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1、第 1页（共 17页）2011 年上海市高考数学试卷（文科）年上海市高考数学试卷（文科）一、填空题（共一、填空题（共 14 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 56 分）分）1 （4 分） （2011上海）若全集 UR，集合 Ax|x1，则UA2 （4 分） （2011上海）计算3 （4 分） （2011上海）若函数 f（x）2x+1 的反函数为 f1（x） ，则 f1（2）4 （4 分） （2011上海）函数 y2sinxcosx 的最大值为5 （4 分） （2011上海）若直线 l 过点（3，4） ，且（1，2）是它的一个法向量，则直线 l 的方程为6 （4 分） （2011上
2、海）不等式的解为7 （4 分） （2011上海）若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为 3，3，2 的三角形，则该圆锥的侧面积为8 （4 分） （2011上海）在相距 2 千米的 A、B 两点处测量目标点 C，若CAB75，CBA60，则 A、C 两点之间的距离为千米9 （4 分） （2011上海） 若变量 x， y 满足条件， 则 zx+y 得最大值为10 （4 分） （2011上海）课题组进行城市空气质量调查，按地域把 24 个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为 4，12，8，若用分层抽样抽取 6 个城市，则丙组中应抽取的城市数为11 （4 分） （2011上海）行列式（a，b，c
3、，d1，1，2）所有可能的值中，最大的是12 （4 分） （2011上海） 在正三角形 ABC 中， D 是 BC 上的点 若 AB3， BD1， 则13 （4 分） （2011上海）随机抽取的 9 位同学中，至少有 2 位同学在同一月份出生的概率为（默认每个月的天数相同，结果精确到 0.001）14 （4 分） （2011上海）设 g（x）是定义在 R 上，以 1 为周期的函数，若函数 f（x）x+g第 2页（共 17页）（x）在区间0，1上的值域为2，5，则 f（x）在区间0，3上的值域为二、选择题（共二、选择题（共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分）15
4、（5 分） （2011上海）下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+） 上单调递减的函数是（）Ayx2Byx1Cyx2D16 （5 分） （2011上海）若 a，bR，且 ab0，则下列不等式中，恒成立的是（）Aa2+b22abBCD17 （5 分） （2011上海）若三角方程 sinx0 与 sin2x0 的解集分别为 E，F，则（）AEFBEFCEFDEF18 （5 分） （2011上海）设 A1，A2，A3，A4是平面上给定的 4 个不同点，则使成立的点 M 的个数为（）A0B1C2D4三、解答题（共三、解答题（共 5 小题，满分小题，满分 74 分）分）19 （12 分） （2011上
5、海）已知复数 z1满足（z12） （1+i）1i（i 为虚数单位） ，复数 z2的虚部为 2，且 z1z2是实数则 z220 （14 分） （2011上海）已知 ABCDA1B1C1D1是底面边长为 1 的正四棱柱，高 AA12，求（1）异面直线 BD 与 AB1所成角的大小（结果用反三角函数值表示） ；（2）四面体 AB1D1C 的体积21 （14 分） （2011上海）已知函数 f（x）a2x+b3x，其中常数 a，b 满足 ab0（1）若 ab0，判断函数 f（x）的单调性；（2）若 ab0，求 f（x+1）f（x）时的 x 的取值范围22 （16 分） （2011上海）已知椭圆 C：1
6、 （常数 m1） ，P 是曲线 C 上的动点，第 3页（共 17页）M 是曲线 C 上的右顶点，定点 A 的坐标为（2，0）（1）若 M 与 A 重合，求曲线 C 的焦点坐标；（2）若 m3，求|PA|的最大值与最小值；（3）若|PA|的最小值为|MA|，求实数 m 的取值范围23 （18 分） （2011上海）已知数列an 和bn 的通项公式分别为 an3n+6，bn2n+7（nN*） 将集合x|xan，nN*x|xbn，nN*中的元素从小到大依次排列，构成数列 c1，c2，c3，cn，（1）求三个最小的数，使它们既是数列an 中的项，又是数列bn中的项；（2）数列 c1，c2，c3，c40
