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1、,7-2基本不等式基础巩固强化1.(文)(2012重庆模拟)已知函数f(x)logax(a0且a1)，若x1，则不等式f(1)1的解集为()A(，) B(1，)C(，) D(1，)答案D解析依题意得0a1得loga(1)logaa,01a，由此解得1x1的解集是(1，)，选D.(理)“a”是“对任意的正数x，均有x1”的()A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件 D既非充分也非必要条件答案A解析a，x0时，x21，等号在x时成立，又a4时，xx24也满足x1，故选A.2(文)(2012内蒙包头一模)若圆C1：x2y22axa240，(aR)与圆C2：x2y22by1b20，(bR)外切，则
2、ab的最大值为()A3 B3C3 D3答案D解析C1：(xa)2y24的圆心C1(a,0)，半径r12，C2：x2(yb)21的圆心C2(0，b)，半径r21，C1与C2外切，|C1C2|r1r2，a2b29，(ab)2a2b22ab2(a2b2)18，ab3，等号在ab时成立(理)(2011厦门二检)若直线axby20(a0，b0)被圆x2y22x4y10截得的弦长为4，则的最小值为()A. B.C. D.2答案C解析圆的直径是4，说明直线过圆心(1,2)，故ab1，(ab)()，当且仅当，即a2(1)，b2时取等号，故选C.3(2012河南六市联考)函数ylogax1(a0且a1)的图象恒
3、过定点A，若点A在直线40(m0，n0)上，则mn的最小值为()A2 B2C1 D4答案C解析ylogax1过定点A(1,1)，A在直线40上，4，m0，n0，mn(mn)()(2)(22)1，等号在mn时成立，mn的最小值为1.4(文)(2011太原部分重点中学联考)若正实数a，b满足ab1，则()A.有最大值4Bab有最小值C.有最大值Da2b2有最小值答案C解析由基本不等式，得abab，所以ab，故B错；4，故A错；由基本不等式得，即，故C正确；a2b2(ab)22ab12ab12，故D错故选C.(理)(2011湖北八校第一次联考)若0x0，b0)的半焦距，则的取值范围是_答案，1)解析
4、由题设条件知，abc，1，a2b2c2，()2，0，b0，ab2，则AB|AB|2.9(文)(2011江苏)在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是_答案4解析由题意，P，Q关于(0,0)对称，设直线PQ：ykx(k0)，从而P(，)，Q(，)则PQ4，当且仅当k1时，(PQ)min4.点评(1)用基本不等式求最值时，要注意“一正、二定、三相等”，一定要明确什么时候等号成立(2)应用基本不等式求最值，要注意归纳常见的变形技巧，代入消元，配系数，“1”的代换等等(3)注意到P、Q关于原点对称，可设P(x0，)，x00，则|PQ|2|
5、OP|24，x0时取等号，更简捷的获解(理)(2011山东日照调研)在等式“1”的两个括号内各填入一个正整数，使它们的和最小，则填入的两个数是_答案4和12解析设两个括号中的正整数分别为x，y，则x0，y0，1，xy(xy)()1010216，等号在，即y3x时成立，由解得10(文)(2011洛阳模拟)若直线axby10(a0，b0)平分圆x2y28x2y10，求的最小值解析由x2y28x2y10得(x4)2(y1)216，圆的圆心坐标为(4，1)，4ab10，即4ab1，由14ab24，得ab，16，的最小值为16.(理)如图，互相垂直的两条公路AM、AN旁有一矩形花园ABCD，现欲将其扩建
6、成一个更大的三角形花园APQ，要求P在射线AM上，Q在射线AN上，且PQ过点C，其中AB30m，AD20m.记三角形花园APQ的面积为S.(1)当DQ的长度是多少时，S最小？并求S的最小值；(2)要使S不小于1600m2，则DQ的长应在什么范围内？解析(1)设DQxm(x0)，则AQx20，AP，则SAPAQ15(x40)1200，当且仅当x20时取等号(2)S1600，3x2200x12000，0x或x60答：(1)当DQ的长度是20m时，S最小，且S的最小值为1200m2；(2)要使S不小于1600m2，则DQ的取值范围是0DQ或DQ60.能力拓展提升11.(文)已知1a0，A1a2，B1
7、a2，C，比较A、B、C的大小结果为()AABC BBACCACB DBCA答案B解析不妨设a，则A，B，C2，由此猜想BAC.由1a0，AB(1a2)(1a2)2a20得AB，CA(1a2)0，得CA，BAC.(理)(2012济南一模)若实数x、y满足4x4y2x12y1，则t2x2y的取值范围是()A0t2 B0t4C20，b0，由条件得a2b22(ab)，a2b2，(ab)24(ab)，ab4，又(ab)22(ab)2ab0，ab2，20，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则ab的最大值等于()A2B3C6D9答案D解析f (x)12x22ax2b0的一根为x1，即
