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1、-1-第二章第十一节变化率与导数、导数的计算一、选择题1.已知函数f(x)的图象如图所示，f(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是()A0f(2)f(3)f(3)f(2)B0f(3)f(3)f(2)f(2)C0f(3)f(2)f(3)f(2)D0f(3)f(2)f(2)f(3)2曲线yx311 在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A 9 B 3 C9 D15 3曲线ysin xsin xcos x12在点M(4，0)处的切线的斜率为()A12B.12C22D.224设曲线yax2在点(1，a)处的切线与直线2xy6 0 平行，则a()A1 B.12C12D 1 5若点P
2、是曲线yx2lnx上任意一点，则点P到直线yx2 的最小距离为()A1 B.2 C.22D.3 6放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变 假设在放射性同位素铯137 的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)M02t30，其中M0为t0 时铯 137 的含量已知t30 时，铯137 含量的变化率是10ln2(太贝克/年)，则M(60)()A5 太贝克B75ln2 太贝克C150ln2 太贝克D150 太贝克二、填空题-2-7已知f(x)x22xf(1)，则f(0)_.8已知函数f(x)x3ax 4(aR)，若函
3、数yf(x)的图象在点P(1，f(1)处的切线的倾斜角为4，则a_.9若曲线f(x)ax5 lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_三、解答题10求下列函数的导数(1)yx2sin x；(2)yex1ex1；11已知曲线f(x)12e2x 1在点A处的切线和曲线g(x)12e2x1在点B处切线互相垂直，O为坐标原点且OAOB0，求AOB的面积12已知曲线S：y3xx3及点P(2,2)(1)求过点P的切线方程；(2)求证：与曲线S切于点(x0，y0)(x00)的切线与S至少有两个交点详解答案一、选择题1.解析：由导数的几何意义可知，f(2)、f(3)分别表示曲线在x2，x 3 处的切线
4、的斜率，而f(3)f(2)表示直线AB的斜率，即kABf(3)f(2)-3-由图形可知0f(3)f(3)f(2)0，a0.故实数a的取值范围是(，0)答案：(，0)三、解答题10解：(1)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x.(2)法一：yex1ex1ex1ex1ex12exex1ex1exex122exex12.法二：yex12ex112ex 1，y1(2ex 1)，即y2exex12.11解：f(x)12e2x1(2x1)e2x1，g(x)12e2x1(2x1)e 2x1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y12112xe，y222112xe，f(x1)1
5、21xe，g(x2)221xe，x1x21，x1x214，x112，x212，y112，y212，OA22，OB22，-5-即A(12，12)，B(12，12)OAOB0，OAOB，SAOB12222214.12解：(1)设切点为(x0，y0)，则y0 3x0 x30.又f(x)33x2，切线斜率ky02x023 3x20.即 3x0 x302(x02)(3 3x20)(x01)(x01)23 0.解得x0 1 或x013.相应的斜率k0 或k963，切线方程为y2 或y(963)(x2)2.(2)证明：与曲线S切于点(x0，y0)的切线方程可设为yy0(3 3x20)(xx0)，与曲线S的方程联立，消去y，得 3xx3y03(1 x20)(xx0)，即 3xx3(3x0 x30)3(1x20)(xx0)即(xx0)2(x 2x0)0，则xx0或x 2x0，因此，与曲线S切于点(x0，y0)(x00)的切线，与S至少有两个交点