7、中有多少项不是数列bn中的项？请说明理由；（3）求数列cn的前 4n 项和 S4n（nN*） 第 4页（共 17页）2011 年上海市高考数学试卷（文科）年上海市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、填空题（共一、填空题（共 14 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 56 分）分）1 （4 分） （2011上海）若全集 UR，集合 Ax|x1，则UAx|x1【分析】由补集的含义即可写出答案【解答】解：全集 UR，集合 Ax|x1，UAx|x1故答案为：x|x1【点评】本题考查补集的含义2 （4 分） （2011上海）计算2【分析】根据题意，对于，变形可得，分析
8、可得，当 n时，有的极限为 3；进而可得答案【解答】解：对于，变形可得，当 n时，有3；则原式2；故答案为：2【点评】本题考查极限的计算，需要牢记常见的极限的化简方法3 （4 分） （2011上海）若函数 f（x）2x+1 的反函数为 f1（x） ，则 f1（2）【分析】问题可转化为已知 f（x0）2，求 x0的值，解方程即可【解答】解：设 f（x0）2，即 2x0+12，解得故答案为【点评】本题考查反函数的定义，利用对应法则互逆可以避免求解析式，简化运算4 （4 分） （2011上海）函数 y2sinxcosx 的最大值为【分析】利用辅角公式对函数解析式化简整理，利用正弦函数的性质求得其最大
9、值【解答】解：y2sinxcosxsin（x+）故答案为：【点评】本题主要考查了三角函数的最值要求能对辅角公式能熟练应用第 5页（共 17页）5 （4 分） （2011上海）若直线 l 过点（3，4） ，且（1，2）是它的一个法向量，则直线 l 的方程为x+2y110【分析】根据直线的法向量求出方向向量，求出直线的斜率，然后利用点斜式方程求出直线方程【解答】解：直线的法向量是（1，2） ，直线的方向向量为： （2，1） ，所以直线的斜率为：，所以直线的方程为：y4（x3） ，所以直线方程为：x+2y110故答案为：x+2y110【点评】本题是基础题，考查直线的法向量，方向向量以及直线的斜率的求
10、法，考查计算能力6 （4 分） （2011上海）不等式的解为x|x1 或 x0【分析】通过移项、通分；利用两个数的商小于 0 等价于它们的积小于 0；转化为二次不等式，通过解二次不等式求出解集【解答】解：即即 x（x1）0解得 x1 或 x0故答案为x|x1 或 x0【点评】本题考查将分式不等式通过移项、通分转化为整式不等式、考查二次不等式的解法注意不等式的解以解集形式写出7 （4 分） （2011上海）若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为 3，3，2 的三角形，则该圆锥的侧面积为3【分析】根据圆锥的主视图是边长为 3，3，2 的三角形，得到圆锥的母线长是 3，底面直径是 2，代入圆锥的侧面
11、积公式，得到结果第 6页（共 17页）【解答】解：圆锥的主视图是边长为 3，3，2 的三角形，圆锥的母线长是 3，底面直径是 2，圆锥的侧面积是rl133，故答案为：3【点评】本题考查由三视图求表面积和体积，考查圆锥的三视图，这是比较特殊的一个图形，它的主视图与侧视图相同，本题是一个基础题8 （4 分） （2011上海）在相距 2 千米的 A、B 两点处测量目标点 C，若CAB75，CBA60，则 A、C 两点之间的距离为千米【分析】先由 A 点向 BC 作垂线，垂足为 D，设 ACx，利用三角形内角和求得ACB，进而表示出 AD，进而在 RtABD 中，表示出 AB 和 AD 的关系求得 x
12、【解答】解：由 A 点向 BC 作垂线，垂足为 D，设 ACx，CAB75，CBA60，ACB180756045ADx在 RtABD 中，ABsin60 xx（千米）答：A、C 两点之间的距离为千米故答案为：下由正弦定理求解：CAB75，CBA60，ACB180756045又相距 2 千米的 A、B 两点，解得 AC答：A、C 两点之间的距离为千米故答案为：第 7页（共 17页）【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用主要是利用了三角形中 45和 60这两个特殊角，建立方程求得 AC9 （4 分） （2011上海）若变量 x，y 满足条件，则 zx+y 得最大值为【分析】先画出满足约束条件的平
13、面区域，然后求出目标函数 zx+y 取最大值时对应的最优解点的坐标，代入目标函数即可求出答案【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：由图分析，当 x，y时，zx+y 取最大值，故答案为【点评】本题考查的知识点是简单线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域，找出目标函数的最优解点的坐标是解答本题的关键10 （4 分） （2011上海）课题组进行城市空气质量调查，按地域把 24 个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为 4，12，8，若用分层抽样抽取 6 个城市，则丙组中应抽取的城市数为2【分析】根据本市的甲、乙、丙三组的数目，做出全市共有组的数目，因为要抽取 6 个城市作为样本，得到每