8、122a2b0.ab6，ab()29，当且仅当ab3时“”号成立13(文)(2011湛江调研)已知x0，y0，若m22m恒成立，则实数m的取值范围是()Am4或m2 Bm2或m4C2m4 D4m0，y0，28，由条件知m22m8，解得4m0，a7a62a5，设an的公比为q，则a6qa6，q2q20，q0，q2，4a1，aqmn216a，mn24，mn6，(mn)，等号在，即n2m4时成立14如图所示，已知D是面积为1的ABC的边AB的中点，E是边AC上任一点，连接DE，F是线段DE上一点，连接BF，设1，2，且12，记BDF的面积为Sf(1，2)，则S的最大值是_答案解析连接BE.因为ABC
9、的面积为1，2，所以ABE的面积为2.因为D是AB的中点，所以BDE的面积为.因为1，所以BDF的面积Sf(1，2)12()2，上式当且仅当12时取等号15(文)(2011三明模拟)某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个正八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200 m2的十字型区域现计划在正方形MNPQ上建一花坛，造价为4200元/m2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/m2，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/m2.(1)设总造价为S元，AD的长为xm，试建立S关于x的函数关系式；(2)计划至
10、少投入多少元，才能建造这个休闲小区解析(1)设DQy，则x24xy200，y.S4200x22104xy804y2380004000x2(0x10)(2)S380004000x2380002118000，当且仅当4000x2，即x时，Smin118000(元)，答：计划至少要投入11.8万元才能建造这个休闲小区(理)某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售量Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为Q(x0)已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万元此产品仍需再投入32万元，若每件销售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和(1)试将
11、年利润W(万元)表示为年广告费x(万元)的函数；(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？解析(1)由题意可得，产品的生产成本为(32Q3)万元，每万件销售价为150%50%，年销售收入为(150%50%)Q(32Q3)x，年利润W(32Q3)x(32Q3)x(32Q3x)(x0)(2)令x1t(t1)，则W50.t1，28，即W42，当且仅当，即t8时，W有最大值42，此时x7.即当年广告费为7万元时，企业利润最大，最大值为42万元16(文)已知、都是锐角，且sinsincos()(1)当，求tan的值；(2)当tan取最大值时，求tan()的值解析(1)由条件知，si
12、nsin，整理得sincos0，为锐角，tan.(2)由已知得sinsincoscossin2sin，tansincossin2tan，tan.当且仅当2tan时，取“”号，tan时，tan取得最大值，此时，tan().(理)函数f(x)对一切实数x、y均有f(xy)f(y)(x2y1)x成立，且f(1)0.(1)求f(0)；(2)求f(x)；(3)当0xax5恒成立，求a的取值范围解析(1)令x1，y0，得f(10)f(0)(1201)12，f(0)f(1)22.(2)令y0，f(x0)f(0)(x201)xx2x，f(x)x2x2.(3)f(x)ax5化为x2x2ax5，axx2x3，x(
13、0,2)，a0时，1x12，当且仅当x，即x时取等号，(0,2)，(1x)min12.a0，b0，a，b的等差中项是，且a，b，则的最小值为()A2B3C4D5答案D解析为a、b的等差中项，ab1.ab111，ab.当ab时取等号1145.的最小值为5.故选D.2已知R1、R2是阻值不同的两个电阻，现分别按图连接，设相应的总阻值分别为RA、RB，则RA与RB的大小关系是()ARARB BRARBCRA0，所以RARB.3若a、b、c、d、x、y是正实数，且P，Q，则()APQ BPQCPQ DPQ答案C解析QP.点评可用特值法求解，令所有字母全为1，则P2，Q2，PQ，排除D；令abcd1，x
14、1，y4，则P4，Q5，P0，yx，x为增函数，ymaxy|x，当a时，ax恒成立，即x2ax10，x恒成立，选C.5如图在等腰直角ABC中，点P是斜边BC的中点，过点P的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若m，n，则mn的最大值为()A.B1C2D3答案B解析以AC、AB为x、y轴建立直角坐标系，设等腰直角ABC的腰长为2，则P点坐标为(1,1)，B(0,2)、C(2,0)，m，n，M、N，直线MN的方程为1，直线MN过点P(1,1)，1，mn2，mn2，mn1，当且仅当mn1时取等号，mn的最大值为1.6设(1，2)，(a，1)，(b,0)，a0，b0，O为坐标原点，若A、B、C三点共线，则的最小值是_答案8解析(a1,1)，(b1,2)，与共线，2(a1)b10，即2ab1.a0，b0，()(2ab)4428，当且仅当，即b，a时等号成立