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1、2023届数学二轮复习讲练测专题09 排列组合高考常见小题全归类 【命题规律】排列组合是高考重点考查的内容之一，今后在本节的考查形式依然以选择或者填空为主，以考查基本概念和基本方法为主，难度中等偏下，与教材相当本节内容与生活实际联系紧密，考生可适当留意常见的排列组合现象，如体育赛事排赛、彩票规则等，培养数学应用的思维意识【核心考点目录】核心考点一：两个计数原理的综合应用核心考点二：直接法核心考点三：间接法核心考点四：捆绑法核心考点五：插空法核心考点六：定序问题（先选后排）核心考点七：列举法核心考点八：多面手问题核心考点九：错位排列核心考点十：涂色问题核心考点十一：分组问题核心考点十二：分配问题
2、核心考点十三：隔板法核心考点十四：数字排列核心考点十五：几何问题核心考点十六：分解法模型与最短路径问题核心考点十七：排队问题核心考点十八：构造法模型和递推模型核心考点十九：环排问题【真题回归】1（2022全国统考高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（）A12种B24种C36种D48种2（2021全国统考高考真题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A60种B120种C240种D480种3（2020山东统考高
3、考真题）现从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，分别担任5门不同学科的课代表，则不同安排方法的种数是（）A12B120C1440D172804（2020海南高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（）A2种B3种C6种D8种5（2020海南统考高考真题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）A120种B90种C60种D30种6（2020全国统考高考真题）如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，a12设1ijk12
4、若kj=3且ji=4，则称ai，aj，ak为原位大三和弦；若kj=4且ji=3，则称ai，aj，ak为原位小三和弦用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（）A5B8C10D157（2022全国统考高考真题）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为_8（2020全国统考高考真题）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有_种【方法技巧与总结】1、如图，在圆中，将圆分等份得到个区域，现取种颜色对这个区域涂色，要求每相邻的两个区域涂不同的两种颜色，则涂色的方案有种2、错位排列公式3、数字排列问
5、题的解题原则、常用方法及注意事项（1）解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论4、定位、定元的排列问题，一般都是对某个或某些元素加以限制，被限制的元素通常称为特殊元素，被限制的位置称为特殊位置这一类问题通常以三种途径考虑：（1）以元素为主考虑，这时，一般先解决特殊元素的排法问题，即先满足特殊元素，再安排其他元素；（2）以位置为主考虑，这时，一般先解决特殊位置的
6、排法问题，即先满足特殊位置，再考虑其他位置；（3）用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数5、解决相邻问题的方法是“捆绑法”，其模型为将n个不同元素排成一排，其中某k个元素排在相邻位置上，求不同排法种数的方法是：先将这k个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其他元素一起排列，共有种排法；然后再将“捆绑”在一起的元素“内部”进行排列，共有种排法根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有种6、解决不相邻问题的方法为“插空法”，其模型为将个不同元素排成一排，其中某个元素互不相邻（），求不同排法种数的方法是：先将（）个元素排成一排，共有种排法；然后把个元素
7、插入个空隙中，共有种排法根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有种7、解决排列、组合综合问题时需注意“四先四后”：（1）先分类，后分步：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类加法计数原理解决或分成若干步，再由分步乘法计数原理解决常常既要分类，又要分步，其原则是先分类，再分步（2）先特殊，后一般：解排列、组合问题时，常先考虑特殊情形（特殊元素，特殊位置等），再考虑其他情形（3）先分组，后分配：对不同元素且较为复杂的平均分组问题，常常“先分组，再分配”（4）先组合，后排列：对于既要选又要排的排列组合综合问题，常常考虑先选再排【核心考点】核心考点一：两个计数原理的综合应用【典型例题】例
