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1、学必求其心得，业必贵于专精 -1-61 垂直关系的判定 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握直线与平面垂直、平面与平面垂直的定义（重点）2 掌握直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理，并能灵活应用判定定理证明直线与平面垂直、平面与平面垂直（重点、难点）3了解二面角、二面角的平面角的概念,会求简单的二面角的大小（重点、易错点）1.通过应用判定定理证明空间中的垂直关系，提升逻辑推理素养 2通过求解二面角的大小培养直观想象数学运算素养.1直线与平面垂直的概念及判定定理（1)定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直（2)画法：通常把表示直线的线段画成和表示
2、平面的平行四边形的横边垂直，如图所示（3）直线与平面垂直的判定定理：文字 语言 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直 学必求其心得，业必贵于专精 -2-图形 语言 符号 语言 若直线a平面，直线b平面,直线la，lb，abA，则l平面 思考 1：若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则此直线与平面什么关系？提示：相交、垂直或在平面内 2二面角(1)二面角的概念：半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半平面 二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱,这两个半平面叫作二面角的面 二面角的记法：
3、以直线AB为棱、半平面,为面的二面角,记作二面角.AB.(2）二面角的平面角：文字 以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直学必求其心得，业必贵于专精 -3-语言 于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角 图形 语言 符号 语言 若l，OA，OB，且OAl,OBl,则AOB为二面角.l。的平面角 取值范围 0180 直二面角 平面角是直角的二面角叫作直二面角 思考 2：二面角的大小，与角的顶点在棱上的位置有关吗？提示：没关系 3平面与平面垂直（1)平面与平面垂直：定义 两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直 画法 把表示直立平面的平行四边形的竖
4、边画成和表示水平平面的平行四边形的横边垂直（如图)学必求其心得，业必贵于专精 -4-记法 （2）平面与平面垂直的判定定理：文字语言 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 符号语言 若直线AB平面,AB平面，则 思考 3：若两个平面垂直，则一个平面内的直线与另一个平面有何位置关系？提示:平行、垂直、斜交 1已知平面及外一直线l,给出下列命题：若l垂直于内两条直线，则l；若l垂直于内所有直线，则l；若l垂直于内任意一条直线,则l；若l垂直于内两条平行直线，则l.其中，正确命题的个数是（）A0 B1 C2 D3 C 根据直线与平面垂直的定义可知,正确，不正确 2空间四边形AB
5、CD中，若ADBC,BDAD，那么有(）学必求其心得，业必贵于专精 -5-A平面ABC平面ADC B平面ABC平面ADB C平面ABC平面DBC D平面ADC平面DBC D ADBC,ADBD,BCBDB,AD平面BCD.又AD平面ADC，平面ADC平面DBC.3如图所示，BCA90，PC平面ABC，则在ABC，PAC的边所在的直线中(1）与PC垂直的直线有_；(2）与AP垂直的直线有_（1)AB，BC，AC(2）BC （1）因为PC平面ABC,AB，AC，BC平面ABC，所以与PC垂直的直线有AB，AC，BC。(2)BCA90,即BCAC，又BCPC，ACPCC，所以BC平面PAC，又AP平
6、面PAC，所以BCAP.4如图，正方体ABCD.A1B1C1D1中，截面C1D1AB与底面ABCD所成二面角C1.AB.C的大小为_ 学必求其心得，业必贵于专精 -6-45 ABBC，ABBC1,C1BC为二面角C1。AB。C的平面角，其大小为 45.线面垂直的判定 【例 1】如图所示，RtABC所在的平面外一点S，SASBSC，点D为斜边AC的中点求证：直线SD平面ABC.证明 SASC，点D为斜边AC的中点，SDAC.连接BD,在 RtABC中，则ADDCBD,ADSBDS，SDBD。又ACBDD，SD平面ABC.1在本例中，若ABBC,其他条件不变，求BD与平面SAC学必求其心得，业必贵
7、于专精 -7-的位置关系 解 ABBC，点D为斜边AC的中点,BDAC。又由本例知SD平面ABC，SDBD.于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线，故BD平面SAC。2将本例改为:已知四棱锥P.ABCD的底面是菱形,且PAPC,PBPD.若O是AC与BD的交点,求证：PO平面ABCD。证明 在PBD中,PBPD,O为BD的中点，POBD。在PAC中，PAPC，O为AC的中点,POAC,又ACBDO,PO平面ABCD.1直线与平面垂直的判定(或证明)常用的方法是线面垂直的判学必求其心得，业必贵于专精 -8-定定理，要注意定理中的两个关键条件：平面内的两条相交直线;都垂直 2要证明线面垂直，先证
