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1、1 人教版义务教育教科书数学 八年级上册 11.3.2 多边形的内角和教学设计 一、教材解析 1内容 多边形的内角和公式及外角和.2内容解析 本节课的主要内容是建立在对三角形内角和求解和多边形基础知识已经掌握的基础之上探究多边形的内角和公式及外角和.多边形的内角和反映了多边形的要素之一“角”之间的数量关系，是多边形的基本性质.它属于“空间与图形”领域中“图形的认识”部分中的重要内容之，多边形内角和公式是三角形内角和定理的应用、推广和深化，它源于三角形内角和定理又包含三角形内角和定理.多边形的外角和又是在多边形内角和的基础上推导而来的.本课在初中数学学习中占有十分重要的地位和作用，为后面探究平行
2、四边形、多边形镶嵌、正多边形与圆关系等内容提供了方法和条件.本节课的探究是从已有的数学经验三角形内角和 180，长方形、正方形的内角和 360出发，逐步深入的提出一般的问题，进而获得一般的结论.探究过程从具体可操作的四边形内角和入手，类比并推导得出五边形、六边形的内角和，并引导学生发现过五边形、六边形的一个顶点引对角线，分割成的三角形个数与它的边数之间的关系，进而发现多边形内角和与边数的关系并推导得出多边形的内角和公式.这个过程体现了从特殊到一般的研究问题的方法.多边形内角和公式的探索体现了将多边形分割成若干个三角形的化归过程，即将多边形分割成若干个三角形，利用三角形内角和公式得出多边形内角和
3、公式，这个过程体现了将复杂图形转化为简单基本单元的化归思想.通过探索多边形的内角和与外角和，让学生尝试从不同角度寻求解决问题的方法，并能有效的解决问题.整个探究过程中所涉及的类比、从特殊到一般、转化化归等数学思想方法，是学生今后学习和研究数学所必备的思想方法 基于以上分析，确定本节课的教学重点是：多边形内角和公式的探索与推导过程.二、目标和目标解析 1目标 2（1）探索多边形内（外）角和公式，体会化归思想和从特殊到一般的研究问题的方法.（2）运用多边形内角和公式和多边形外角和解决简单问题.2目标解析 达成目标（1）的标志是：学生能在老师的启发引导下，从对具体的特殊四边形内角和的研究出发，利用三
4、角形内角和公式，逐步探索四边形、五边形、六边形n 边形的内角和，并能够利用多种分割方法，验证多边形内角和公式，借助多边形内角和公式推导外角和，体会从特殊到一般的研究问题的方法.在参与四边形、五边形、六边形n 边形分割成若干个三角形的过程中，感悟化归思想.达成目标（2）的标志是：学生能够利用多边形内角和公式推导得出多边形外角和，能将公式运用于简单的多边形内角和计算，能在多边形问题情景中，自觉联想用多边形内角和公式和外角和综合解决问题.三、教学问题诊断分析 本节主要通过探索多边形的内（外）角和公式，让学生经历观察、交流、猜想、计算的学习过程，通过组织学生合作交流、观察现象，提出猜想、推理验证等，培
5、养学生分析问题、解决问题的能力，以及发展学生合情推理与实践探究能力推理验证的过程其实就是由具体到抽象以及逻辑推理的过程.推理过程中如何获得将多边形分割成三角形来解决问题的思路，如何确定不同分割方式，如何确定分割后的三角形个数，如何确定内角和与边数之间的关系，这一系列的过程学生会有一定难度.教学时要注意以下几点：1.引导学生弄清解决问题的关键是将复杂图形转化为简单的基本图形；2.引导学生注意探究过程中的相关因素，如：边数，从一个顶点出发的对角线条数，分割的三角形个数等；3.引导学生观察不同分割方法中相关因素之间的关系，归纳得出不同分割方法的本质是受点的选取位置而影响的，并总结得出连接对角线是多种
6、方法中较好的办法.4.教学中借助表格等手段使发现的规律直观化.基于以上分析确定教学难点为：获得将多边形分割成三角形来解决问题的思路；确定分割后的三角形的个数与边数的关系 四、教学过程设计 1探索 n 边形的内角和 教师引入：上节课我们学习了多边形，知道了多边形的边、内角、外角和对角线，以及对角线可以将多边形分割成几个三角形.今天，我们继续研究多边形，先看下面的问题：3 问题 1 我们已经知道三角形的内角和等于 180，正方形、长方形的内角和都等于 360，那么任意一个四边形的内角和是否等于 360 呢？能说明理由吗？师生活动：教师引导学生分析问题解决的思路，如何利用三角形内角和求出四边形的内角
7、和，进而发现：只需连接一条对角线，即可将一个四边形分割为两个三角形.学生回答问题，教师对说理过程进行规范.设计意图：从学生熟悉的、已知的特例出发，建立起四边形和三角形之间的联系，为提出一般问题作好铺垫，让学生初步感受从特殊到一般的发展过程.追问 连接对角线起到什么作用？师生活动：学生总结得出对角线的作用是能将四边形分割成两个三角形，将四边形的内角和问题转化为两个三角形所有内角的和的问题.设计意图：让学生进一步感受对角线在探索四边形内角和中的作用，体会化归思想.问题 2 你能利用过一个顶点作对角线的方法，确定五边形、六边形的内角和吗？多边形 图形 边数 从一个顶点出发的对角线条数 分成三角形的个