8、1（2022全国高三专题练习）重庆九宫格火锅，是重庆火锅独特的烹饪方式九宫格下面是相通的，实现了“底同火不同，汤通油不通”它把火锅分为三个层次，不同的格子代表不同的温度和不同的牛油浓度，其锅具抽象成数学形状如图（同一类格子形状相同）：“中间格“火力旺盛，不宜久煮，适合放一些质地嫩脆、顷刻即熟的食物；“十字格”火力稍弱，但火力均匀，适合煮食，长时间加热以锁住食材原香；“四角格”属文火，火力温和，适合焖菜，让食物软糯入味现有6种不同食物（足够量），其中1种适合放入中间格，3种适合放入十字格，2种适合放入四角格现将九宫格全部放入食物，且每格只放一种，若同时可以吃到这六种食物（不考虑位置），则有多少种
9、不同放法（）A108B36C9D6例2（2022春黑龙江哈尔滨高三哈尔滨七十三中校考阶段练习）某市抽调5位医生分赴4所医院支援抗疫，要求每位医生只能去一所医院，每所医院至少安排一位医生由于工作需要，甲乙两位医生必须安排在不同的医院，则不同的安排种数是（）A90B216C144D240例3（2022春山东聊城高三山东聊城一中校考期末）某大型联欢会准备从含甲、乙的6个节目中选取4个进行演出，要求甲、乙2个节目中至少有一个参加，且若甲、乙同时参加，则他们演出顺序不能相邻，那么不同的演出顺序的种数为（）A720B520C600D264核心考点二：直接法【典型例题】例4甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳
10、动技术比赛，决出第1名到第5名的名次甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”对乙说：“你当然不会是最差的”从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（）种A54B72C96D120例5某校开展研学活动时进行劳动技能比赛，通过初选，选出共6名同学进行决赛，决出第1名到第6名的名次（没有并列名次），和去询问成绩，回答者对说“很遗，你和都末拿到冠军；对说“你当然不是最差的”试从这个回答中分析这6人的名次排列顺序可能出现的结果有（）A720种B600种C480种D384种例6甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，则不同的排法有（）A24种B6种C4种D12种核心考点三：间
11、接法【典型例题】例7将7个人从左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且甲不站在最右端，则不同的站法有（）A1860种B3696种C3600种D3648种例8某学校计划从包含甲乙丙三位教师在内的10人中选出5人组队去西部支教，若甲乙丙三位教师至少一人被选中，则组队支教的不同方式共有（）A21种B231种C238种D252种例9中园古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每周安排一次讲座，共讲六次讲座次序要求“射”不在第一次，“数”和“乐”两次
12、不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（）A408种B240种C1092种D120种核心考点四：捆绑法【典型例题】例10（2022四川自贡统考一模）在某个单位迎新晚会上有A、B、C、D、E、F6个节目，单位为了考虑整体效果，对节目演出顺序有如下具体要求，节目C必须安排在第三位，节目D、F必须安排连在一起，则该单位迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有（）种A36B48C60D72例11（2022四川宜宾统考模拟预测）“四书” “五经”是我国部经典名著大学论语中庸孟子周易尚书诗经礼记春秋的合称为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书”“五经”知识讲座，每部名著安排次讲座，若要求大学论语相
13、邻，但都不与周易相邻，则排法种数为（）ABCD例12（2022春四川内江高三威远中学校校考期中）某一天的课程表要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物六门课，如果数学只能排在第一节或者最后一节，物理和化学必须排在相邻的两节，则共有（）种不同的排法ABCD核心考点五：插空法【典型例题】例13（2022全国高三专题练习）电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告，其中4个商业广告2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有（）ABCD例14（2022全国高三专题练习）五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徽、羽，如果用上这五
14、个音阶，排成一个五音阶音序，且商、角不相邻，徽位于羽的左侧，则可排成的不同音序有（）A18种B24种C36种D72种例15（2022全国高三专题练习）A，B，C，D，E，F这6位同学站成一排照相，要求A与C相邻且A排在C的左边，B与D不相邻且均不排在最右边，则这6位同学的不同排法数为（）A72B48C36D24核心考点六：定序问题（先选后排）【典型例题】例16满足，且的有序数组共有（）个ABCD例17某次演出有5个节目，若甲、乙、丙3个节目间的先后顺序已确定，则不同的排法有（）A120种B80种C20种D48种例18花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特