8、线线垂直,而证线线垂直，通常又借助线面垂直，它们是相互转化的 面面垂直的判定 【例 2】如图所示，在四面体ABCS中,已知BSC90，BSACSA60，又SASBSC。求证:平面ABC平面SBC。证明 法一:因为BSACSA60，SASBSC，所以ASB和ASC是等边三角形，则有SASBSCABAC，设其值为a，则ABC和SBC为共底边BC的等腰三角形 取BC的中点D，如图所示，连接AD,SD,则ADBC，SDBC，所以ADS为二面角ABC。S的平面角 在 RtBSC中,因为SBSCa，所以SD错误!a，BD错误!错误!a，学必求其心得，业必贵于专精 -9-在 RtABD中,AD错误!a，在A
9、DS中，因为SD2AD2SA2，所以ADS90,即二面角A。BC。S为直二面角,故平面ABC平面SBC.法二：因为SASBSC,且BSACSA60，所以SAABAC，所以点A在平面SBC上的射影为SBC的外心 因为SBC为直角三角形,所以点A在SBC上的射影D为斜边BC的中点，所以AD平面SBC。又因为AD平面ABC,所以平面ABC平面SBC.证明面面垂直的方法：1定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角；2判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直;3性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面。学必求其心得，业必贵于专精
10、 -10-1如图，四棱锥P。ABCD的底面是正方形,PD底面ABCD,点E在棱PB上求证：平面AEC平面PDB。解 ACBD，ACPD,PD,BD为平面PDB内两条相交直线，AC平面PDB。又AC平面AEC，平面AEC平面PDB.二面角 探究问题 1如图所示,在三棱锥S.ABC中，SBC，ABC都是等边三角形，请根据二面角的平面角的定义作出二面角S。BC。A的平面角，并说明理由 提示：取BC的中点O，连接SO，AO,因为ABAC，O是BC的中点,所以AOBC。同理可证SOBC，所以SOA是二面角S。BC。A的平面角 2在上述问题中，若BC1，SA错误!,请计算二面角S。BC.A的大小 提示:在
11、AOB中，AOB90，ABO60，AB1，所学必求其心得，业必贵于专精 -11-以AO1sin 60错误!.同理可求SO32.又SA错误!,所以SOA是等边三角形，所以SOA60,所以二面角S。BCA的大小为 60.【例 3】如图，AB是O的直径，PA垂 直 于O所在平面,C是圆周上不同于A、B的一点，且AB2，PABC1。(1）求证：平面PAC平面PBC；(2）求二面角P。BC。A的大小 解（1）证明:A，B，C在O上，O所在平面可记为平面ABC,PA平面ABC，BC平面ABC，PABC。C在圆周上,且异于A、B两点，AB是O的直径,BCAC.又ACPAA，BC平面PAC.又BC平面PBC，
12、平面PAC平面PBC。学必求其心得，业必贵于专精 -12-（2)由(1）知，BC平面PAC,PC平面PAC，PCBC,又ACBC,PCA为二面角P。BC.A的平面角 在 RtPAC中，PA1,AC3，PAC90，tanPCA错误!，PCA30，所以二面角P.BC.A的大小是 30.1本例条件不变，试求二面角C。PA。B的大小 解 PA平面ABC。PAAC，PAAB,CAB即为二面角C.PA.B的平面角，在 RtACB中,易知AB2，BC1，AC错误!，sinBAC12，BAC30，二面角C。PAB的大小为 30。2本例条件不变,试求二面角APBC的正弦值 解 过A作AEPB于点E,过E作EFP
13、B交PC于点F，连AF，则AEF即为二面角A.PBC的平面角(图略)学必求其心得，业必贵于专精 -13-由例题知，BC平面PAC，又AF平面PAC，AFBC，又PBAE，PBEF，PB平面AEF，AFPB，又BCPBB，AF平面PBC.AFE为直角三角形 在 RtPAC中，PA1，AC3。PC2，AF32，在 RtPAB中，PA1,AB2，PB5,AE错误!。在 RtAFE中，sinAEF错误!错误!错误!.1求二面角大小的关键是先找出或作出平面角,再把平面角放在三角形中,最后利用解三角形得到平面角的大小或三角函数值，其学必求其心得，业必贵于专精 -14-步骤为：作角证明计算 2要在适当位置作
14、出二面角的平面角，就要注意观察二面角两个面的特点，如是否为等腰三角形等 1直线和平面垂直的判定方法:（1）利用线面垂直的定义(2）利用线面垂直的判定定理(3)利用下面两个结论：若ab，a，则b；若，a，则a.2求二面角大小的步骤 简称为“一作二证三求”3平面与平面垂直的判定定理的应用思路（1）本质:通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直面面垂直(2）证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题,进一步转化为处理线线垂直问题来解决 学必求其心得，业必贵于专精 -15-1思考辨析(1）如果一条直线和一个平面内的两条平行直线都垂直,则该直线与此平面垂直 (）（2）一条直线和一个平面内
15、的所有直线垂直，则该直线与该平面垂直 （)(3）一条直线和一个平面内的无数条直线垂直，则该直线与该平面垂直 （)(4)若直线l不垂直于平面,则内不存在直线垂直于直线l.()答案(1）(2）（3)(4）2 对于直线m，n和平面，能得出的一个条件是（）Amn，m,n Bmn，m，n Cmn，n，m Dmn，m，n C n，mn，m，又m，由面面垂直的判定定理，学必求其心得，业必贵于专精 -16-。3 如图所示，在三棱锥P.ABC中，PA平面ABC，BAC90，则二面角B。PA.C的大小为_ 90 PA平面ABC，BA，CA平面ABC，BAPA，CAPA，因此，BAC即为二面角BPA。C的平面角 又BAC90，故二面角B.PA。C的大小为 90.4 如图，在矩形ABCD中，AB错误!,BC2，E为BC的中点，把ABE和CDE沿AE、DE折起,使点B与点C重合于点P。求证:平面PED平面PAD。解 由矩形ABCD知折起前ABBE，所以折起后APPE，同理PDPE，因为PDPAP,所以PE平面PAD，因为PE平面PED，所以平面PED平面PAD。