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1、.第一章 小学数学解题方法解题技巧之解行程问题的方法 速度、时间、距离三个数量中的任何两个,求第三个数量的应用题,叫做行程问题.解答行程问题的关键是,首先要确定运动的方向,然后根据速度、时间和路程的关系进展计算.行程问题的根本数量关系是：速度时间=路程 路程速度=时间 路程时间=速度 行程问题常见的类型是：相遇问题,追与问题即同向运动问题,相离问题即相背运动问题.一相遇问题 两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动,随着时间的开展,必然面对面地相遇,这类问题叫做相遇问题.它的特点是两个运动物体共同走完整个路程.小学数学教材中的行程问题,一般是指相遇问题.相遇问题根据数量关系可分成三种类型
2、：求路程,求相遇时间,求速度.它们的根本关系式如下：总路程=甲速+乙速相遇时间 相遇时间=总路程甲速+乙速.另一个速度=甲乙速度和-的一个速度 1求两地间的距离 例 1 两辆汽车同时从甲、乙两地相对开出,一辆汽车每小时行 56 千米,另一辆汽车每小时行 63 千米,经过 4 小时后相遇.甲乙两地相距多少千米？适于五年级程度 解：两辆汽车从同时相对开出到相遇各行 4 小时.一辆汽车的速度乘以它行驶的时间,就是它行驶的路程；另一辆汽车的速度乘以它行驶的时间,就是这辆汽车行驶的路程.两车行驶路程之和,就是两地距离.564=224千米 634=252千米 224+252=476千米 综合算式：564+
3、634=224+252=476千米 答略.例2 两列火车同时从相距480千米的两个城市出发,相向而行,甲车每小时行驶40 千米,乙车每小时行驶 42 千米.5 小时后,两列火车相距多少千米？适于五年级程度 解：此题的答案不能直接求出,先求出两车 5 小时共行多远后,从两地的距离 480千米中,减去两车 5 小时共行的路程,所得就是两车的距离.480-40+425.=480-825=480-410=70千米 答：5 小时后两列火车相距 70 千米.例 3 甲、乙二人分别从 A、B 两地同时相向而行,甲每小时行 5 千米,乙每小时行4 千米.二人第一次相遇后,都继续前进,分别到达 B、A 两地后又
4、立即按原速度返回.从开始走到第二次相遇,共用了 6 小时.A、B 两地相距多少千米？适于五年级程度 解：从开始走到第一次相遇,两人走的路程是一个 AB 之长；而到第二次相遇,两人走的路程总共就是 3 个 AB 之长 图 35-1,这三个 AB 之长是：5+46=54千米 所以,A、B 两地相距的路程是：543=18千米 答略.例 4 两列火车从甲、乙两地同时出发对面开来,第一列火车每小时行驶 60 千米,第二列火车每小时行驶55千米.两车相遇时,第一列火车比第二列火车多行了20千米.求甲、乙两地间的距离.适于五年级程度 解：两车相遇时,两车的路程差是 20 千米.出现路程差的原因是两车行驶的速
5、度不同,第一列火车每小时比第二列火车多行60-55千米.由此可求出两车相遇的时间,进而求出甲、乙两地间的距离.60+552060-55=115205=460千米 答略.*例 5 甲、乙二人同时从 A、B 两地相向而行,甲每小时走 6 千米,乙每小时走 5千米,两个人在距离中点 1.5 千米的地方相遇.求 A、B 两地之间的距离.适于五年级程度 解：由题意可知,当二人相遇时,甲比乙多走了 1.52 千米图 35-2,甲比乙每小时多行6-5千米.由路程差与速度差,可求出相遇时间,进而求出 A、B 两地之间的距离.6+51.526-5=111.521=113=33千米 答略.由两车在离中点 2 千米