15、色如图，现有悬挂着的8盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，则不同取法总数为 （）A2520B5040C7560D10080核心考点七：列举法【典型例题】例19（2022春河南南阳高三统考期末）2021年8月17日，国家发改委印发的2021年上半年各地区能耗双控目标完成情况晴雨表显示，青海宁夏广西广东福建新疆云南陕西江苏浙江安徽四川等12个地区能耗强度同比不降反升，全国节能形势十分严峻某地市为响应节能降耗措施，决定对非繁华路段路灯在晚高峰期间实行部分关闭措施如图，某路段有十盏路灯（路两边各有五盏），现欲在晚高峰期关闭其中的四盏灯，为保证照明的需求，要求相邻的路灯不能同时关闭且相对的路灯也不能同时关
16、闭，则不同的关闭方案有（）A15种B16种C17种D18种例20三人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有（）A6种B8种C10种D16种例21（2022上海浦东新上海市实验学校校考模拟预测）定义“规范01数列”an如下：an共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数若m=4，则不同的“规范01数列”共有A18个B16个C14个D12个核心考点八：多面手问题【典型例题】例22我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞现要从中选6人上台表演，
17、3人唱歌，3人跳舞，有种不同的选法ABCD例23某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（）种不同的选法A225B185C145D110例24“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，在我国南方普遍存在端午节临近，某单位龙舟队欲参加今年端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨现要选派划左桨的3人、划右桨的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（）A26种B30种C37种D42种核心考点九：错位排列【典型例题】
18、例25编号为1、2、3、4、5的5个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个人的编号与座位号一致的坐法有（）A10种B20种C30种D60种例26将编号为、的小球放入编号为、的六个盒子中，每盒放一球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（）ABCD例27若5个人各写一张卡片（每张卡片的形状、大小均相同），现将这5张卡片放入一个不透明的箱子里，并搅拌均匀，再让这5人在箱子里各摸一张，恰有1人摸到自己写的卡片的方法数有（）A20B90C15D45核心考点十：涂色问题【典型例题】例28（2022春陕西宝鸡高三校考开学考试）某儿童游乐园有5个区域要涂
19、上颜色，现有四种不同颜色的油漆可供选择，要求相邻区域不能涂同一种颜色，则符合条件的涂色方案有（）种A36B48C54D72例29（2022春宁夏银川高三校考开学考试）如图，用五种不同的颜色给图中的O，A，B，C，D，E六个点涂色（五种颜色不一定用完），要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂法种数是（）A480B720C1080D1200例30（2022秋河北石家庄高二石家庄市第十五中学校考期中）用四种颜色给正四棱锥的五个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有（）A72种B36种C12种D60种核心考点十一：分组问题【典型例
20、题】例312021年春节期间电影你好，李焕英因“搞笑幽默不庸俗，真心实意不煽情”深受热棒，某电影院指派5名工作人员进行电影调查问卷，每个工作人员从编号为1，2，3，4的4个影厅选一个，可以多个工作人员进入同一个影厅，若所有5名工作人员的影厅编号之和恰为10，则不同的指派方法种数为（）A91B101C111D121例32已知有6本不同的书（1）分成三堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？（2）分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？核心考点十二：分配问题【典型例题】例33（2022浙江模拟预测）杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲、乙、丙、丁等4人报名参加了三个项目的志愿者工
21、作，每个项目需1名或2名志愿者，若甲不能参加项目，乙不能参加、项目，那么共有_种不同的志愿者选拔方案例34（2022上海长宁统考一模）有甲、乙、丙三项任务，其中甲需2人承担，乙、丙各需1人承担；现从6人中任选4人承担这三项任务，则共有_种不同的选法例35（2022四川南充高三统考期中）随着高三学习时间的增加，很多高三同学心理压力加大通过心理问卷调查发现，某校高三年级有5位学生心理问题凸显，需要心理老师干预已知该校高三年级有3位心理老师，每位心理老师至少安排1位学生，至多安排3位学生，则共有_种心理辅导安排方法核心考点十三：隔板法【典型例题】例36（2022全国高三专题练习）六元一次方程的正整数
