二元一次方程培优.pdf

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1、精品 二元一次方程（组）补习、培优、竞赛归类讲解及练习答案 知识点：1、二元一次方程：（1）方程的两边都是整式，（2）含有两个未知数，（3）未知数的最高次数是一次。2、二元一次方程的一个解：使二元一次方程左右两边相等的两个未知数的值叫二元一次方程的一个解。3、二元一次方程组：含有两个未知数的两个二元一次方程所组成的方程组。4、二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解。（使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值）无论是二元一次方程还是二元一次方程组的解都应该写成yx 的形式。5、二元一次方程组的解法：基本思路是消元。（1）代入消元法：将一个方程变形，用一个未知数

2、的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程，把二元消去一元，再求解一元一次方程。主要步骤：变形用一个未知数的代数式表示另一个未知数。代入消去一个元。求解分别求出两个未知数的值。写解写出方程组的解。（2）加减消元法：适用于相同未知数的系数有相等或互为相反数的特点的方程组，首先观察出两个未知数的系数各自的特点，判断如何运用加减消去一个未知数；含分母、小数、括号等的方程组都应先化为最简形式后再用这两种方法去解。变形同一个未知数的系数相同或互为相反数。加减消去一个元。求解分别求出两个未知数的值。写解写出方程组的解。（3）列方程解应用题的一般步骤是：关键是找出题目中的两个相等关系，列出方程组。列二元

3、一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数。找：找出能够表示题意两个相等关系。列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组。解：解这个方程组，求出两个未知数的值。答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案。6、二元一次方程组222111cybxacybxa的解的情况有以下三种：当212121ccbbaa时，方程组有无数多解。（两个方程等效）当212121ccbbaa时，方程组无解。（两个方程是矛盾的）当2121bbaa（即01221baba）时，方程组有唯一

4、的解 7、方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。8、求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。练习题：精品 1、已知代数式babayxyx231321与是同类项，那么 a=，b=。2、已知nmnmyxyx212-31与是同类项，那么2013mn=_。3、解下列方程组：16214yxyx 23221314yxyyx 603520112013603720132011yxyx 4、已知24,328.abab则ab=。5、关于 x 的方程组nmyxmx y-3的解是11y

5、x，则|m-n|的值是 。6、已知12yx是二元一次方程组110aybxbyax的解，则ba3的算术平方根为 。7、已知方程组20134332kyxkyx的解 x，y 满足方程 5x-y=3，求 k 的值是 。8、选择一组nm，值使方程组nymxyx275 （1）有无数多解，（2）无解，（3）有唯一的解。9、a 取什么值时，方程组3135yxayx 的解是正数？10、a 取哪些正整数值，方程组ayxayx24352的解 x 和 y 都是正整数？11、要使方程组12yxkkyx的解都是整数，k 应取哪些整数值？12、已知关于xy、的方程组2647xayxy有整数解,即xy、都是整数,a是正整数，

6、求a的值。13、m 取何整数值时，方程组1442yxmyx的解 x 和 y 都是整数？14、若4360,2700,xyzxyzxyz求代数式222222522310 xyzxyz的值。应用题：一、数字问题.例 1、一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大 9；如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大 27，求这个两位数。二、利润问题.例 2、一件商品如果按定价打九折出售可以盈利 20%；如果打八折出售可以盈利 10 元，问此商品的定价是多少？三、配套问题.例 3、某厂共有 120 名生产工人，每个工人每天可生产螺栓 25 个或螺母 20 个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套，那

7、么每天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套？四、行程问题.例 4、在某条高速公路上依次排列着 A、B、C 三个加油站，A 到 B 的距离为 120 千米，B 到 C 的距离也是 120 千米。分别在 A、C 两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场，正在 B 站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往 A、C 两个加油站驶去，结果往 B 站驶来的精品 团伙在 1 小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住，而另一团伙经过 3 小时后才被另一辆巡逻车追赶上。问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少？五、货运问

