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1、 走向高考高三数学人教 A版总复习同步练习基本不等式 LELE was finally revised on the morning of December 16,2020 7-2 基本不等式 基础巩固强化 1.(文)(2012重庆模拟)已知函数 f(x)logax(a0 且 a1)，若 x1，则不等式 f(11x)1 的解集为()A(11a，)B(1，1a)C(，11a)D(1，11a)答案 D 解析 依题意得 0a1 得 loga(11x)logaa,011xa，由此解得 1x1 的解集是(1，11a)，选 D.(理)“a14”是“对任意的正数 x，均有 xax1”的()A充分非必要条件
2、B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分也非必要条件 答案 A 解析 a14，x0 时，xax2xax1，等号在 x12时成立，又 a4 时，xaxx4x2x4x4 也满足 xax1，故选 A.2(文)(2012内蒙包头一模)若圆 C1：x2y22axa240，(aR)与圆 C2：x2y22by1b20，(bR)外切，则 ab 的最大值为()A3 2 B3 C3 D3 2 答案 D 解析 C1：(xa)2y24 的圆心 C1(a,0)，半径 r12，C2：x2(yb)21 的圆心 C2(0，b)，半径 r21，C1与C2外切，|C1C2|r1r2，a2b29，(ab)2a2b22ab2(a2b
3、2)18，ab3 2，等号在 ab3 22时成立(理)(2011厦门二检)若直线 axby20(a0，b0)被圆 x2y22x4y10 截得的弦长为 4，则1a1b的最小值为()2 2 2 答案 C 解析 圆的直径是 4，说明直线过圆心(1,2)，故12ab1，1a1b(12ab)(1a1b)32baa2b32 2，当且仅当baa2b，即 a2(21)，b2 2时取等号，故选 C.3(2012河南六市联考)函数 ylogax1(a0 且 a1)的图象恒过定点 A，若点 A 在直线xmyn40(m0，n0)上，则 mn 的最小值为()A2 2 B2 C1 D4 答案 C 解析 ylogax1 过
4、定点 A(1,1)，A 在直线xmyn40 上，1m1n4，m0，n0，mn14(mn)(1m1n)14(2nmmn)14(22nmmn)1，等号在 mn12时成立，mn 的最小值为 1.4(文)(2011太原部分重点中学联考)若正实数 a，b 满足 ab1，则()1b有最大值 4 Bab有最小值14 b有最大值 2 Da2b2有最小值22 答案 C 解析 由基本不等式，得 aba2b22ab22ab212ab，所以 ab14，故 B错；1a1babab1ab4，故 A错；由基本不等式得a b2ab212，即 a b 2，故 C 正确；a2b2(ab)22ab12ab121412，故 D错故选
5、 C.(理)(2011湖北八校第一次联考)若 0 x0，b0)的半焦距，则cab的取值范围是_ 答案 22，1)解析 由题设条件知，abc，cab1，a2b2c2，(cab)2c2a2b22abc22a2b212，cab22，22cab0，b0，ab2，则 AB|AB|a2b2 2ab2.9(文)(2011江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数 f(x)2x的图象交于 P、Q 两点，则线段 PQ 长的最小值是_ 答案 4 解析 由题意，P，Q 关于(0,0)对称，设直线 PQ：ykx(k0)，从而 P(2k，2k)，Q(2k，2k)则 PQ8k28k24，当且仅当 k1
6、时，(PQ)min4.点评(1)用基本不等式ab2 ab求最值时，要注意“一正、二定、三相等”，一定要明确什么时候等号成立(2)应用基本不等式求最值，要注意归纳常见的变形技巧，代入消元，配系数，“1”的代换等等(3)注意到 P、Q关于原点对称，可设 P(x0，2x0)，x00，则|PQ|2|OP|2x204x04，x0 2时取等号，更简捷的获解(理)(2011山东日照调研)在等式“11 9 ”的两个括号内各填入一个正整数，使它们的和最小，则填入的两个数是_ 答案 4 和 12 解析 设两个括号中的正整数分别为 x，y，则 x0，y0，1x9y1，xy(xy)(1x9y)10yx9xy102yx