6、处相遇可知,甲车比乙车少行：22=4千米 所以,乙车行的路程是：甲车行的路程是：A、B 两站间的距离是：24+20=44千米 同普通客车相遇.甲、乙两城间相距多少千米？适于六年级程度 快车从乙城开出,普通客车与快车相对而行.普通客车每小时行 60 千米,快车每小时行 80 千米,可以求出两车速度之和.又两车相遇时间,可以按速度之和相遇时间,求出两车相对而行的总行程.普通客车已行驶.普通客车与快车速度之和是：60+80=140千米/小时 两车相对而行的总路程是：1404=560千米 两车所行的总路程占全程的比率是：甲、乙两城之间相距为：综合算式：答略.2求各行多少 例 1 两地相距 37.5 千
7、米,甲、乙二人同时从两地出发相向而行,甲每小时走 3.5千米,乙每小时走 4 千米.相遇时甲、乙二人各走了多少千米？适于五年级程度 .解：到甲、乙二人相遇时所用的时间是：37.53.5+4=5小时 甲行的路程是：3.55=17.5千米 乙行的路程是：45=20千米 答略.例 2 甲、乙二人从相距 40 千米的两地同时相对走来,甲每小时走 4 千米,乙每小时走 6 千米.相遇后他们又都走了 1 小时.两人各走了多少千米？适于五年级程度 解：到甲、乙二人相遇所用的时间是：404+6=4小时 由于他们又都走了 1 小时,因此两人都走了：4+1=5小时 甲走的路程是：45=20千米 乙走的路程是：65
8、=30千米 答略.例 3 两列火车分别从甲、乙两个火车站相对开出,第一列火车每小时行 48.65 千米,第二列火车每小时行 47.35 千米.在相遇时第一列火车比第二列火车多行了 5.2千米.到相遇时两列火车各行了多少千米？适于五年级程度 解：两车同时开出,行的路程有一个差,这个差是由于速度不同而形成的.可以根据相遇时间=路程差速度差的关系求出相遇时间,然后再分别求出所行的路程.从出发到相遇所用时间是：5.248.65-47.35=4小时 第一列火车行驶的路程是：48.654=194.6千米 第二列火车行驶的路程是：47.354=189.4千米 答略.*例 4 东、西两车站相距 564 千米,
9、两列火车同时从两站相对开出,经 6 小时相遇.第一列火车比第二列火车每小时快 2 千米.相遇时这两列火车各行了多少千米？适于五年级程度 解：两列火车的速度和是：5646=94千米/小时 第一列火车每小时行：94+22=48千米.第二列火车每小时行：48-2=46千米 相遇时,第一列火车行：486=288千米 第二列火车行：466=276千米 答略.例 1 两个城市之间的路程是 500 千米,一列客车和一列货车同时从两个城市相对开出,客车的平均速度是每小时 55 千米,货车的平均速度是每小时 45 千米.两车开了几小时以后相遇？适于五年级程度 解：两个城市之间的路程是 500 千米,又知客车和货
10、车的速度,可求出两车的速度之和.用两城之间的路程除以两车的速度之和可以求出两车相遇的时间.50055+45=500100=5小时 答略.例 2 两地之间的路程是 420 千米,一列客车和一列货车同时从两个城市 答略.例 3 在一次战役中,敌我双方原来相距62.75 千米.据侦察员报告,敌人已向我处前进了 11 千米.我军随即出发迎击,每小时前进 6.5 千米,敌人每小时前进 5 千米.我军出发几小时后与敌人相遇？适于五年级程度 解：此题已给出总距离是 62.75 千米,由敌人已向我处前进了 11 千米可知实际的总距离减少到62.75-11千米.62.75-116.5+5=4.5小时 答：我军出
11、发 4.5 小时后与敌人相遇.例 4 甲、乙两地相距 200 千米,一列货车由甲地开往乙地要行驶 5 小时；一列客车由乙地开往甲地需要行驶 4 小时.如果两列火车同时从两地相对开出,经过几小时可以相遇？得数保存一位小数适于五年级程度 解：此题用与平常说法不同的方式给出了两车的速度.先分别求出速度再求和,根据时间=路程速度的关系,即可求出相遇时间.2002005+2004 =20040+50=20090 2.2小时 答：两车大约经过 2.2 小时相遇.例 5 在复线铁路上,快车和慢车分别从两个车站开出,相向而行.快车车身长是180 米,速度为每秒钟 9 米；慢车车身长 210 米,车速为每秒钟