8、题.例 5、某船的载重量为 300 吨，容积为 1200 立方米，现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为 6 立方米，乙种货物每吨的体积为 2 立方米，要充分利用这艘船的载重和容积，甲、乙两重货物应各装多少吨？六、工程问题.例 6、某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成，按照这个服装厂原来的生产能力，每天可生产这种服装 150 套，按这样的生产进度在客户要求的期限内只能完成订货的45；现在工厂改进了人员组织结构和生产流程，每天可生产这种工作服 200 套，这样不仅比规定时间少用 1 天，而且比订货量多生产 25 套，求订做的工作服是几套？要求的期限是几天？15、用

9、100 枚铜板买桃、李、杏共 100 粒，己知桃、李每粒分别是 3，4 枚铜板，而杏 7 粒 1 枚铜板。问桃、李、杏各买几粒？16、今有鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，鸡翁，鸡母，鸡雏都买，可各买多少？17、某种商品价格为每件 33 元，某人身边只带有 2 元和 5 元两种面值的人民币各若干张，买了一件这种商品。若无需找零钱，则付款方式有哪几种（指付出 2 元和 5 元钱的张数）？哪种付款方式付出的张数最少？18、某水果批发市场香蕉的价格如下表：购买香蕉数（千克）不超过 20千克 20 千克以上但不超过 40 千克 40 千克以上 每千克价格 6 元 5 元 4

10、元 张强两次共购买香蕉 50 千克（第二次多于第一次），共付款 264 元，请问张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克？19、小明和小亮做加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个 0，得到的和是 242；而小亮在另一个加数后面多写了一个 0，得到的和是 341，正确的结果是多少？20、用如图 1 中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图 2 的竖式和横式两种无盖纸盒。现在仓库里有 1000 张正方形纸板和 2000 张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？21、同庆中学为丰富学生的校园生活，准备从军跃体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球(每个足球的价格相同，每个篮球的价格

11、相同)，若购买 3 个足球和 2 个篮球共需 310 元购买 2 个足球和 5 个篮球共需 500 元。(1)购买一个足球、一个篮球各需多少元?(2)根据同庆中学的实际情况，需从军跃体育用品商店一次性购买足球和篮球共96 个。要求购买足球和篮球的总费用不超过 5720 元，这所中学最多可以购买多少个篮球?22、为迎接 2008 年奥运会，某工艺厂准备生产奥运会标志“中国印”和奥运会吉祥物“福娃”。该厂主要用甲、乙两种原料，已知生产一套奥运会标志需要甲原料和乙原料分别为 4 盒和 3 盒，生产一套奥运会吉祥物需要甲原料和乙原料分别为 5 盒和 10 盒该厂购进甲、乙原料的量分别为 20000 盒

12、和 30000 盒，如果所进原料全部用完，求该厂能生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套？23、古算题：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空问多少房间多少客？”（题目大意是：一些客人到李三公的店中住宿，若每间房里住7人，就分有7人没地方住；若每间房住9人，则空出一间房 问有多少房间多少客人）24、某次数学竞赛前 60 名获奖，原定一等奖 5 人，二等奖 15 人，三等奖 40 人；现调整为一等奖 10 人，二等奖 20 人，三等奖 30 人。调整后一等奖的平均分数降低了 3 分，二等奖的平均分数降低了 2 分，三等奖平均分数降低 1 分。如果原来二等奖比三等奖平均分数

13、多 7 分，求调整后一等奖比三等奖平均分数多几分？二元一次方程组竞赛题集（答案+解析）【例 1】已知方程组的解 x，y 满足方程 5x-y=3，求 k 的值.【思考与分析】本题有三种解法，前两种为一般解法，后一种为巧解法.精品 （）由已知方程组消去 k，得 x 与 y 的关系式，再与 5x-y=3 联立组成方程组求出 x，y 的值，最后将 x，y 的值代入方程组中任一方程即可求出 k 的值.（）把 k 当做已知数，解方程组，再根据 5x-y=3 建立关于 k 的方程，便可求出 k 的值.（）将方程组中的两个方程相加，得 5x-y=2k+11，又知 5x-y=3，所以整体代入即可求出 k 的值.