7、9xy16，等号在yx9xy，即 y3x时成立，由 1x9y1y3x解得 x4，y12.10(文)(2011洛阳模拟)若直线 axby10(a0，b0)平分圆x2y28x2y10，求1a4b的最小值 解析 由 x2y28x2y10 得(x4)2(y1)216，圆的圆心坐标为(4，1)，4ab10，即 4ab1，1a4bb4aab1ab，由 14ab2 4ab4 ab，得 ab116，1ab16，1a4b的最小值为 16.(理)如图，互相垂直的两条公路 AM、AN 旁有一矩形花园ABCD，现欲将其扩建成一个更大的三角形花园 APQ，要求 P 在射线 AM 上，Q 在射线 AN 上，且 PQ 过点
8、 C，其中 AB30m，AD20m.记三角形花园 APQ的面积为 S.(1)当 DQ的长度是多少时，S 最小？并求 S 的最小值；(2)要使 S 不小于 1600m2，则 DQ的长应在什么范围内？解析(1)设 DQxm(x0)，则 AQx20，QDDCAQAP，x30 x20AP，AP30 x20 x，则 S12APAQ15x202x 15(x400 x40)1200，当且仅当 x20时取等号(2)S1600，3x2200 x12000，0 x203或 x60 答：(1)当 DQ 的长度是 20m 时，S 最小，且 S 的最小值为1200m2；(2)要使 S 不小于 1600m2，则 DQ 的
9、取值范围是 0DQ203或DQ60.能力拓展提升 11.(文)已知1a0，A1a2，B1a2，C11a，比较A、B、C的大小结果为()AABC BBAC CACB DBCA 答案 B 解析 不妨设 a12，则 A54，B34，C2，由此猜想BAC.由1a0，AB(1a2)(1a2)2a20 得 AB，CA11a(1a2)aa2a11a aa122341a0，得 CA，BAC.(理)(2012济南一模)若实数 x、y满足 4x4y2x12y1，则 t2x2y的取值范围是()A0t2 B0t4 C20，b0，由条件得 a2b22(ab)，a2b2ab22，(ab)24(ab)，ab4，又(ab)2
10、2(ab)2ab0，ab2，20，b0，且函数 f(x)4x3ax22bx2 在 x1 处有极值，则 ab 的最大值等于()A2 B3 C6 D9 答案 D 解析 f(x)12x22ax2b0 的一根为 x1，即 122a2b0.ab6，ab(ab2)29，当且仅当 ab3 时“”号成立 13(文)(2011湛江调研)已知 x0，y0，若2yx8xym22m 恒成立，则实数 m的取值范围是()Am4 或 m2 Bm2 或 m4 C2m4 D4m0，y0，2yx8xy22yx8xy8，由条件知 m22m8，解得4m0，a7a62a5，设an的公比为 q，则 a6qa62a6q，q2q20，q0，
11、q2，aman4a1，a21qmn216a21，mn24，mn6，1m4n16(mn)1m4n165nm4mn1652nm4mn32，等号在nm4mn，即 n2m4 时成立 14如图所示，已知 D 是面积为 1 的ABC 的边 AB 的中点，E是边 AC 上任一点，连接 DE，F 是线段 DE 上一点，连接 BF，设DFDE1，AEAC2，且 1212，记BDF 的面积为 Sf(1，2)，则 S 的最大值是_ 答案 132 解析 连接 BE.因为ABC 的面积为 1，AEAC2，所以ABE 的面积为 2.因为 D 是 AB 的中点，所以BDE 的面积为22.因为DFDE1，所以BDF 的面积
12、Sf(1，2)121212(122)2132，上式当且仅当 1214时取等号 15(文)(2011三明模拟)某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个正八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形 ABCD 和 EFGH 构成的面积为 200 m2的十字型区域现计划在正方形 MNPQ 上建一花坛，造价为 4200 元/m2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为 210 元/m2，再在四个空角上铺草坪，造价为 80 元/m2.(1)设总造价为 S 元，AD 的长为 xm，试建立 S 关于 x 的函数关系式；(2)计划至少投入多少元，才能建造这个休闲小
13、区 解析(1)设 DQy，则 x24xy200，y200 x24x.S4200 x22104xy80412y2 380004000 x2400000 x2(0 x10 2)(2)S380004000 x2400000 x2 380002 16108118000，当且仅当 4000 x2400000 x2，即 x 10时，Smin118000(元)，答：计划至少要投入万元才能建造这个休闲小区(理)某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售量 Q(万件)与广告费 x(万元)之间的函数关系为 Q3x1x1(x0)已知生产此产品的年固定投入为 3 万元，每生产 1 万元此产品仍需再投入