8、数 内角和 四边形 五边形 4 师生活动：学生独立思考，完成表格相应前三行内容.学生类比四边形内角和的研究过程，得出从五边形的一个顶点出发可以作 2 条对角线，将五边形分割成 3 个三角形，进而得出五边形内角和为（5-2）180=540，从六边形的一个顶点出发可以作 3 条对角线，将五边形分割成 4个三角形，进而得出六边形内角和为（6-2）180=720.设计意图：将研究方法进行迁移，进一步体会将五边形、六边形分割成几个三角形的化归过程.通过填空明确边数、从一个顶点作出的对角线条数、分割的三角形个数、内角和之间的关系，为进一步探究多边形的内角和奠定基础.追问 你能发现过五边形、六边形的一个顶点
9、引对角线，分割成的三角形个数与它的边数之间有什么关系吗？师生活动：学生发现边数减 2 就是分割成的三角形个数的规律，教师进一步启发学生从顶点或边两个角度解释（从顶点的角度：所取顶点与相邻的两个顶点无法连成对角线，所以少了两个三角形；从边的角度：所取的顶点与它所在的两条边不能构成三角形，所以少了两个三角形）.设计意图：让学生通过观察表格明确边数与分割的三角形个数之间的关系，为进一步探究多边形的内角和奠定基础.问题 3 你能从四边形、五边形、六边形的内角和的研究过程中获得启发，发现多边形内角和与边数的关系吗？师生活动：类比四边形、五边形、六边形的研究过程，发现内角和均与边数有关，进而推广得到 n
10、边形从一个顶点引对角线将 n 边形分成了（n-2）个三角形，则内角和是（n-2）180的结论.师生共同完成表格内容，对照表格再次梳理公式的推导过程，同时强调当 n=4 时，四边形内角和 360；n=5 时，五边形内角和 540；n=6 时，六边形内角和 720.设计意图：让学生体会从特殊到一般的研究问题的方法，回顾 n 边形内角和的探索思路，体会从特殊到一般的研究问题的方法，感悟化归思想的作用.借助表格帮助学生体会结论生成的过程，通过教师强调 n 的取值，让学生对公式进行再认识.追问 前面我们通过连接对角线将多边形分割成三角形的方法，探究得到 n 边形内角和，那么六边形 .n 边形 5“把一个
11、多边形分成几个三角形”还有其他分法吗？用新的分法，能够得到相同的结论吗？我们不妨也按照刚才的方法，先从四边形入手.师生活动：学生自主探究，小组讨论交流.并请小组代表讲解思路.学生可能会有以下几种分法：方法 1：在四边形内任取一个点 O,连接点 O 和各个顶点，也将四边形分成了四个三角形，内角和是 4180-360=360.方法 2：在四边形的边上取一个点 O,连接 O 与两个顶点把四边形分成了三个三角形，那么四边形内角和就是 3180-180=360.教师对学生方法进行总结，并利用人教数字智慧平台提供 的动画演示五边形的分割方法.当在五边形内任取一点 O，连接 O 点与各个顶点，将图形分成了五
12、个三角形，产生了一个周角.从而推导出五边形的内角和为540.当在五边形的任意一边上任取一个点 P，连接 P 点与其他各个顶点的线段，将图形分成了 4个三角形，产生了一个平角.设计意图：让学生尝试不同的方法分割四边形，再次体会化归思想.同时，利用之前的学习经验，从具体的多边形出发，进行研究，为得出一般结论的推导做好铺垫.借助不同的分割方法进行探究的过程，激发学生的学习兴趣，培养学生的观察、猜想、推理的能力.追问 请同学以小组为单位，用刚才各自的分割方法，看能否推导得出多边形的内角和.师生活动：小组讨论交流，请小组代表上台对推导过程进行讲解.方法 1：借助在多边形内取一点将多边形进行分割，通过分割
13、四边形、五边形、六边形找规律发现，可以将 n 边形分割成 n 个三角形，那么内角和可以表示为 n180-360，化简后也可以得到（n-2）180.方法 2：在多边形的边上取一点将多边形进行分割，通过分割四边形、五边形、六边形找规律发现，可以将 n 边形分割成（n-1）个三角形，那么内角和可以表示为（n-1）180-180，化简后也可以得到（n-2）180.教师进行总结对知识进行提升，无论哪种分割方法，我们的目的都是为了将多边形分割为三角形，利用已经知道的“三角形内角和”解决未知的“多边形内角和”的问题.本质上，都是从“一个点出发”，随着点的位置不同，划分方法也会不同，当然，这个点，还可以在多边
14、形之外，同学们课下可以再试一试.追问：这个“点”选在哪最好呢？师生活动：师生共同总结选择“顶点”，连接“对角线”比较好.“顶点”和“对角线”都是6 多边形中重要的概念，通过“连接对角线”，可以把多边形分成几个三角形，进而把多边形问题直接转化为三角形问题，这样，我们就可以将三角形中所学习过的知识，直接运用到解决多边形的问题.设计意图：人的认知能力的发展和认知水平的提高在很大程度上得益于深刻的反思活动，此环节让学生尝试用不同的分割方法来推导多边形内角和公式，进一步加深对 n 边形内角和公式推导过程的理解.在几种方法的比较过程中让学生进一步感受对角线在探索n边形内角和中的作用和优点.2巩固多边形内角