14、把代入，得，解得 k=-4.解法二：3，得 17y=k-22，解法三：+，得 5x-y=2k+11.又由 5x-y=3，得 2k+11=3，解得 k=-4.【小结】解题时我们要以一般解法为主，特殊方法虽然巧妙，但是不容易想到，有思考巧妙解法的时间，可能这道题我们已经用一般解法解了一半了，当然，巧妙解法很容易想到的话，那就应该用巧妙解法了.【例 2】某种商品价格为每件元，某人身边只带有元和元两种面值的人民币各若干张，买了一件这种商品.若无需找零钱，则付款方式有哪几种（指付出元和元钱的张数）？哪种付款方式付出的张数最少？【思考与分析】本题我们可以运用方程思想将此问题转化为方程来求解.我们先找出问题

15、中的数量关系，再找出最主要的数量关系，构建等式.然后找出已知量和未知量设元，列方程组求解.最后，比较各个解对应的 x+y 的值，即可知道哪种付款方式付出的张数最少.解：设付出元钱的张数为 x，付出元钱的张数为 y，则 x，y 的取值均为自然数.依题意可得方程：2x+5y=33.因为 5y 个位上的数只可能是或，所以 2x 个位上数应为或.又因为x 是偶数，所以x 个位上的数是，从而此方程的解为：由得 x+y=12；由得 x+y=15.所以第一种付款方式付出的张数最少.精品 答：付款方式有种，分别是：付出张元钱和张元钱；付出张元钱和张元钱；付出张元钱和张元钱.其中第一种付款方式付出的张数最少.【

16、例 3】解方程组 【思考与分析】本例是一个含字母系数的方程组.解含字母系数的方程组同解含字母系数的方程一样，在方程两边同时乘以或除以字母表示的系数时，也需要弄清字母的取值是否为零.解：由，得 y=4mx，把代入，得 2x+5（4mx）=8，解得 （25m）x=-12，当 25m0，即 m时，方程无解，则原方程组无解.当 25m0，即 m时，方程解为将代入，得故当 m时，原方程组的解为 【小结】含字母系数的一次方程组的解法和数字系数的方程组的解法相同，但注意求解时需要讨论字母系数的取值情况对于 x、y 的方程组中，a1、b1、c1、a2、b2、c2均为已知数，且 a1与 b1、a2与 b2都至少

17、有一个不等于零，则 时，原方程组有惟一解；时，原方程组有无穷多组解；时，原方程组无解.【例 4】某中学新建了一栋 4 层的教学大楼，每层楼有 8 间教室，这栋大楼共有 4 道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同.安全检查中，对 4 道门进行了训练：当同时开启一道正门和两道侧门时，2 分钟内可以通过 560 名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4 分钟可以通过 800 名学生.（1）求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？（2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低 20.安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在 5 分钟内通过这 4 道门安全撤离.假设这栋

18、教学大楼每间教室最多有 45 名学生，问：建造的这 4 道门是否符合安全规定？请说明理由.【思考与解】（1）设平均每分钟一道正门可通过 x 名学生，一道侧门可以通过 y 名学生.根据题意，得所以平均每分钟一道正门可以通过学生 120 人，一道侧门可以通过学生 80 人.（2）这栋楼最多有学生 4845=1440（人）.拥挤时 5 分钟 4 道门能通过 52（120+80）（1-20%）=1600（人）.因为 16001440，所以建造的 4 道门符合安全规定.【例 5】某水果批发市场香蕉的价格如下表：精品 张强两次共购买香蕉 50 千克（第二次多于第一次），共付款 264 元，请问张强第一次、

