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1、课 题：4.3 任意角的三角函数（二）教学目的：1.理解并掌握各种三角函数在各象限内的符号.2.理解并掌握终边相同的角的同一三角函数值相等.教学重点：三角函数在各象限内的符号,终边相同的角的同一三角函数值相等 教学难点：正确理解三角函数可看作以“实数”为自变量的函数 授课类型：新授课 课时安排：1 课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入：1.设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点 P（x,y）则 P 与原点的距离02222yxyxr 2.比值ry叫做的正弦 记作：rysin 比值rx叫做的余弦 记作：rxcos 比值xy叫做的正切 记作：xytan 比值yx叫做的余
2、切 记作：yxcot 比值xr叫做的正割 记作：xrsec ry)(x,P 比值yr叫做的余割 记作：yrcsc 以上六种函数，统称为三角函数.3.突出探究的几个问题：角是“任意角”，当=2k+(kZ)时，与的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等 实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用 三角函数是以“比值”为函数值的函数 0r而 x,y 的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定.定义域：rysin R yrcsc Zkk,|rxcos R xrsec Zkk,2|xytan Zkk,2|yxcot Zkk,|4.注意:(1)以后我们在平面直角坐标
3、系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x轴的非负半轴重合.(2)OP是角的终边，至于是转了几圈，按什么方向旋转的不清楚，也只有这样，才能说明角是任意的.(3)sin是个整体符号，不能认为是“sin”与“”的积.其余五个符号也是这样.(4)定义中只说怎样的比值叫做的什么函数，并没有说的终边在什么位置(终边在坐标轴上的除外)，即函数的定义与的终边位置无关.(5)比值只与角的大小有关.二、讲解新课：1.三角函数在各象限内的符号规律：第一象限：0,0.yx sin0,cos0,tan0,cot0,sec0,csc0 第二象限：0,0.yx sin0,cos0,tan0,cot0,sec0,csc0
4、 第三象限：0,0.yx sin0,cos0,tan0,cot0,sec0,csc0 第四象限：0,0.yx sin0,cos0,tan0,cot0,sec0,csc0 记忆法则：第一象限全为正,二正三切四余弦.cscsin为正 全正 cottan为正 seccos为正 cot 0tan 0sin 0tan 0cos 0sin 0cot 0tan 0cos 0sin 0tan 0cot 0cos 00 xy2400-51002.终边相同的角的同一三角函数值相等 例如 390和-330都与 30终边位置相同，由三角函数定义可知它们的三角函数值相同，即 sin390=sin30 cos390=co
5、s30 sin(-330)=sin30 cos(-330)=cos30 诱导公式一（其中Zk）:用弧度制可写成 sin)360sin(k sin)2sin(k cos)360cos(k cos)2cos(k tan)360tan(k tan)2tan(k 这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为 02间角的三角函数值问题 三、讲解范例：例 1 确定下列三角函数值的符号(1)cos250（2）)4sin(（3）tan（672）(4)311tan(解：(1)250是第三象限角 cos2500(2)4是第四象限角，0)4sin(3)tan（672）tan（482360）tan48 而 48是
6、第一象限角，tan（672）0(4)35tan)235tan(311tan 而35是第四象限角，0311tan.例 2 求证角为第三象限角的充分必要条件是0tan0sin 证明：必要性：是第三象限角，0tan0sin 充分性：sin0，是第三或第四象限角或终边在轴的非正半轴上 tan0，是第一或第三象限角.sin0，tan0 都成立.为第三象限角.例 3 求下列三角函数的值(1)sin148010 (2)49cos （3）)611tan(.解:(1)sin148010sin（40104360）Sin40100.6451(2)224cos)24cos(49cos(3).336tan)26tan(