14、个个体被抽到的概率，用概率乘以丙组的数目，得到结果第 8页（共 17页）【解答】解：某城市有甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为 4，12，8本市共有城市数 24，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 6 的样本每个个体被抽到的概率是，丙组中对应的城市数 8，则丙组中应抽取的城市数为82，故答案为 2【点评】本题考查分层抽样，是一个基础题，解题的关键是理解在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，做出一种情况的概率，问题可以解决11 （4 分） （2011上海）行列式（a，b，c，d1，1，2）所有可能的值中，最大的是6【分析】先按照行列式的运算法则，直接展开化简得 adbc，再根据条件 a， b，
15、c，d1，1，2进行分析计算，比较可得其最大值【解答】解：，a，b，c，d1，1，2ad 的最大值是：224，bc 的最小值是：122，adbc 的最大值是：6故答案为：6【点评】本题考查二阶行列式的定义、行列式运算法则，是基础题12 （4 分） （2011上海） 在正三角形 ABC 中， D 是 BC 上的点 若 AB3， BD1， 则【分析】根据 AB3，BD1，确定点 D 在正三角形 ABC 中的位置，根据向量加法满足三角形法则，把用表示出来，利用向量的数量积的运算法则和定义式即可求得的值【解答】解：AB3，BD1，D 是 BC 上的三等分点，第 9页（共 17页），9，故答案为【点评】
16、此题是个中档题考查向量的加法和数量积的运算法则和定义，体现了数形结合和转化的思想13 （4 分） （2011上海）随机抽取的 9 位同学中，至少有 2 位同学在同一月份出生的概率为0.985（默认每个月的天数相同，结果精确到 0.001）【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数 129，至少有 2 位同学在同一个月出生的对立事件是没有人生日在同一个月，共有 A129种结果，根据对立事件和古典概型的概率公式得到结果【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数 129，至少有 2 位同学在同一个月出生的对立事件是没有人生日在同一个月， 共有 A129种结果，要求的事件的概率
17、是 110.985，故答案为：0.985【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式，考查对立事件的概率，是一个基础题，也是一个易错题，注意本题的运算不要出错14 （4 分） （2011上海）设 g（x）是定义在 R 上，以 1 为周期的函数，若函数 f（x）x+g（x）在区间0，1上的值域为2，5，则 f（x）在区间0，3上的值域为2，7【分析】先根据 g（x） 是定义在 R 上，以 1 为周期的函数，令 x+1t 进而可求函数在1，2时的值域，再令 x+2t 可求函数在2，3时的值域，最后求出它们的并集即得（x）在区间0，3上的值域【解答】解：g（x）为 R 上周期为 1 的函数，则 g（x）
18、g（x+1）函数 f（x）x+g（x）在区间0，1（正好是一个周期区间长度）的值域是2，5（1）令 x+1t，当 x0，1时，tx+11，2第 10页（共 17页）此时，f（t）t+g（t）（x+1）+g（x+1）（x+1）+g（x）x+g（x）+1所以，在 t1，2时，f（t）1，6（2）同理，令 x+2t，在当 x0，1时，tx+22，3此时，f（t）t+g（t）（x+2）+g（x+2）（x+2）+g（x）x+g（x）+2所以，当 t2，3时，f（t）0，7（3）由已知条件及（1） （2） （3）得到，f（x）在区间0，3上的值域为2，7故答案为：2，7【点评】本题主要考查了函数的值域、函
19、数的周期性考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答二、选择题（共二、选择题（共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分）15 （5 分） （2011上海）下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+） 上单调递减的函数是（）Ayx2Byx1Cyx2D【分析】根据幂函数奇偶性与单调性与指数部分的关系，我们逐一分析四个答案中幂函数的性质，即可得到答案【解答】解：函数 yx2，既是偶函数，在区间（0，+） 上单调递减，故 A 正确；函数 yx1，是奇函数，在区间（0，+） 上单调递减，故 B 错误；函数 yx2，是偶函数，但在区间（0，+） 上单调递增，故 C 错误；函