19、第二次分别购买香蕉多少千克？【思考与分析】要想知道张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克，我们可以从香蕉的价格和张强买的香蕉的千克数以及付的钱数来入手.通过观察图表我们可知香蕉的价格分三段，分别是 6 元、5 元、4 元.相对应的香蕉的千克数也分为三段，我们可以假设张强两次买的香蕉的千克数分别在某段范围内，利用分类讨论的方法求得张强第一次、第二次分别购买香蕉的千克数.解：设张强第一次购买香蕉 x 千克，第二次购买香蕉 y 千克由题意，得 0 x25 当 0 x20，y40 时，由题意，得 当 040 时，由题意，得（与 0 x20，y40 相矛盾，不合题意，舍去）当 20 x25 时，25y3

20、0此时张强用去的款项为 5x+5y=5（x+y）=550=250264（不合题意，舍去）.综合可知，张强第一次购买香蕉 14 千克，第二次购买香蕉 36 千克.【反思】我们在做这道题的时候，一定要考虑周全，不能说想出了一种情况就认为万事大吉了，要进行分类讨论，考虑所有的可能性，看有几种情况符合题意.【例 6】用如图中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图的竖式和横式两种无盖纸盒.现在仓库里有张正方形纸板和000 张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？【思考与分析】我们已经知道已知量有正方形纸板的总数 1000，长方形纸板的总数 2，未知量是竖式纸盒的个数和横式纸盒的个数

21、.而且每个竖式纸盒和横式纸盒都要用一定数量的正方形纸板和长方形纸板做成，如果我们知道这两种纸盒分别要用多少张正方形纸板和长方形纸板，就能建立起如下的等量关系：每个竖式纸盒要用的正方形纸板数 竖式纸盒个数+每个横式纸盒要用的正方形纸板数 横式纸盒个数=正方形纸板的总数,每个竖式纸盒要用的长方形纸板数 竖式纸盒个数+每个横式纸盒要用的长方形纸板数 横式纸盒个数=长方形纸板的总数,通过观察图形，可知每个竖式纸盒分别要用张正方形纸板和张长方形纸板，每个横式纸盒分别要用张正方形纸板和张长方形纸板.解：由题中的等量关系我们可以得到下面图表所示的关系.精品 设竖式纸盒做 x 个，横式纸盒做 y 个.根据题意

22、，得 4-，得 y=2000，解得 y=400.把 y=400 代入，得 x+800=1000，解得 x=200.所以方程组的解为因为 200 和 400 均为自然数，所以这个解符合题意.二元一次方程组培优应用题 一数字问题 1小明和小亮做加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个 0，得到的和是 242；而小亮在另一个加数后面多写了一个 0，得到的和是 341，正确的结果是多少？2小宏与小英是同班同学，小英家的住宅小区有 1 号楼至 22 号楼共 22 栋楼房，小宏问了小英下面两句话，就猜出了小英住几号楼几号房间小宏问：“你家的楼号加房间号是多少？”小英答：“220”小宏问：“楼号的 10 倍加

23、房间号是多少？”小英答：“364”你知道为什么吗？3炎热的夏天，游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽如果每个男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每个女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多 1 倍，你知道男孩与女孩各有多少人吗？4已知一个两位数，它的十位上的数字x比个位上的数字y大1，若颠倒个位数字与十位数字的位置，得到的新数比原数小9，求这个两位数所列的方程组正确的是（）二配套问题 1.（08 山东省日照市）为迎接 2008 年奥运会，某工艺厂准备生产奥运会标志“中国印”和奥运会吉祥物“福娃”该厂主要用甲、乙两种原料，已知生产一套奥运会标志需要甲原料和乙原料分别为 4 盒和 3 盒

24、，生产一套奥运会吉祥物需要甲原料和乙原料分别为 5 盒和 10 盒该厂购进甲、乙原料的量分别为 20000 盒和 30000 盒，如果所进原料全部用完，求该厂能生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套？2.（2008 年山东省威海市）汶川大地震发生后，各地人民纷纷捐款捐物支援灾区我市某企业向灾区捐助价值 94 万元的A，B两种帐篷共 600 顶已知A种帐篷每顶 1700 元，B种帐篷每顶 1300 元，问A，B两种帐篷各多少顶？3长沙市某公园的门票价格如下表所示：购票人数 150 人 51100 人 100 人以上 票价 10 元人 8 元人 5 元人 某校七年级甲、乙两班共100多人去该公园举行