12、6 米.从两车头相遇到两车的尾部离开,需要几秒钟？适于五年级程度.解：因为是以两车离开为准计算时间,所以两车经过的路程是两个车身的总长.总长除以两车的速度和,就得到两车从相遇到车尾离开所需要的时间.180+2109+6=39015=26秒 答略.例 1 甲、乙两个车站相距 550 千米,两列火车同时由两站相向开出,5 小时相遇.快车每小时行 60 千米.慢车每小时行多少千米？适于五年级程度 解：先求出速度和,再从速度和中减去快车的速度,便得出慢车每小时行：5505-60=110-60=50千米 答略.例 2 A、B 两个城市相距 380 千米.客车和货车从两个城市同时相对开出,经过 4小时相遇
13、.货车比客车每小时快 5 千米.这两列车每小时各行多少千米？适于五年级程度 解：客车每小时行：3804-52=95-52=45千米.货车每小时行：45+5=50千米 答略.例 3 甲、乙两个城市相距 980 千米,两列火车由两城市同时相对开出,经过 10 小时相遇.快车每小时行 50 千米,比慢车每小时多行多少千米？适于五年级程度 解：两城市的距离除以两车相遇的时间,得到两车的速度和.从两车的速度和中减去快车的速度,得到慢车的速度.再用快车速度减去慢车的速度,即得到题中所求.50-98010-50=50-98-50=50-48=2千米 答略.例 4 甲、乙两地相距 486 千米,快车与慢车同时
14、从甲、乙两地相对开出,经过 6小时相遇.快车与慢车的速度比是 54.求快车和慢车每小时各行多少千米？适于六年级程度 两车的速度和是：4866=81千米/小时 快车每小时行：慢车每小时行：答略.例 5 两辆汽车同时从相距 465 千米的两地相对开出,4.5 小时后两车还相距 120千米.一辆汽车每小时行 37 千米.另一辆汽车每小时行多少千米？适于五年级程度 解：如果两地间的距离减少 120 千米,4.5 小时两车正好相遇.也就是两车 4.5 小时行 465-120=345 千米,345 千米除以 4.5 小时,可以求出两车速度之和.从速度之和减去一辆车的速度,得到另一辆车的速度.答略.例 6
15、甲、乙两人从相距 40 千米的两地相向而行.甲步行,每小时走 5 千米,先出发 0.8 小时.乙骑自行车,骑 2 小时后,两人在某地相遇.乙骑自行车每小时行多少千米？适于五年级程度 解：两人相遇时,甲共走：0.8+2=2.8小时 甲走的路程是：52.8=14千米 乙在 2 小时内行的路程是：40-14=26千米 所以,乙每小时行：262=13千米 综合算式：40-50.8+22=40-52.82.=40-142=262=13千米 答略.例 7 甲、乙二人从相距 50 千米的两地相对而行.甲先出发,每小时步行 5 千米.1小时后乙骑自行车出发,骑了 2 小时,两人相距 11 千米.乙每小时行驶多
16、少千米？适于五年级程度 解：从相距的 50 千米中,去掉甲在 1小时内先走的 5 千米,又去掉相隔的 11 千米,便得到：50-5-11=34千米 这时,原题就改变成两地相隔 34 千米,甲、乙二人分别从两地同时相对而行.甲步行,乙骑自行车,甲每小时走5千米.经过2小时两人相遇.乙每小时行多少千米？由此可知,二人的速度和是：342=17千米/小时 乙每小时行驶的路程是：17-5=12千米 综合算式：50-5-112-5=342-5=17-5.=12千米 答略.二追与问题 追与问题的地点可以一样 如环形跑道上的追与问题,也可以不同,但方向一般是一样的.由于速度不同,就发生快的追与慢的问题.根据速
17、度差、距离差和追与时间三者之间的关系,常用下面的公式：距离差=速度差追与时间 追与时间=距离差速度差 速度差=距离差追与时间 速度差=快速-慢速 解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追与时间三者之中,找出两者,然后运用公式求出第三者来达到解题目的.*例 1 甲、乙二人在同一条路上前后相距 9 千米.他们同时向同一个方向前进.甲在前,以每小时 5 千米的速度步行；乙在后,以每小时 10 千米的速度骑自行车追赶甲.几小时后乙能追上甲？适于高年级程度 解：求乙几小时追上甲,先求乙每小时能追上甲的路程,是：10-5=5千米 再看,相差的路程 9 千米中含有多少个 5 千米,即得到乙几小时
