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1、（第二课时）随堂检测中，=，的垂直平分线与所在的直线相交所成的角为，则底角的度数为_2.已知等腰三角形一腰上的中线把等腰三角形的周长分成9和12两部分，则等腰三角形的腰长为_ 3.如图，已知AB=AC，A=36，AB的中垂线MN交AC于点D，交AB于点M，求证：（1）BD平分ABC（2） BCD为等腰三角形4沿矩形ABCD的对角线BD翻折ABD得A/BD,A/D交BC于F,如图所示,BDF是何种三角形？请说明理由.典例分析已知，如图所示，在ABC中，B=2C，AD是ABC的角平分线，请说明AC=AB+BD。分析：利用线段的截长补短，构造全等三角形，把分散的条件集中到一起，来解决此题。方法一：采
2、用截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段。解：在线段AC上截取点E，使AE=AB，连结DE。 AD平分BACBAD=DAE在ABD和AED中AB=AEBAD=DAEAD=AD ABDAEDBD=DE B=AEDB=2CAED=2CAED=C+EDCC=EDCED=ECBD=EC AC=AE+ECAC=AB+BD方法二：采用补短法：延长较短线段和较长线段相等。解：延长线段AB至点F，使AF=AC，连结DF。AD平分BAC FAD=CAD又AC=AF AD=ADAFDACDF=CABC=2CABC=2F又ABC=F+BDFF=BDFBF=BDAF=AB+BF AF=AB+BDAC=AB+B
3、D点评：利用构造全等三角形来解决一些问题是我们在做题过程中经常遇到的解题方法，下面就利用一例题来说明一下利用三角形全等来证明一条线段等于另外两条线段和的方法。课下作业拓展提高1.如图，已知线段a，h作等腰ABC，使ABAC，且BCa，BC边上的高ADh. 张红的作法是：（1）作线段BCa；（2）作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC相交于点D；（3）在直线MN上截取线段h；（4）连结AB，AC，ABC为所求的等腰三角形. 上述作法的四个步骤中，有错误的一步你认为是（ ）A. （1）B. （2）C.（3） D. （4） 2.已知点A和点B，以点A和点B为两个顶点作等腰直角三角形，则一共可作出（
4、）A.3个 B.4个 C.6个 D.7个DNMCBA3. ABC中，ABAC，AB的垂直平分线MN交AC于D，若A36，则下列结论中成立的有_，并且证明结论的正确性C72BD是ABC的平分线ABD是等腰三角形BCD的周长AC+BC4.如图，在ABC中，ACB=90，D是BC延长线上一点，E是BD垂直平分线与AB的交点，DE交AC于F.求证：点E在AF的垂直平分线上. A E 1 F 2 B C D5.如图所示，在ABC中，D为BC上的一点，连结AD，点E在AD上，并且1=2，3=4。求证：AD垂直平分BC。6.如图所示，点是的交点，点是的中点试判断和的位置关系，并给出证明COEABD7.如图，
5、在ABC中，BP、CP分别是ABC和ACB的平分线，且PD/AB，PE/AC，BC=5cm求PED的周长8.已知：三角形ABC中，A90，ABAC，D为BC的中点，（1） 如图1，E，F分别是AB，AC上的点，且BEAF，（2） 试说明DEF为等腰直角三角形（2） 若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BEAF，（3） 其他条件不变，那么，DEF是否仍为等腰直角三角形？（4） 请说明理由.9.小明将三角形纸片沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到（如图）小明认为是等腰三角形，你同意吗？请说明
6、理由ACDB图ACDB图FE（2）实践与运用将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点处，折痕为EG（如图）；再展平纸片（如图）求图中的大小EDDCFBA图EDCABFGADECBFG图图体验中考1（2009年山东泰安市）如图，ABC中，D是BC的中点，DEAB，BF平分ABC，交DE于点F，若BC=6，则DF的长是A.2 B.3 C.2.(2008新疆乌鲁木齐市)在一次数学课上，王老师在黑板上画出图，并写下了四个等式：，要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出是等腰三角形请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由