20、数，是奇函数，在区间（0，+） 上单调递增，故 D 错误；故选：A【点评】本题考查的知识点是函数的单调性的判断与证明，函数奇偶性的判断，其中指数部分也幂函数性质的关系是解答本题的关键16 （5 分） （2011上海）若 a，bR，且 ab0，则下列不等式中，恒成立的是（）Aa2+b22abBCD【分析】利用基本不等式需注意：各数必须是正数不等式 a2+b22ab 的使用条件是 a，bR【解答】解：对于 A；a2+b22ab 所以 A 错误对于 B，C，虽然 ab0，只能说明 a，b 同号，若 a，b 都小于 0 时，所以 B，C 错第 11页（共 17页）ab0故选：D【点评】本题考查利用基本
21、不等式求函数的最值时，必须注意满足的条件：一正、二定、三相等17 （5 分） （2011上海）若三角方程 sinx0 与 sin2x0 的解集分别为 E，F，则（）AEFBEFCEFDEF【分析】利用正弦函数的零点进行转化求解是解决本题的关键，注意整体思想的运用，结合集合的包含关系进行判断验证【解答】解：由题意 Ex|xk，kZ，由 2xk，得出 x，kZ故 Fx|x，kZ，xE，可以得出 xF，反之不成立，故 E 是 F 的真子集，A 符合故选：A【点评】本题考查正弦函数零点的确定，考查集合包含关系的判定，考查学生的整体思想和转化与化归思想，考查学生的推理能力，属于三角方程的基本题型18 （
22、5 分） （2011上海）设 A1，A2，A3，A4是平面上给定的 4 个不同点，则使成立的点 M 的个数为（）A0B1C2D4【分析】根据所给的四个固定的点，和以这四个点为终点的向量的和是一个零向量，根据向量加法法则，知这样的点是一个唯一确定的点【解答】解：根据所给的四个向量的和是一个零向量，则，即，所以当 A1，A2，A3，A4是平面上给定的 4 个不同点确定以后，则也是确定的，所以满足条件的 M 只有一个，故选：B第 12页（共 17页）【点评】本题考查向量的加法及其几何意义，考查向量的和的意义，本题是一个基础题，没有具体的运算，是一个概念题目三、解答题（共三、解答题（共 5 小题，满分
23、小题，满分 74 分）分）19 （12 分） （2011上海）已知复数 z1满足（z12） （1+i）1i（i 为虚数单位） ，复数 z2的虚部为 2，且 z1z2是实数则 z24+2i【分析】由（z12） （1+i）1i，解得 z12i，设 z2a+2i，aR，则 z1z2（2i）（a+2i）（2a+2）+（4a）i，由 z1z2R，能求出 z2【解答】解：（z12） （1+i）1i，z12i，z12i，设 z2a+2i，aR，则 z1z2（2i） （a+2i）（2a+2）+（4a）i，z1z2R，a4，z24+2i故答案为：4+2i【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，是基础题解题时要
24、认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用20 （14 分） （2011上海）已知 ABCDA1B1C1D1是底面边长为 1 的正四棱柱，高 AA12，求（1）异面直线 BD 与 AB1所成角的大小（结果用反三角函数值表示） ；（2）四面体 AB1D1C 的体积【分析】 （1）根据题意知 DC1AB1BDC1就是异面直线 BD 与 AB1所成角，解三角形即可求得结果第 13页（共 17页）（2）VAB1D1CVABCDA1B1C1D1VB1ABCVD1ACDVDA1C1D1VBA1B1C1，而 VABCDA1B1C1D1VB1ABCVD1ACDVDA1C1D1VBA1B1C1易求，即可求得
25、四面体AB1D1C 的体积【解答】解： （1）连接 DC1，BC1，易知 DC1AB1，BDC1就是异面直线 BD 与 AB1所成角，在BDC1中，DC1BC1，BD，cosBDC1，BDC1arccos（2）VAB1D1CVABCDA1B1C1D1VB1ABCVD1ACDVDA1C1D1VBA1B1C1而 VABCDA1B1C1D1SABCDAA1122，VB1ABCVD1ACDVDA1C1D1VBA1B1C1VAB1D1C24【点评】此题是个基础题考查异面直线所成角和棱锥的体积问题，求解方法一般是平移法，转化为平面角问题来解决，和利用割补法求棱锥的体积问题，体现了数形结合和转化的思想21
26、（14 分） （2011上海）已知函数 f（x）a2x+b3x，其中常数 a，b 满足 ab0（1）若 ab0，判断函数 f（x）的单调性；（2）若 ab0，求 f（x+1）f（x）时的 x 的取值范围【分析】 （1）先把 ab0 分为 a0，b0 与 a0，b0 两种情况；然后根据指数函数的单调性即可作出判断（2）把 ab0 分为 a0，b0 与 a0，b0 两种情况；然后由 f（x+1）f（x）化第 14页（共 17页）简得 a2x2b3x，再根据 a 的正负性得或；最后由指数函数的单调性求出 x 的取值范围【解答】解： （1）若 a0，b0，则 ya2x与 yb3x均为增函数，所以 f（