14、 32 万元，若每件销售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的 50%”之和(1)试将年利润 W(万元)表示为年广告费 x(万元)的函数；(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大最大利润为多少 解析(1)由题意可得，产品的生产成本为(32Q3)万元，每万件销售价为32Q3Q150%xQ50%，年销售收入为(32Q3Q150%xQ50%)Q 32(32Q3)12x，年利润 W32(32Q3)12x(32Q3)x 12(32Q3x)x298x352x1(x0)(2)令 x1t(t1)，则 Wt1298t1352t50t232t.t1，t232t2t232t8，即 W4
15、2，当且仅当t232t，即 t8 时，W有最大值 42，此时 x7.即当年广告费为 7万元时，企业利润最大，最大值为 42万元 16(文)已知、都是锐角，且 sinsincos()(1)当 4，求 tan的值；(2)当 tan取最大值时，求 tan()的值 解析(1)由条件知，sin22sin4，整理得32sin12cos0，为锐角，tan13.(2)由已知得 sinsincoscossin2sin，tansincossin2tan，tansincos1sin2sincos2sin2cos2 tan2tan2112tan1tan12 224.当且仅当1tan2tan时，取“”号，tan22时，
16、tan取得最大值24，此时，tan()tantan1tantan 2.(理)函数 f(x)对一切实数 x、y 均有 f(xy)f(y)(x2y1)x 成立，且 f(1)0.(1)求 f(0)；(2)求 f(x)；(3)当 0 xax5恒成立，求 a的取值范围 解析(1)令 x1，y0，得 f(10)f(0)(1201)12，f(0)f(1)22.(2)令 y0，f(x0)f(0)(x201)xx2x，f(x)x2x2.(3)f(x)ax5 化为 x2x2ax5，axx2x3，x(0,2)，a0 时，1x3x12 3，当且仅当 x3x，即 x 3时取等号，3(0,2)，(1x3x)min12 3
17、.a0，b0，a，b 的等差中项是12，且 a1a，b1b，则 的最小值为()A2 B3 C4 D5 答案 D 解析 12为 a、b的等差中项，ab1.a1ab1b11a1b1abab11ab，abab2，abab2414.当 ab12时取等号 11ab145.的最小值为 5.故选 D.2已知 R1、R2是阻值不同的两个电阻，现分别按图连接，设相应的总阻值分别为 RA、RB，则 RA与 RB的大小关系是()ARARB BRARB CRA0，所以 RARB.3若 a、b、c、d、x、y 是正实数，且 P ab cd，Qaxcybxdy，则()APQ BPQ CPQ DPQ 答案 C 解析 Qax
18、cybxdy abcdadxybcyx abcd2 abcd ab cdP.点评 可用特值法求解，令所有字母全为 1，则 P2，Q2，PQ，排除 D；令 abcd1，x1，y4，则 P4，Q5，P0，yx1x，x0，12为增函数，ymaxy|x1252，当 a52时，ax1x恒成立，即 x2ax10，x0，12恒成立，选 C.5如图在等腰直角ABC 中，点 P 是斜边 BC 的中点，过点 P的直线分别交直线 AB、AC 于不同的两点 M、N，若ABmAM，ACnAN，则 mn 的最大值为()B1 C2 D3 答案 B 解析 以 AC、AB 为 x、y 轴建立直角坐标系，设等腰直角ABC 的腰长
19、为 2，则 P 点坐标为(1,1)，B(0,2)、C(2,0)，ABmAM，ACnAN，AMABm，ANACn，M0，2m、N2n，0，直线 MN的方程为my2nx21，直线 MN过点 P(1,1)，m2n21，mn2，mn2 mn，mnmn241，当且仅当 mn1 时取等号，mn 的最大值为 1.6设OA(1，2)，OB(a，1)，OC(b,0)，a0，b0，O 为坐标原点，若 A、B、C 三点共线，则1a2b的最小值是_ 答案 8 解析 ABOBOA(a1,1)，ACOCOA(b1,2)，AB与AC共线，2(a1)b10，即 2ab1.a0，b0，1a2b(1a2b)(2ab)4ba4ab42ba4ab8，当且仅当ba4ab，即 b12，a14时等号成立