22、解有_组例37（2022全国高三专题练习）将10本完全相同的科普知识书，全部分给甲乙丙3人，每人至少得2本，则不同的分法数为（）A720种B420种C120种D15种例38（2022春山东济宁高三济宁一中校考开学考试）展开式为多项式，则其展开式经过合并同类项后的项数一共有（）A12项B24项C39项D78项核心考点十四：数字排列【典型例题】例39（2022春四川绵阳高三绵阳中学校考阶段练习）小小的火柴棒可以拼成几何图形，也可以拼成数字如下图所示，我们可以用火柴棒拼出1至9这9个数字比如：“1”需要2根火柴棒，“7”需要3根火柴棒若用8根火柴棒以适当的方式全部放入右面的表格中（没有放入火柴棒的空
23、位表示数字“0”），那么最多可以表示无重复数字的三位数有_个例40（2022全国高三专题练习）从0，2，4，6中任取2个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成_个没有重复数字的四位偶数例41（2022天津宝坻天津市宝坻区第一中学校考二模）用数字组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为_ 核心考点十五：几何问题【典型例题】例42（2022秋山东聊城高二校考期中）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中相互平行或相互垂直的有（）A24对B16对C18对D48对例43（2022全国高考真题）在直角坐标系中，已知三边所在直线的方程分别为，则内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总
24、数是（）A95B91C88D75例44（2022全国高三专题练习）已知分子是一种由60个碳原子构成的分子，它形似足球，因此又名足球烯，是单纯由碳原子结合形成的稳定分子，它具有60个顶点和若干个面，各个面的形状为正五边形或正六边形，结构如图已知其中正六边形的面为20个，则正五边形的面为（）个A10B12C16D20核心考点十六：分解法模型与最短路径问题【典型例题】例45（2022秋内蒙古高二校考期中）如图，某城市的街区由12个全等的矩形组成（实线表示马路），段马路由于正在维修，暂时不通，则从到的最短路径有（）A种B种C种D种例46（2022陕西西安西安中学校考模拟预测）在某城市中，两地有如图所示
25、的方格型道路网，甲随机沿路网选择一条最短路径，从地出发去往地，且不经过地，则不同的路径共有_条例475400的正约数有（）个A48B46C36D38核心考点十七：排队问题【典型例题】例48（2022春福建福州高三福州四中校考阶段练习）甲、乙、丙三人相约一起去做核酸检测，到达检测点后，发现有两支正在等待检测的队伍，则甲、乙、丙三人不同的排队方案共有_种例49（2022秋安徽高三芜湖一中校联考阶段练习）某医院对9个人进行核酸检测，为了防止排队密集，将9人分成两组，第一组5人，排队等候，由于甲、乙两人不熟悉流程，故无论在哪一组，排队都不在第一位，则第一组的不同排法种数为_（用数字作答）例50（202
26、2上海统考模拟预测）有七名同学排队进行核酸检测，其中小王站在正中间，并且小李小张两位同学要站在一起，则不同的排队法有_种核心考点十八：构造法模型和递推模型【典型例题】例51贾同学、王同学、文同学三人在操场踢球，每次传球，传球者将球随机将传给另外两位同学之一，足球最开始在文同学脚下，则：次传球之后，共有_种可能的传球方法；次传球之后，足球回到文同学脚下的传球方法有_种例52一只蚂蚁从一个正四面体的顶点出发，每次从一个顶点爬行到另一个顶点，则蚂蚁爬行五次还在点的爬行方法种数是_核心考点十九：环排问题【典型例题】例5321个人按照以下规则表演节目：他们围坐成一圈，按顺序从1到3循环报数，报数字“3”
27、的人出来表演节目，并且表演过的人不再参加报数那么在仅剩两个人没有表演过节目的时候，共报数的次数为A19B38C51D57例54现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有（）A6种B8种C12种D16种【新题速递】一、单选题1（2022云南昆明昆明一中模拟预测）如图所示某城区的一个街心花园，共有五个区域，中心区域E已被设计为代表城市特点的一个标志性塑像，要求在周围ABCD四个区域中种植鲜花，现有四个品种的鲜花可供选择，要求每个区域只种一个品种且相邻区域所种品种不同，则不同的种
28、植方法的种数为（）A12B24C48D842（2022春重庆渝中高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）某医院进行年度体检，有抽血、腹部彩超、胸部CT、电图、血压测量等五个检查项目为了体检数据的准确性，抽血必须作为第一个项目完成，而李老师决定腹部彩超和胸部CT两项不连在一起接着检查则不同顺序的检查方案一共有（）A6种B12种C18种D24种3（2022春云南高三校联考阶段练习）某单位准备从新入职的4名男生和3名女生中选2名男生和1名女生分配到某部门3个不同的岗位，不同的分配方案有（）A18种B36种C60种D108种4（2022春河南许昌高三阶段练习）中国空间站（China Space Station）