25、联欢活动，其中甲班50多人，乙班不足50人如果以班为单位分别买票，两个班一共应付920元；如果两个班联合起来作为一团体购票，一共只要付515元问：甲、乙两班分别有多少人？三行程问题 1.甲、乙两人练习跑步，如果让乙先跑 10 米，甲 5 秒追上乙；如果让乙先跑 2 秒，那么甲 4 秒追上乙.甲、乙每秒分别跑 x、y米，由题意得方程组_.2.小明和小亮分别从相距 20 千米的甲、乙两地相向而行，经过 2 小时两人相遇，相遇后小明即返回原地，小亮继续向甲地前进，小明返回到甲地时，小亮离甲地还有 2 千米.请求出两人的速度.3.一船顺水航行 43.5 公里需要 3 小时，逆水行 47.5 公里需 5

26、 小时，求此船在静水中的速度和水流的速度.四工程问题 精品 1某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成按这个服装厂原来的生产能力，每天可生产这种服装 150 套，按这样的生产进度在客户要求期限内只能完成订货的45；现在工厂改进了人员组织结构和生产流程，每天可生产这种工作服 200 套，这样，不仅比规定的期限少用 1 天，而且比订货量多生产 25 套那么客户订做的工作服是多少套，要求完成的期限是多少天？2（2006 年日照市）在我市南沿海公路改建工程中，某段工程拟在 30 天内（含 30 天）完成现有甲、乙两个工程队，从这两个工程队资质材料可知：若两队合做 24 天恰好完成；若

27、两队合做 18 天后，甲工程队再单独做 10 天，也恰好完成请问：（1）甲、乙两个工程队单独完成该工程各需多少天？（2）已知甲工程队每天的施工费用为 06 万元，乙工程队每天的施工费用为 035 万元，要使该工程的施工费用最低，甲、乙两队各做多少天（同时施工即为合做）？最低施工费用 五含量浓度问题 1(2008 山东烟台)据研究，当洗衣机中洗衣粉的含量在 0.2%0.5%之间时，衣服的洗涤效果较好，因为这时表面活性较大.现将 4.94的衣服放入最大容量为 15的洗衣机中，欲使洗衣机中洗衣粉的含量达到 0.4%，那么洗衣机中需要加入多少千克水，多少匙洗衣粉？（1 匙洗衣粉约 0.02，假设洗衣机

28、以最大容量洗涤）2.要配制浓度为 15%的硫酸 500 公斤，已有 60%的硫酸 100 公斤，问还需要加水和加浓度为 80%的硫酸各多少公斤?六图形问题 1如图 4，周长为 68 的长方形ABCD被分成 7 个大小完全一样的长方形，则长方形ABCD的面积是多少？2用一些长短相同的小木棍按图 5 所示，连续摆正方形和六边形要求每两个相邻的图形只有一条公共边已知摆放的正方形比正六边形多 4 个，并且一共用了 110 根小木棍，问连续摆放的正方形和正六边形各有多少个？3（2006 年烟台市）2002 年 8 月在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的

29、一个大正方形若大正方形的面积是 13，小正方形的面积是 1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，则a3b4的值为()A35 B43 C89 D97 七整数解问题.1把面值为1元的纸币换为1角或5角的硬币，则换法共有_种 练习：1古算题：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空问多少房间多少客？”（题目大意是：一些客人到李三公的店中住宿，若每间房里住7人，就分有7人没地方住；若每间房住9人，则空出一间房问有多少房间多少客人）答：_ 2.某公司去年的总收入比总支出多 50 万元，今年比去年的总收入增加 10，总支出节约 20，今年的总收入比总支出多 100 万元.如