7、)611tan(例 4 求值：sin(-1320)cos1110+cos(-1020)sin750+tg4950 解：原式=sin(-4360+120)cos(3360+30)+cos(-3360+60)sin(2360+30)+tg(360+135)=sin120cos30+cos60sin30+tg135=21212323-1=0 四、课堂练习：1.确定下列各式的符号(1)sin100cos240 (2)sin5+tan5 分析:由角所在象限分别判断两个三角函数值的符号,再确定各式的符号.解(1)100是第二象限的角,240是第三象限的角.sin1000,cos2400,于是有 sin10
8、0cos2400.(2),25235 是第四象限的角 sin50,tan50,于是有 sin5+tan50.2.x取什么值时,xxxtancossin有意义?分析：因为正弦、余弦函数的定义域为 R，故只要考虑正切函数的定义域和分式的分母不能为零.解:由题意得)Z(20tankkxx解得:)Z(2)Z(kkxkkx 即:)Z(2kkx 所以,当)Z(2kkxxx时，xxxtancossin有意义.3 若三角形的两内角，满足 sincos0，则此三角形必为（B）A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 直角三角形 D 以上三种情况都可能 4若是第三象限角，则下列各式中不成立的是（B）A：sin+cos0
9、 B：tansin0 C：coscot0 D：cotcsc0 5已知是第三象限角且02cos，问2是第几象限角？解：2)12()12(kk )(Zk 4322kk )(Zk 则2是第二或第四象限角 又02cos 则2是第二或第三象限角 2必为第二象限角 6已知1212sin，则为第几象限角？解：由1212sin sin20 2k22k+)(Zk kk+2 为第一或第三象限角 五、小结 本节课我们重点讨论了两个内容，一是三角函数在各象限内的符号，二是一组公式，两者的作用分别是：前者确定函数值的符号，后者将任意角的三角函数化为 0到 360角的三角函数，这两个内容是我们日后学习的基础.六、课后作业
10、：1.确定下列三角函数值符号：2.化简222222sin1cos1cossincottana.解法一：(定义法)设点P(x,y)是角终边上的一点，且|OP|=r,则将 sin=ry,cos=rx,tan=xy,cot=yx代入得：原式=222222)()()()()()(yrxrrxryyxxy 22222222244)()()(yxxyrxyyxrxy 222cos22xr 解法二：(化弦法)原式=22222222cossincossincossin)sincos()cossin(222222222cos2cossincossincossincossin 解法三：(换元法)设 cos2=a,
11、则 sin2=1-a,tan2=aa1,代入得 原式)1(21)21)(1()1(111)1(1122aaaaaaaaaaaaaaaa 2cos22)1(21)1(1aaaaaa 评注：“切化弦”与“弦化切”是三角变形的基本方法，而通过定义、换元方法，使得三角式的化简问题转化为代数式的化简问题，则体现了数学中的化归思想.七、板书设计（略）八、课后记：已知 sin3+cos3=1,求下列各式的值：(1)sin+cos；(2)sin4+cos4 分析：对已知式的左边利用代数公式进行变形，使原式转化为关于 sin+cos的方程，然后求解.(1)解法一：(sin+cos)3 =sin3+3sin2co
12、s+3sincos2+cos3 =(sin3+cos3)+3(1-cos2)cos+3(1-sin2)sin =1+3cos-3cos3+3sin-3sin3 =1+3(sin+cos)-3(sin3+cos3)=3(sin+cos)-2.(sin+cos)3-3(sin+cos)+2=0.令 sin+cos=t,则t3-3t+2=0(t-1)2(t+2)=0.t=1 或t=-2 即 sin+cos=1 或 sin+cos=-2(舍去).解法二：sin3+cos3=(sin+cos)(sin2-sincos+cos2)=(sin+cos)(1-sincos).(sin+cos)(1-sincos)=1.注意到 sincos可用 sin+cos表示，并令 sin+cos=t,则 sincos=212t,故上式化为t(1-212t)=1t3-3t+2=0.(下同解法一).(2)解：sin+cos=1，(sin+cos)2=1sincos=0.故 sin4+cos4=(sin2+cos2)2-2sin2cos2=1-2sin2cos2=1.评注：对于 sin+cos,sin-cos,sincos三个式子，只要已知其中一个的值，都可计算另外两个的值.