29、的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱2022年10月31日15：37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕2023年，中国空间站将正式进入运营阶段假设中国空间站要安排甲、乙等5名航天员进舱开展实验，其中“天和核心舱”安排2人，“问天实验舱”安排2人，“梦天实验舱”安排1人若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（）A9种B24种C26种D30种5（2022四川南充统考一模）在某次红蓝双方举行的联合军演的演练中，红方参加演习的有4艘军舰，3
30、架飞机；蓝方有2艘军舰，4架飞机现从红、蓝两方中各选出2件装备（1架飞机或一艘军舰都作为一件装备，所有的军舰两两不同，所有的飞机两两不同）先进行预演，则选出的四件装备中恰有一架飞机的不同选法共有（）A60种B120种C132种D168种6（2022春四川高三四川外国语大学附属外国语学校校考期中）某群主发了元的红包，分成四份，四人领取，均为正整数元，已知其中“运气王”（“运气王”是指领到红包金额最多的人）领到元，则这四个人不同领取红包的方法总数为（）ABCD7（2022河南马店第一高级中学校联考模拟预测）如图，某水果店门前用3根绳子挂了6串香蕉，从左往右的串数依次为1，2，3到了晚上，水果店老板
31、要收摊了，假设每次只取1串（挂在一列的只能先收下面的），则将这些香蕉都取完的不同取法种数是（）A144B96C72D608（2022春河南高三校联考阶段练习）将6名志愿者分配到3个社区参加服务工作，每名志愿者只分配到1个小区，每个小区至少分配1名志愿者，若分配到3个小区的志愿者人数均不相同，则不同的分配方案共有（）A60种B120种C180种D360种二、多选题9（2022春吉林高三东北师大附中校考开学考试）某学生在物理化学生物政治历史地理技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是（）A若任意选择三门课程，选法总数为B若物理和化学至少选一门，选法总数为C若物理和历史不能同时选，选法总
32、数为D若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，选法总数为10（2022春江苏镇江高三校考开学考试）现分配甲、乙、丙三名临床医学检验专家到A，B，C，D，E五家医院进行核酸检测指导，每名专家只能选择一家医院，且允许多人选择同一家医院，则（）A所有可能的安排方法有125种B若A 医院必须有专家去，则不同的安排方法有61种C若专家甲必须去A 医院，则不同的安排方法有16种D若三名专家所选医院各不相同，则不同的安排方法有10种11（2022全国高三专题练习）某单位从6男4女共10名员工中，选出3男2女共5名员工，安排在周一到周五的5个夜晚值班，每名员工值一个夜班且不重复值班，其中女员工甲不能安
33、排在星期一、星期二值班，男员工乙不能安排在星期二值班，其中男员工丙必须被选且必须安排在星期五值班，则（）A甲乙都不选的方案共有432种B选甲不选乙的方案共有216种C甲乙都选的方案共有96种D这个单位安排夜晚值班的方案共有1440种12（2022全国高三专题练习）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（）A某学生从中选2门课程学习，共有15种选法B课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240种排法C课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有144种排法D课程“礼”不排在第一周
34、，课程“数”不排在最后一周，共有480种排法三、填空题13（2022陕西宝鸡统考一模）七巧板是古代劳动人民智慧的结晶如图是某同学用木板制作的七巧板，它包括5个等腰直角三角形一个正方形和一个平行四边形若用四种颜色给各板块涂色，要求正方形板块单独一色，其余板块两块一种颜色，而且有公共边的板块不同色，则不同的涂色方案有_种14（2022上海金山统考一模）从个人中选人负责元旦三天假期的值班工作，其中第一天安排人，第二天和第三天均安排人，且人员不重复，则一共有_种安排方式（结果用数值表示）15（2022春湖北高三湖北省仙桃中学校联考阶段练习）某校安排5名同学去A，B，C，D四个爱国主义教育基地学习，每人
35、去一个基地，每个基地至少安排一人，则甲同学被安排到A基地的排法总数为_16（2022上海宝山统考一模）从5名志愿者中选出4名分别参加测温、扫码、做核酸和信息登记的工作（每项1人），其中甲不参加测温的分配方案有_种（结果用数值表示）专题09 排列组合高考常见小题全归类 【命题规律】排列组合是高考重点考查的内容之一，今后在本节的考查形式依然以选择或者填空为主，以考查基本概念和基本方法为主，难度中等偏下，与教材相当本节内容与生活实际联系紧密，考生可适当留意常见的排列组合现象，如体育赛事排赛、彩票规则等，培养数学应用的思维意识【核心考点目录】核心考点一：两个计数原理的综合应用核心考点二：直接法核心考点
36、三：间接法核心考点四：捆绑法核心考点五：插空法核心考点六：定序问题（先选后排）核心考点七：列举法核心考点八：多面手问题核心考点九：错位排列核心考点十：涂色问题核心考点十一：分组问题核心考点十二：分配问题核心考点十三：隔板法核心考点十四：数字排列核心考点十五：几何问题核心考点十六：分解法模型与最短路径问题核心考点十七：排队问题核心考点十八：构造法模型和递推模型核心考点十九：环排问题【真题回归】1（2022全国统考高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（）A12种B24种C36种D48种【答案】B【解析】因为丙丁要在一起，先把丙丁