30、果设去年的总收入是x万元，总支出是y元，那么可列方程组是_.一、数字问题 例 1 一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大 9；如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大 27，求这个两位数 分析：设这个两位数十位上的数为 x，个位上的数为 y，则这个两位数及新两位数及其之间的关系可用下表表示：解方程组109101027xyxyyxxy，得14xy，因此，所求的两位数是 14 十位上的数 个位上的数 对应的两位数 相等关系 原两位数 x y 10 x+y 10 x+y=x+y+9 新两位数 y 10y+x 10y+x=10 x+y+27 精品 点评：由于受一元一次方程先入为主的

31、影响，不少同学习惯于只设一元，然后列一元一次方程求解，虽然这种方法十有八九可以奏效，但对有些问题是无能为力的，象本题，如果直接设这个两位数为 x，或只设十位上的数为 x，那将很难或根本就想象不出关于 x 的方程一般地，与数位上的数字有关的求数问题，一般应设各个数位上的数为“元”，然后列多元方程组解之 二、利润问题 例 2 一件商品如果按定价打九折出售可以盈利 20%；如果打八折出售可以盈利 10 元，问此商品的定价是多少？分析：商品的利润涉及到进价、定价和卖出价，因此，设此商品的定价为 x 元，进价为 y 元，则打九折时的卖出价为 0.9x 元，获利(0.9x-y)元，因此得方程 0.9x-y

32、=20%y；打八折时的卖出价为 0.8x 元，获利(0.8x-y)元，可得方程 0.8x-y=10.解方程组0.920%0.810 xyyxy，解得200150 xy，因此，此商品定价为 200 元 点评：商品销售盈利百分数是相对于进价而言的，不要误为是相对于定价或卖出价利润的计算一般有两种方法，一是：利润=卖出价-进价；二是：利润=进价利润率（盈利百分数）注意“利润”和“利润率”是不同的两个概念 三、配套问题 例 3 某厂共有 120 名生产工人，每个工人每天可生产螺栓 25 个或螺母 20 个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产

33、出来的产品配成最多套？分析：要使生产出来的产品配成最多套，只须生产出来的螺栓和螺母全部配上套，根据题意，每天生产的螺栓与螺母应满足关系式：每天生产的螺栓数2=每天生产的螺母数1因此，设安排人生产螺栓，人生产螺母，则每天可生产螺栓 25个，螺母 20个，依题意，得 120502201xyxy，解之，得20100 xy故应安排 20 人生产螺栓，100 人生产螺母 点评：产品配套是工厂生产中基本原则之一，如何分配生产力，使生产出来的产品恰好配套成为主管生产人员常见的问题，解决配套问题的关键是利用配套本身所存在的相等关系，其中两种最常见的配套问题的等量关系是：（1）“二合一”问题：如果件甲产品和件乙

34、产品配成一套，那么甲产品数的倍等于乙产品数的倍，即ab甲产品数乙产品数；（2）“三合一”问题：如果甲产品件，乙产品件，丙产品件配成一套，那么各种产品数应满足的相等关系式是：abc甲产品数乙产品数丙产品数 四、行程问题 例 4 在某条高速公路上依次排列着 A、B、C 三个加油站，A 到 B 的距离为 120 千米，B 到 C 的距离也是 120 千米分别在 A、C 两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场，正在 B 站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往 A、C 两个加油站驶去，结果往 B 站驶来的团伙在 1小时后就被其中一辆迎面而上的巡

35、逻车堵截住，而另一团伙经过 3 小时后才被另一辆巡逻车追赶上问巡逻车和犯罪精品 团伙的车的速度各是多少？【研析】设巡逻车、犯罪团伙的车的速度分别为 x、y 千米/时，则3120120 xyxy，整理，得40120 xyxy，解得8040 xy，因此，巡逻车的速度是 80 千米/时，犯罪团伙的车的速度是 40 千米/时 点评：“相向而遇”和“同向追及”是行程问题中最常见的两种题型，在这两种题型中都存在着一个相等关系，这个关系涉及到两者的速度、原来的距离以及行走的时间，具体表现在：“相向而遇”时，两者所走的路程之和等于它们原来的距离；“同向追及”时，快者所走的路程减去慢者所走的路程等于它们原来的距