27、x）a2x+b3x在 R 上为增函数；若 a0，b0，则 ya2x与 yb3x均为减函数，所以 f（x）a2x+b3x在 R 上为减函数（2）若 a0，b0，由 f（x+1）f（x）得 a2x+1+b3x+1a2x+b3x，化简得 a2x2b3x，即，解得 x；若 a0，b0，由 f（x+1）f（x）可得，解得 x【点评】本题主要考查指数函数的单调性及分类讨论的方法22 （16 分） （2011上海）已知椭圆 C：1 （常数 m1） ，P 是曲线 C 上的动点，M 是曲线 C 上的右顶点，定点 A 的坐标为（2，0）（1）若 M 与 A 重合，求曲线 C 的焦点坐标；（2）若 m3，求|PA|
28、的最大值与最小值；（3）若|PA|的最小值为|MA|，求实数 m 的取值范围【分析】 （1）根据题意，若 M 与 A 重合，即椭圆的右顶点的坐标，可得参数 a 的值，已知 b1，进而可得答案；（2）根据题意，可得椭圆的方程，变形可得 y21；而|PA|2（x2）2+y2，将 y21代入可得，|PA|24x+5，根据二次函数的性质，又由 x 的范围，分析可得，|PA|2的最大与最小值；进而可得答案；第 15页（共 17页）（3） 设动点 P （x， y） ， 类似与 （2） 的方法， 化简可得|PA|2（x）2+5，且mxm；根据题意，|PA|的最小值为|MA|，即当 xm 时，|PA|取得最小
29、值，根据二次函数的性质，分析可得，m，且 m1；解可得答案【解答】解： （1）根据题意，若 M 与 A 重合，即椭圆的右顶点的坐标为（2，0） ；则 m2；椭圆的焦点在 x 轴上；则 c；则椭圆焦点的坐标为（，0） ， （，0） ；（2）若 m3，则椭圆的方程为+y21；变形可得 y21，|PA|2（x2）2+y2x24x+4+y24x+5；又由3x3，根据二次函数的性质，分析可得，x3 时，|PA|24x+5 取得最大值，且最大值为 25；x时，|PA|24x+5 取得最小值，且最小值为；则|PA|的最大值为 5，|PA|的最小值为；（3）设动点 P（x，y） ，则|PA|2（x2）2+y2
30、x24x+4+y2（x）2+5，且mxm；当 xm 时，|PA|取得最小值，且0，则m，且 m1；解得 1m1+【点评】本题考查椭圆的基本性质，解题时要结合二次函数的性质进行分析，注意换元法的运用即可23 （18 分） （2011上海）已知数列an 和bn 的通项公式分别为 an3n+6，bn2n+7第 16页（共 17页）（nN*） 将集合x|xan，nN*x|xbn，nN*中的元素从小到大依次排列，构成数列 c1，c2，c3，cn，（1）求三个最小的数，使它们既是数列an 中的项，又是数列bn中的项；（2）数列 c1，c2，c3，c40中有多少项不是数列bn中的项？请说明理由；（3）求数列
31、cn的前 4n 项和 S4n（nN*） 【分析】 （1）分别由数列an 和bn 的通项公式分别为 an和 bn列举出各项，即可找出既是数列an 中的项，又是数列bn中的项的三个最小的数；（2）根据题意列举出数列cn的 40 项，找出不是数列bn中的项即可；（3）表示出数列bn中的第 3k2，3k1 及 3k 项，表示出数列an 中的第 2k1，及2k 项，把各项按从小到大的顺序排列，即可得到数列cn的通项公式，并求出数列cn的第 4k3，4k2，4k1 及 4k 项的和，把数列cn的前 4n 项和每四项结合，利用等差数列的前 n 项和的公式即可求出数列cn的前 4n 项和 S4n【解答】解：
32、（1）因为数列an 和bn 的通项公式分别为 an3n+6，bn2n+7，所以数列an的项为：9，12，15，18，21，24，；数列bn 的项为：9，11，13，15，17，19，21，23，则既是数列an 中的项，又是数列bn中的项的三个最小的数为：9，15，21；（2）数列 c1，c2，c3，c40的项分别为：9，11，12，13，15，17，18，19，21，23，24，25，27，29，30，31，33，35，36，37，39，41，42，43，45，47，48，49，51，53，54，55，57，59，60，61，63，65，66，67，则不是数列bn中的项有 12，18，24，3
33、0，36，42，48，54，60，66 共 10 项；（3）b3k22（3k2）+76k+3a2k1，b3k16k+5，a2k6k+6，b3k6k+7，6k+36k+56k+66k+7，cn，kN+，c4k3+c4k2+c4k1+ck24k+21，则 S4n（c1+c2+c3+c4）+（c4n3+c4n2+c4n1+c4n）24+21n12n2+33n【点评】此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用等差数列的前 n 项和的公式化简求值，是一道中档题第 17页（共 17页）声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/6/21 11:01:41 ；用户： 18799180383 ；邮箱：18799180383 ；学号： 21498020