15、和公式 练一练 学生进行答题对抗赛 师生活动：利用希沃白板中的竞赛功能，进行知识竞赛，借助四道判断题检验学生知识掌握情况.设计意图：利用游戏活跃课堂气氛，提高学生参与积极性.通过判断题让学生从正反两个方面灵活运用公式，解决与多边形内角和有关的简单计算问题.例 1 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？师生活动：教师提出问题，学生画出图形，并根据图形将文字语言翻译成符号语言，明确题目中已知A+C=180，所求的是B+D 的度数，在这里要用到四边形的内角和等于 360.学生思考回答问题，教师板书过程.完成解题后，教师引导学生得出结论：如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补
16、.设计意图：让学生理解文字语言，并会将文字语言转化为图形语言和符号语言，进一步巩固多边形内角和公式，利用公式解决具体问题.3探索多边形外角和 例 2 如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和六边形的外角和等于多少？师生活动：通过本题提示学生，利用多边形的内角和，可以解决与“角”有关的问题，例如“外角”.从而引出本例题，教师引导学生联系以下几个问题进行思考解答：1.任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？2.五个外角加上它们们分别相邻的五个内角和是多少？3.这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？7 学生联系这些问题，考虑外角和的求法，并求解.设计意图：教师通
17、过设计递进的问题，引导学生从局部到整体来寻找关系，帮助学生找到解决办法.问题 4 如果将例 2 中的六边形换为 n 边形（n 是不小于 3 的任意整数），可以得到同样的结果吗？师生活动：教师总结例 2 的求解过程，主要用到了“1 个外角”和“1 个相邻的内角”的关系，用到了“6 个外角”与“6 个相邻的内角”之和这个整体，再借助整体与“外角和”与“内角和”的关系.学生借助这一思路将 6 进行推广得到 n 边形的外角和是 n 个平角减去多边形的内角和，得到多边形的外角和恒等于 360，与边数的多少没有关系，教师强调这一点与内角和不同，需注意.设计意图：将多边形的外角和类比六边形的外角和的求解过程
18、进行推导，再次让学生体会类比，以及由特殊到一般的解决问题的方法，真正做到学以致用.问题 5 多边形的外角和还可以如何理解呢？师生活动：教师边演示人教数字教材中的动画，边作说明：瓢虫从多边形的一个顶点 A 出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到 A 点，然后转向出发时的方向.在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和.由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360.教师布置任务，其实多边形的外角和还可以有其他的说理方法，请同学们课下结合数字教材中提供的方法进行学习.设计意图：结合人教数字平台的动画资源，让学生直观的感受多边形外角和的其他说明方法，帮助学生开阔思维.通过
19、动画演示培养学生的几何直观，加深对多边形外角和性质的理解.4巩固练习：完成教材练习 1-3.8 师生活动：链接人教数字平台练习 1，选取学生到前面进行作答，借助人教数字平台的即时评价功能，对学生的结果进行评价反馈.练习 2、3 请同学上台进行讲解.设计意图：通过练习，巩固多边形内角和公式.借助人教数字平台的在线答题功能，激发学生参与的热情，利用即时评价功能对学生结果做到及时评价反馈.5反思总结 教师与学生一起回顾本节课内容，并请学生回答以下问题：（1）本节课学习了哪些主要内容?（2）我们是怎样得到多边形内角和公式的?（3）在探究多边形内角和公式的过程中，连接对角线起到什么作用?（4）我们是怎样
20、得到外角和公式的?师生活动：学生思考并归纳本节内容,教师进行总评并完成本节课知识脉络梳理 设计意图：引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获，通过建立知识之间的联系，凸显将复杂图形转化为简单的基本单元的化归思想，强调从特殊到一般的研究问题的方法.通过小结，锻炼学生的语言表达能力,关注不同层次的学生对所学内容的理解和掌握同时教师帮助学生将零散的知识归纳形成体系,构建成学生自己的知识,融入学生已有的知识体系.6布置作业 1.基础达标：教科书习题 11.3 第 2 题，第 3 题，第 5 题.2.能力提升：思考用其他将多边形分割成三角形的方法，并得出多边形内角和公式.思考多边形外角和还有哪些说理方法.五、目标检测设计 1.十边形的内角和为 _度 9 设计意图：巩固多边形内角和公式.2.已知一个多边形的内角和为 1440，则它的边数为_ 设计意图：考查学生多边形内角和公式的逆用.3.（1）一个多边形的内角和是外角和的一半，它是几边形？（2）一个多边形的内角和是外角和的 2 倍，它是几边形？设计意图：考查学生对多边形内角和公及外角和的综合应用.