36、离 五、货运问题 典例 5 某船的载重量为 300 吨，容积为 1200 立方米，现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为 6 立方米，乙种货物每吨的体积为 2 立方米，要充分利用这艘船的载重和容积，甲、乙两重货物应各装多少吨？分析：“充分利用这艘船的载重和容积”的意思是“货物的总重量等于船的载重量”且“货物的体积等于船的容积”设甲种货物装 x 吨，乙种货物装 y 吨，则 300621200 xyxy，整理，得3003600 xyxy，解得150150 xy，因此，甲、乙两重货物应各装 150 吨 点评：由实际问题列出的方程组一般都可以再化简，因此，解实际问题的方程组时要注意先化简，再考

37、虑消元和解法，这样可以减少计算量，增加准确度化简时一般是去分母或两边同时除以各项系数的最大公约数或移项、合并同类项等 六、工程问题 例 6 某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成，按照这个服装厂原来的生产能力，每天可生产这种服装 150 套，按这样的生产进度在客户要求的期限内只能完成订货的45；现在工厂改进了人员组织结构和生产流程，每天可生产这种工作服 200 套，这样不仅比规定时间少用 1 天，而且比订货量多生产 25 套，求订做的工作服是几套？要求的期限是几天？分析：设订做的工作服是 x 套，要求的期限是 y 天，依题意，得41505200125yxyx，解得33751

38、8xy.点评：工程问题与行程问题相类似，关键要抓好三个基本量的关系，即“工作量=工作时间工作效率”以及它们的变式“工作时间=工作量工作效率，工作效率=工作量工作时间”其次注意当题目与工作量大小、多少无关时，通常用“1”表示总工作量【典题精析】例1（2006年南京市）某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为6元/辆，小型汽车的停车费为4元/辆.现在停车场有50辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费230元，问中、小型汽车各有多少辆？解析：设中型汽车有x辆，小型汽车有y辆.由题意，得 精品.23046,50yxyx解得，.35,15yx故中型汽车有15辆，小型汽车有35辆.例 2（2006 年四川省

39、眉山市）某蔬菜公司收购蔬菜进行销售的获利情况如下表所示：销售方式 直接销售 粗加工后销售 精加工后销售 每吨获利（元）100 250 450 现在该公司收购了 140 吨蔬菜，已知该公司每天能精加工蔬菜 6 吨或粗加工蔬菜 16 吨（两种加工不能同时进行）（1）如果要求在 18 天内全部销售完这 140 吨蔬菜，请完成下列表格：销售方式 全部直接销售 全部粗加工后销售 尽量精加工，剩余部分直接销售 获利（元）（2）如果先进行精加工，然后进行粗加工，要求在 15 天内刚好加工完 140 吨蔬菜，则应如何分配加工时间？解：（1）全部直接销售获利为：100140=14000（元）；全部粗加工后销售获

40、利为：250140=35000（元）；尽量精加工，剩余部分直接销售获利为：450（618）100（140618）=51800（元）.（2）设应安排 x 天进行精加工，y 天进行粗加工.由题意，得.140166,15yxyx解得，.5,10yx故应安排 10 天进行精加工，5 天进行粗加工.练习：为满足市民对优质教育的需求，某中学决定改变办学条件，计划拆除一部分旧校舍，建造新校舍，拆除旧校舍每平方米需 80 元，建新校舍每平方米需 700 元.计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共 7200 平方米，在实施中为扩大绿地面积，新建校舍只完成了计划的 80%，而拆除旧校舍则超过了计划的 10%，结果恰好