18、追上甲.95=1.8小时 综合算式：.910-5=95=1.8小时 答略.*例 2 甲、乙二人在相距 6 千米的两地,同时同向出发.乙在前,每小时行 5 千米；甲在后,每小时的速度是乙的 1.2 倍.甲几小时才能追上乙？适于高年级程度 解：甲每小时行：51.2=6千米 甲每小时能追上乙：6-5=1千米 相差的路程 6 千米中,含有多少个 1 千米,甲就用几小时追上乙.61=6小时 答：甲 6 小时才能追上乙.*例 3 甲、乙二人围绕一条长 400 米的环形跑道练习长跑.甲每分钟跑 350 米,乙每分钟跑 250 米.二人从起跑线出发,经过多长时间甲能追上乙？适于高年级程度 解：此题的运动路线是
19、环形的.求追上的时间是指快者跑一圈后追上慢者,也就是平时所说的落一圈,这一圈相当于在直线上的 400 米,也就是追与的路程.因此,甲追上乙的时间是：400350-250=400100.=4分钟 答略.*例 4 在解放战争的一次战役中,我军侦察到敌军在我军南面 6千米的某地,正以每小时5.5千米的速度向南逃窜,我军立即以每小时8.5千米的速度追击敌人.在追上敌人后,只用半小时就全歼敌军.从开始追击到全歼敌军,共用了多长时间？适于高年级程度 解：敌我两军行进的速度差是：8.5-5.5=3千米/小时 我军追上敌军用的时间是：63=2小时 从开始追击到全歼敌军,共用的时间是：2+0.5=2.5小时 综
20、合算式：=2.5小时 答略.*例 5 一排解放军从驻地出发去执行任务,每小时行 5 千米.离开驻地 3 千米时,排长命令通讯员骑自行车回驻地取地图.通讯员以每小时 10 千米的速度回到驻地,取了地图立即返回.通讯员从驻地出发,几小时可以追上队伍？适于高年级程度 解：通讯员离开队伍时,队伍已离开驻地 3 千米.通讯员的速度等于队伍的 2 倍105=2,通讯员返回到驻地时,队伍又前进了32千米.这样,通讯员需追与的距离是3+32千米,而速度差是10-5千米/小时.根据距离差速度差=时间可以求出追与的时间.3+3210-5=4.55=0.9小时 答略.三相离问题 相离问题就是两个人或物体向相反方向运
21、动的应用题,也叫做相背运动问题.解相离问题一般遵循两个人或物体出发地之间的距离+速度和时间=两个人或物体之间的距离.例 1 哥哥由家向东到工厂去上班,每分钟走 85 米,弟弟同时由家往西到学校去上学,每分钟走 75 米.几分钟后二人相距 960 米？适于四年级程度 解：二人同时、同地相背而行,只要求出速度和,由时间=距离速度和即可求出所行时间.因此,得：96085+75=960160=6分钟 答略.例 2 甲、乙二人从同一城镇某车站同时出发,相背而行.甲每小时行 6 千米,乙每小时行 7 千米.8 小时后,甲、乙二人相距多少千米？适于四年级程度 解：先求出二人速度之和,再乘以时间就得到二人之间
22、的距离.6+78=138=104千米 答略.*例 3 东、西两镇相距 69 千米.X、王二人同时自两镇之间的某地相背而行,6 小时后二人分别到达东、西两镇.X 每小时比王多行 1.5 千米.二人每小时各行多少千米？出发地距东镇有多少千米？适于高年级程度 解：由二人 6 小时共行 69 千米,可求出他们的速度和是696千米/小时.X每小时比王多行 1.5 千米,这是他们的速度差.从而可以分别求出二人的速度.X 每小时行：696+1.52=11.5+1.52=132=6.5千米 王每小时行：6.5-1.5=5千米 出发地距东镇的距离是：6.56=39千米 答：X 每小时行 6.5 千米,王每小时行 5 千米；出发地到东镇的距离是 39 千米.