37、捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列，有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，故选：B2（2021全国统考高考真题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A60种B120种C240种D480种【答案】C【解析】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选
38、法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，故选：C3（2020山东统考高考真题）现从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，分别担任5门不同学科的课代表，则不同安排方法的种数是（）A12B120C1440D17280【答案】C【解析】首先从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，共有种情况，再分别担任5门不同学科的课代表，共有种情况所以共有种不同安排方法故选：C4（2020海南高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一
39、名志愿者，则不同的安排方法共有（）A2种B3种C6种D8种【答案】C【解析】第一步，将3名学生分成两个组，有种分法第二步，将2组学生安排到2个村，有种安排方法所以，不同的安排方法共有种故选：C5（2020海南统考高考真题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）A120种B90种C60种D30种【答案】C【解析】首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有；最后剩下的名同学去丙场馆故不同的安排方法共有种故选：C6（2020全国统考高考真题）如图，将钢琴上的12个键依次记
40、为a1，a2，a12设1ijk12若kj=3且ji=4，则称ai，aj，ak为原位大三和弦；若kj=4且ji=3，则称ai，aj，ak为原位小三和弦用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（）A5B8C10D15【答案】C【解析】根据题意可知，原位大三和弦满足：；原位小三和弦满足：；故个数之和为10故选：C7（2022全国统考高考真题）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为_【答案】【解析】从正方体的个顶点中任取个，有个结果，这个点在同一个平面的有个，故所求概率故答案为：8（2020全国统考高考真题）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去
41、1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有_种【答案】【解析】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学先取2名同学看作一组，选法有：现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：根据分步乘法原理，可得不同的安排方法种故答案为：【方法技巧与总结】1、如图，在圆中，将圆分等份得到个区域，现取种颜色对这个区域涂色，要求每相邻的两个区域涂不同的两种颜色，则涂色的方案有种2、错位排列公式3、数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项（1）解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子
42、上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论4、定位、定元的排列问题，一般都是对某个或某些元素加以限制，被限制的元素通常称为特殊元素，被限制的位置称为特殊位置这一类问题通常以三种途径考虑：（1）以元素为主考虑，这时，一般先解决特殊元素的排法问题，即先满足特殊元素，再安排其他元素；（2）以位置为主考虑，这时，一般先解决特殊位置的排法问题，即先满足特殊位置，再考虑其他位置；（3）用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数5、解决相邻问题的方法是“捆绑法”，其模型为将n个不同元素排成一排，其中某k个元素排在相邻位置上，求不同排法种数的方法是：先将这k个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其他元素一起排列，共有种排法；然后再将“捆绑”在一起的元素“内部”进行排列，共有种排法根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有种6、解决不相邻问题的方法为“插空法”，其模型为将个不同元素排成一排，其中某个元素互不相邻（），求不同排法种数的方法是：先将（）个元素排成一排，共有种排法；然后把个元素插入个空隙中，共有种排法根据分步乘法计数原理可知，符