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1、双曲线及其标准方程测试题及解析（人教 版）2.2 双曲线 2.2.1 双曲线及其标准方程 课时目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题 1双曲线的有关概念(1)双曲线的定义 平面内与两个定点 F1，F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线 平面内与两个定点 F1，F2 的距离的差的绝对值等于|F1F2|时的点的轨迹为 平面内与两个定点 F1，F2 的距离的差的绝对值大于|F1F2|时的点的轨迹 (2)双曲线的焦点和焦距 双曲线定义中的两个定点 F1、F2 叫做 ，两焦点间的距离叫做
2、 2双曲线的标准方程(1)焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程是 ，焦点 F1，F2.(2)焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程是 ，焦点 F1，F2.(3)双曲线中 a、b、c 的关系是 一、选择题 1已知平面上定点 F1、F2 及动点 M，命题甲：|MF1|MF2|2a(a 为常数)，命题乙：M 点轨迹是以F1、F2 为焦点的双曲线，则甲是乙的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件2若 ax2by2b(ab0)，则这个曲线是()A双曲线，焦点在 x 轴上 B.双曲线，焦点在 y 轴上 C.椭圆，焦点在 x 轴上 D.椭 圆，焦 点 在 y 轴 上 3焦点分别
3、为(2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为()Ax2y231B.x23y21 Cy2x231Dx22y221 4双曲线 x2my23m1 的一个焦点为(2,0)，则 m 的值为()A12B1 或 3 C122D212 5一动圆与两圆：x2y21 和 x2y28x120 都外切，则动圆圆心的轨迹为()A抛物线 B圆C双曲线的一支 D椭圆 6.已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F1(5，0)，点 P 位于该双曲线上，线段 PF1 的中点坐标 为(0,2)，则 该 双 曲 线 的 方 程 是()Ax24y21Bx2y241 Cx22y231Dx23y221 题号 123456
4、答案 二、填空题 7.设 F1、F2 是双曲线 x24y21 的两个焦点，点 P 在双曲线上，且 PF1PF20，则|PF1|PF2|.8已知方程 x21ky21k1 表示双曲线，则 k 的取值范围是 9.F1、F2 是双曲线 x29y2161 的两个焦点，P 在双曲线上且满足|PF1|PF2|32，则F1PF2.三、解答题 10.设双曲线与椭圆 x227y2361 有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点 A 的纵坐标为 4，求此双曲线的标准方程 11在ABC 中，B(4,0)、C(4,0)，动点 A 满足sinBsinC12sinA，求动点 A 的轨迹方程 能力提升 12若点 O 和点 F(2
5、，0)分别为双曲线x2a2y21(a0)的中心和左焦点,点 P 为双曲线右支上的任意一点,则 OPFP的取值范围为()A323，)B323，)C74，)D74，)13已知双曲线的一个焦点为 F(7，0)，直线 yx1 与其相交于 M，N 两点，MN 中点的横坐标为23，求双曲线的标准方程 1双曲线的标准方程可以通过待定系数法求得 2和双曲线有关的轨迹问题要按照求轨迹方程的一般步骤来解，也要和双曲线的定义相结合 3直线和双曲线的交点问题可以转化为解方程组(设而不求)，利用韦达定理，弦长公式等解决 2.2 双曲线 22.1 双曲线及其标准方程答案 知识梳理 1(1)|F1F2|以 F1，F2 为端
6、点的两条射线不存在(2)双曲线的焦点双曲线的焦距2(1)x2a2y2b21(a0，b0)(c,0)(c,0)(2)y2a2x2b21(a0，b0)(0，c)(0，c)(3)c2a2b2 作业设计 1B根据双曲线的定义，乙⇒甲，但甲乙，只有当 2a|F1F2|且 a0 时，其轨迹才是双曲线 2B原方程可化为 x2bay21，因为 ab0，所以ba0，所以曲线是焦点在 y 轴上的双曲线，故选 B.3A双曲线的焦点在 x 轴上，设双曲线方程为 x2a2y2b21(a0，b0)由题知 c2，a2b24.又点(2,3)在双曲线上，22a232b21.由解得 a21，b23，所求双曲线的标准方
7、程为 x2y231.4A双曲线的焦点为(2,0)，在 x 轴上且 c2，m3mc24.m12.5C由题意两定圆的圆心坐标为 O1(0,0)，O2(4,0)，设动圆圆心为 O，动圆半径为 r，则|OO1|r1，|OO2|r2，|OO2|OO1|1|O1O2|4，故动圆圆心的轨迹为双曲线的一支 6B设双曲线方程为 x2a2y2b21，因为c5，c2a2b2，所以 b25a2，所以 x2a2y25a21.由于线段 PF1 的中点坐标为(0,2)，则 P 点的坐标为(5，4)代入双曲线方程得5a2165a21，解得 a21 或 a225(舍去)，所以双曲线方程为 x2y241.故选 B.72 解析|P
8、F1|PF2|4，又 PF1PF2，|F1F2|25，|PF1|2|PF2|220，(|PF1|PF2|)2 202|PF1|PF2|16，|PF1|PF2|2.81k1 解析因为方程 x21ky21k1 表示双曲线，所以(1k)(1k)0.所以(k1)(k1)0.所以1k1.990 解析设F1PF2，|PF1|r1，|PF2|r2.在F1PF2 中，由余弦定理，得(2c)2r21r222r1r2cos，cos(r1r2)22r1r24c22r1r23664100640.90.10解方法一设双曲线的标准方程为y2a2x2b21(a0，b0)，由题意知 c23627 9，c3.又点 A 的纵坐标
9、为 4，则横坐标为15，于是有42a2(15)2b21，a2b29，解得 a24，b25.所以双曲线的标准方程为 y24x251.方法二将点 A 的纵坐标代入椭圆方程得A(15，4)，又两焦点分别为 F1(0,3)，F2(0，3)所 以 2a|(150)2(43)2(150)2(43)2|4，即 a2，b2c2a2945，所以双曲线的标准方程为 y24x251.11解设 A 点的坐标为(x，y)，在ABC 中，由正弦定理，得 asinAbsinBcsinC2R，代入 sinBsinC12sinA，得|AC|2R|AB|2R12|BC|2R，又|BC|8，所以|AC|AB|4.因此 A 点的轨迹
10、是以 B、C 为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)且 2a4,2c8，所以 a2，c4，b212.所以 A 点的轨迹方程为 x24y2121(x2)12B 由 c2 得 a214，a23，双曲线方程为 x23y21.设 P(x，y)(x3)，OPFP(x，y)(x2，y)x22xy2 x22xx231 43x22x1(x3)令 g(x)43x22x1(x3)，则 g(x)在3，)上单调递增g(x)ming(3)323.OPFP的取值范围为323，)13解设双曲线的标准方程为 x2a2y2b21，且 c7，则 a2b27.由 MN 中点的横坐标为23 知，中点坐标为23，53.设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由 x21a2y21b21，x22a2y22b21，得 b2(x1x2)(x1x2)a2(y1y2)(y1y2)0.x1x243y1y2103，且 y1y2x1x21，2b25a2.由，求得 a22，b25.所求双曲线的标准方程为 x22y251.