41、完成了原计划的拆、建总面积.（1）求：原计划拆、建面积各是多少平方米？（2）若绿化 1 平方米需 200 元，那么在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化大约是多少平方米？课堂练习(中考题为主)1、某厂买进甲、乙两种材料共 56 吨，用去 9860 元。若甲种材料每吨 190 元，乙种材料每吨 160 元，则两种材料各买多少吨？2、某运输公司有大小两种货车,2 辆大车和 3 辆小车可运货 15.5 吨,5 辆大车和 6 辆小车可运货 35 吨,客户王某有货 52吨,要求一次性用数量相等的大小货车运出,问需用大、小货车各多少辆?3、一项工程，甲单独做要 10 天完成，乙单独做要 15 天完成，

42、两人合做 4 天后，剩下的部分由乙单独做，还需要几天完成？4、一个三位数，个位、百位上的数字的和等于十位上的数字，百位上的数字的 7 倍比个位、十位上的数字的和大 2，个位、十位、百位上的数字之和是 14。求这个三位数。5、有甲乙两种债券年利率分别是 10%与 12%，现有 400 元债券，一年后获利 45 元，问两种债券各有多少？补充（中考题）1.某校初三（2）班 40 名同学为“希望工程”捐款，共捐款 100 元.捐款情况如下表：捐款（元）1 2 3 4 人数 6 7 精品 表格中捐款 2 元和 3 元的人数不小心被墨水污染已经看不清楚.若设捐款 2 元的有x名同学，捐款 3 元的有y名同

43、学，根据题意，可得方程组（）.（A）272366xyxy（B）2723100 xyxy（C）273266xyxy（D）2732100 xyxy 2.已知二元一次方程组为2728xyxy，则xy_，xy_.3.若方程组43113.xyaxay，（）的解x与y相等，则a _.4.若359427342mnmnxy是二元一次方程，则mn值等于_.5.有一个两位数，减去它各位数字之和的 3 倍，值为 23，除以它各位数字之和，商是 5，余数是 1，则这样的两位数（）A不存在 B有惟一解 C有两个 D有无数解 6.4x+1=m(x2)+n(x5),则m、n的值是 A.14nm B.14nm C.37nn

44、D.37nm 7.如果方程组1293yxyax无解，则a为 A.6 B.6 C.9 D.9 8.若方程组345223kyxkyx的解之和：x+y=5，求k的值，并解此方程组.9.以方程组21yxyx 的解为坐标的点(,)x y在平面直角坐标系中的位置是（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 10.若关于xy，的方程组2xymxmyn的解是21xy，则|mn为（）A1 B3 C5 D2 课后作业：(巩固二元一次方程的实际问题)1、某人用 24000 元买进甲、乙两种股票，在甲股票升值 15，乙股票下跌 10时卖出，共获利 1350 元，试问某人买的甲、乙两股票各是多少元？2、种饮料大

45、小包装有 3 种，1 个中瓶比 2 小瓶便宜 2 角，1 个大瓶比 1 个中瓶加 1 个小瓶贵 4 角，大、中、小各买 1瓶，需 9 元 6 角。3 种包装的饮料每瓶各多少元？3、一级学生去饭堂开会，如果每 4 人共坐一张长凳，则有 28 人没有位置坐，如果 6 人共坐一张长凳，求初一级学生人数及长凳数 4、某家庭前年结余 5000 元，去年结余 9500 元，已知去年的收入比前年增加了 15%，而支出比前年减少了 10%，这个家庭去年的收入和支出各是多少？5、若干学生住宿,若每间住 4 人则余 20 人,若每间住 8 人,则有一间不空也不满,问宿舍几间,学生多少人?19.6、有 23 人在甲处劳动，17 人在乙处劳动，现调 20 人去支援，使在甲处劳动的人数是在乙处劳动的人数的 2 倍，应调精品 往甲、乙两处各多少人？7、7、一项工程，甲单独做要 10 天完成，乙单独做要 15 天完成，甲单独做 5 天,然后甲、乙合作完成，共得到 1000 元，如果按照每人完成工作量计算报酬，那么甲、乙两人该如何分配？