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1、第 1 页 高中空间点线面之间位置关系知识点总结 第二章 直线与平面位置关系 2.1 空间点、直线、平面之间位置关系 1 平面含义：平面是无限延展 2 平面画法及表示 1平面画法：水平放置平面通常画成一个平行四边形，锐角画成 450，且横边画成邻边 2 倍长如图 2平面通常用希腊字母、等表示，如平面、平面等，也可以用表示平面平行四边形四个顶点或者相对两个顶点大写字母来表示，如平面 AC、平面 ABCD 等。3 三个公理：1公理 1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 AL BL =L A B 公理 1 作用：判断直线是否在平面内 2公理 2：过不在一条直线上三点
2、，有且只有一个平面。符号表示为：A、B、C 三点不共线=有且只有一个平面，D C B A L A C B A 第 2 页 使 A、B、C。公理 2 作用：确定一个平面依据。3公理 3：如果两个不重合平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点公共直线。符号表示为：P=L，且 PL 公理 3 作用：判定两个平面是否相交依据 2.1.2 空间中直线与直线之间位置关系 1 空间两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。2 公理 4：平行于同一条直线两条直线互相平行。符号表示为：设 a、b、c 是三条
3、直线 ab cb 强调：公理 4 实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理 4 作用：判断空间两条直线平行依据。3 等角定理：空间中如果两个角两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点：a与 b所成角大小只由 a、b 相互位置来确定，与 O 选择无关，为简便，点 O 一般取在两直线中一条上；P L 共 面 直=ac 第 3 页 两条异面直线所成角(0，)；当两条异面直线所成角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作 ab；两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；计算中，通常把两条异面直线所成角转化为两条相交直线所成角。2.1.3 2.1.4 空间中直线
4、与平面、平面与平面之间位置关系 1、直线与平面有三种位置关系：1直线在平面内 有无数个公共点 2直线与平面相交 有且只有一个公共点 3直线在平面平行 没有公共点 指出：直线与平面相交或平行情况统称为直线在平面外，可用 a 来表示 a a=A a 2.2.直线、平面平行判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行判定 1、直线与平面平行判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行，那么该直线与此平面平行。简记为：线线平行，那么线面平行。符号表示：a 第 4 页 b =a ab 2.2.2 平面与平面平行判定 1、两个平面平行判定定理：一个平面内两条交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。符号表
5、示：a b ab=P a b 2、判断两平面平行方法有三种：1用定义；2判定定理；3垂直于同一条直线两个平面平行。2.2.3 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行性质 1、定理：一条直线与一个平面平行，那么过这条直线任一平面与此平面交线与该直线平行。简记为：线面平行那么线线平行。符号表示：a 第 5 页 a ab=b 作用：利用该定理可解决直线间平行问题。2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们交线平行。符号表示：=a ab =b 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3 直线、平面垂直判定及其性质 1、定义 如果直线 L 与平面内任意一条直线都垂直，我们就说直线 L
6、 与平面互相垂直，记作 L，直线 L 叫做平面垂线，平面叫做直线 L 垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点 P 叫做垂足。L p 2、判定定理：一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。注意点：a)定理中“两条相交直线这一条件不可无视；b)定理表达了“直线与平面垂直与“直线与直线垂直互相转化数学思想。1、二面角概念：表示从空间一直线出发两个半平面所组成图形 第 6 页 A 梭 l B 2、二面角记法：二面角-l-或-AB-3、两个平面互相垂直判定定理：一个平面过另一个平面垂线，那么这两个平面垂直。2.3.3 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直性质 1、定理：垂
