att0,所以at 2.g(t)0,即bt2c0,所以cab.又因
9、为f(x),g(x)在点(t,0)处有相同的切线,所以f(t)g(t)而f(x)3x2a,g(x)2bx,所以3t2a2bt.将at2代入上式得bt.因此cabt3.故at2,bt,ct3.(理)已知函数f(x)ax33x26ax11,g(x)3x26x12,和直线m:ykx9,又f(1)0.(1)求a的值;(2)是否存在k的值,使直线m既是曲线yf(x)的切线,又是曲线yg(x)的切线?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由解:(1)f(x)3ax26x6a,f(1)0,即3a66a0,a2.(2)直线m恒过定点(0,9),先求直线m是曲线yg(x)的切线,设切点为(x0,36x012),g(x0)6x06,切线方程为y(36x012)(6x06)(xx0),将点(0,9)代入,得x01,当x01时,切线方程为y9;当x01时,切线方程为y12x9.由f(x)0得6x26x120,即有x1或x2,当x1时,yf(x)的切线方程为y18;当x2时,yf(x)的切线方程为y9.公切线是y9.又有f(x)12得6x26x1212,x0或x1.当x0时,yf(x)的切线方程为y12x11;当x1时,yf(x)的切线方程为y12x10,公切线不是y12x9.综上所述公切线是y9,此时存在,k0.