7、（写出一种即可）BEDAC参考答案：随堂检测1.解析：已知条件中的垂直平分线相交的具体位置不确定，从题意上看，故只考虑的垂直平分线与另一腰（或另一腰的延长线）相交时，会掉进命题“陷阱”，出现漏解现象所以此问题应分为的垂直平分线与另一腰相交和的垂直平分线与另一腰的延长线相交两种情形，如图1所示，即（1）当的垂直平分线与腰相交，且时，底角B的度数为；（2）的垂直平分线与腰的延长线相交，且时，则，所以底角的度数为ACBDEEADBC（1）（2）图1：已知条件中未具体指明等腰三角形一腰上的中线把等腰三角形周长分成的哪两部分的大小，从题意上看，故只考虑一部分长度为9（或12）时，会掉进命题“陷阱”，出现
8、漏解现象所以此问题应分为一部分长度为9 和12两种情形，如图2所示，即（1）当+=12、+=9时，解得=8、=5；（2）当+=9、+=12时，解得=6、=9所以它的腰长为8或6图2ADBC（2）ACBD（1）总之，解等腰三角形问题时，若题中未给出图形，则应考虑按一定标准进行分类讨论，获取完整的解答，更应尽量避免因思维定势造成漏解的情形3.证明：AB=AC，A=36ABC=C=72MN为AB的中垂线AD=BD则A=1=362=36，BDC=180-36-72=72，因此，BD平分ABCBCD为等腰三角形4.解:BDF是等腰三角形ABD翻折后得A/BDABDA/BD12四边形ABCD是矩形ADBC
9、1323BFDF（等角对等边）BDF是等腰三角形课下作业拓展提高“在射线DA上截取一点A，使DA=h”.解：选（C）.析：本题没有指明AB的腰还是底边，所以需分类讨论（1）以AB为底边，有C1、C2两个点符合要求，如图2；（2）以AB为腰，有C3、C4、C5、C6四个点符合条件，如图3综合（1），（2）可知一共可作出6个等腰三角形，所以选（C）3.分析：这是课本上例题改编的，平时的学习要注意把课本知识知识学扎实，本题考查的知识点较多需要综合运用知识解决问题的能力要求较高正确的结论有4.分析：本题可运用线段垂直平分线的性质定理证明BE=DE，再结合等腰三角形两底角相等、对顶角相等及等角的余角相等
10、推出EA=EF，从而运用线段垂直平分线的判定定理获证.证明：E是BD的垂直平分线上的一点，EB=ED. A又ACB=90， EA=90B，2=90D. 1 F2=A. 2又1=2， B C D1=A. EF=EA.点E在AF的垂直平分线上.5.解析：通过条件得出EB=EC，AB=AC，从而证明出AD垂直平分BC。证明：因为1=2，所以EB=EC，所以点E在线段BC的垂直平分线上。又因为1=2，3=4，所以ABC=ACB，所以点A也在线段BC的垂直平分线上。所以AD垂直平分BC。6.解析：通过所给条件可以证出，得出，利用三线合一即可解： 证明：在和中，又7.解析：因为BP是ABC的平分线，CP是
11、ACB的平分线，所以1=2，3=4，因为PD/AB，所以1=5，所以2=5，所以BD=PD（等角对等边）因为PE/AC，所以4=6，所以6=3，所以PE=EC，（等角对等边）所以PDE的周长等于PD+PE+DE=BD+DE+EC=BC=5cm点评：“等角对等边”是等腰三角形识别的重要方法，本题主要通过角的平行线以及平行线特征，运用“等边对等角”来解决问题的8.解析：第（1）问要说明DEF为等腰直角三角形，就要说明DE=DF且EDF=900，这就要构造两个三角形全等，由题意BEAF，再加上三角形ABC是等腰直角三角形，图1D为BC的中点的条件，显然要连接AD而达到目的；第（2）问，只要在第（1）
12、问的基础上很容易猜想到，说明方法也类似解：连结，因为 BAC90，为BC的中点，所以ADBC ，BDAD ，所以BDAC45，又BEAF，所以BDEADF （S.A.S）所以EDFD BDEADF所以EDFEDAADFEDABDEBDA90图2所以DEF为等腰直角三角形若E，F分别是AB，CA延长线上的点，如图2所示连结AD因为ABAC BAC90，D为BC的中点 ，所以ADBD ，ADBC ，所以DACABD45所以DAFDBE135，又AFBE，所以DAFDBE （S.A.S），所以FDED，FDAEDBEDFEDBFDBFDAFDBADB90，所以DEF仍为等腰直角三角形ACDBFEG9.解：（1）同意如图，设与交于点由折叠知，平分，所以又由折叠知，所以，所以所以，即为等腰三角形（2）由折叠知，四边形是正方形，所以又由折叠知，所以从而体验中考1.解析：由DEAB得ABF=BFD，由BF平分ABC得ABF=FBD，所以FBD=BFD，故BD=DF，因为D是BC的中点，故DF=3，选B2.解析：此题答案不唯一，条件可以是、已知：，求证：是等腰三角形证明：在和中，即是等腰三角形