7、直于同一个平面两条直线平行。2 性质定理：两个平面垂直，那么一个平面内垂直于交线直线与另一个平面垂直。本章知识构造框图 平面公理 1、公理 2、公理空间直线、平面位置关系 平面与平面位置关直线与平面位置关第 7 页 根底训练 A 组 一、选择题 1以下四个结论：两条直线都与同一个平面平行，那么这两条直线平行。两条直线没有公共点，那么这两条直线平行。两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线平行。一条直线与一个平面内无数条直线没有公共点，那么这条直线与这个平面平行。其中正确个数为 A B C D 2下面列举图形一定是平面图形是 A有一个角是直角四边形 B有两个角是直角四边形 C有三个角是直角四边
8、形 D有四个角是直角四边形 3垂直于同一条直线两条直线一定 A平行 B相交 C异面 D以上都有可能 4 如右图所示，正三棱锥顶点在底面射影是底面正三角形中心 中，分别是 中点，为上任意一点，那么直线与所成角大小是 第 8 页 A B C D随点变化而变化。5互不重合三个平面最多可以把空间分成 个局部 A B C D 6把正方形沿对角线折起,当以四点为顶点三棱锥体积最大时，直线与平面所成角大小为 A B C D 二、填空题 1是两条异面直线，那么 与 位置关系_。2直线 与平面所成角为，那么与 所成角取值范围是 _ 3棱长为 正四面体内有一点，由点向各面引垂线，垂线段长度分别为，那么值为 。4直
9、二面角 棱 上有一点，在平面内各有一条射线，与 成，那么 。5以下命题中：第 9 页 1、平行于同一直线两个平面平行；2、平行于同一平面两个平面平行；3、垂直于同一直线两直线平行；4、垂直于同一平面两直线平行.其中正确个数有_。三、解答题 1为空间四边形边上点，且求证：.2自二面角内一点分别向两个半平面引垂线，求证：它们所成角与二两角平面角互补。第二章空间点、直线、平面位置关系复习 一、选择题：第 10 页 1以下命题正确是 A三点确定一个平面 B经过一条直线与一个点确定一个平面 C两条相交直线确定一个平面 D四边形确定一个平面 2平行于同一平面两条直线位置关系 A平行 B相交 C异面 D平行
10、、相交或异面 3以下命题中，错误是 A平行于同一个平面两个平面平行 B平行于同一条直线两个平面平行 C一个平面与两个平行平面相交，交线平行 D一条直线与两个平行平面中一个相交，那么必与另一个相交 a，b异面直线，a与平面平行，那么b与平面位置关系是 5.直线 a,b,c 及平面,以下命题正确是 A、假设 a，b,ca,cb 那么 c B、假设 b,a/b 那么 a/C、假设 a/,=b 那么 a/b D、假设 a,b 那么a/b 6以下命题中正确是 A如果一个平面内两条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行。B如果平面，那么平面 内所有直线都垂直于平面 C 如果平面 不垂直于平面，那么平面
11、内一定不存在直线垂直于平面内第 11 页 某条直线。D如果平面，那么 ABCD-A1B1C1D1中，异面直线 A1B 与 B1C 所成角是：()A30 B45 C60 D90 8 在三棱柱中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点是侧面中心，那么与平面所成角大小是()A B C D 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 二、填空题 9正方体 ABCD-A1B1C1D1中，与对角线 AC1异面棱有 条 10.直线 a/平面，平面/平面，那么 a 与位置关系为 11空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA中点.假设AC=BD，那么四边形EFGH是 ；假设那么四边形EFGH是
12、12.在四面体 A-BCD 中，E、F 分别是 AB、CD 中点，BD、AC 所成角为，BD=AC=1，那么 EF 长度为 三、解答题：第 12 页 13如下图，在正三棱锥SABC中，D，E，F分别是棱AC，BC，SC 上点，且CD2AD，CE2BE，CF2SF，G是AB中点。求证：SG平面DEF。14、如图：是直径，垂直于所在平面，是圆周上不同于任意一点，求证：A B C P O 第 13 页 15、在正方体中，E是中点，求证：16、如图，四棱锥 PABCD 中，底面四边形为正方形，侧面 PDC 为正三角形，且平面 PDC底面 ABCD，E 为 PC 中点。1求证：PA平面 EDB。2求证：平面 EDB平面 PBC。3求二面角正切值。A B C D P E 第 14 页 17如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，侧棱PAPD=,底面ABCD为直角梯形，其中BCAD,ABAD,AD=2AB=2BC=2，O为AD中点.()求证:PO平面ABCD；()求异面直线 PB 与 CD 所成角余弦值；()求点 A 到平面 PCD 距离.