函数的零点与方程的根.pdf

《函数的零点与方程的根.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《函数的零点与方程的根.pdf（5页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。

1、 环节一 451 函数的零点与方程的根 复习引入 问题 1 我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，所以要判断一元二次方程是否有实数根，除了利用一元二次方程根的判别式，还可以利用二次函数请回忆相关内容，说说借助二次函数的观点，如何判断一元二次方程是否有实数根？答案：从二次函数的观点来看，一元二次方程 ax2bxc0 的实数根就是相应二次函数 yax2bxc 的零点，也就是二次函数 yax2bxc 的图象与 x 轴的公共点的横坐标 课堂探究 问题 2 类比一元二次方程的实数根和相应的二次函数的零点的关系，像 lnx2x60这样没有求根公式的方程，你能用类似的方法研究它的解的情况吗？答案：

2、类比二次函数的零点，也可以考虑函数 ylnx2x6 的零点，通过判断函数 ylnx2x6 的图象与 x 轴是否有公共点，来判断方程 lnx2x60 是否有实数解 问题 3 通过上面的讨论，你能否将这种利用函数观点研究方程解的方法，推广到研究一般方程的解？答案：可以将这种方法推广到研究一般方程的解为此，与二次函数的零点一样，我们有必要给出函数零点的定义 定义：对于一般函数yf(x)，我们把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点（zero point）这样，函数 yf(x)的零点就是方程 f(x)0 的实数解，也就是函数 yf(x)图象与 x 轴的公共点的横坐标 追问 1 在函数零点的定义中

3、，蕴含着哪些等价关系？答案：根据函数零点的定义，可以得到如下的等价关系：方程 f(x)0 有实数解函数 yf(x)有零点函数 yf(x)的图象与 x 轴有公共点 即对于函数 yf(x)的零点，其代数意义就是 f(x)0 的实数解，其几何意义就是函数 yf(x)的图象与 x 轴的公共点 追问 2 函数零点的定义，除了能帮助我们判断方程是否有解，还能为我们探寻方程的解，尤其是对于那些不能用公式求解的方程，提供了哪些思路？答案：求方程 f(x)0 的实数解，就是确定函数 yf(x)的零点所以，对于不能用公式求解的方程 f(x)0 的实数解问题，我们可以把它与相应的函数 yf(x)联系起来，利用函数的

4、图象和性质找出零点，从而得到方程的实数解 追问 3 这种利用函数观点研究方程解的方法，蕴含着怎样的数学思想？答案：这其中蕴含着数形结合、化归与转化、函数与方程结合的数学思想 问题 4 为了探究函数在定义域内的某一区间存在零点的条件，我们借助信息技术，列举了一些存在零点的函数，如图 1 请你观察图中函数在零点附近图象的特征，分析零点附近函数值的变化规律，并尝试概括这一类零点存在的条件 答案：在图，中，零点左侧的图象在 x 轴下方，零点右侧的图象在 x 轴上方相应的函数 f(x)的取值在零点左侧小于 0，在零点右侧大于 0 在图，中，零点左侧的图象在 x 轴上方，零点右侧的图象在 x 轴下方相应的

5、函数 f(x)的取值在零点左侧大于 0，在零点右侧小于 0 追问 1 你能将上面两种情况加以概括，说说它们的共性吗？答案：在包含零点的某一段区间内，函数的图象“穿过”x 轴，零点两侧的函数值符号相反 追问 2 若将函数 yf(x)零点存在的区间记为(a，b)，你能用符号语言表示零点两侧的函数值符号相反吗？答案：f(a)f(b)0 追问 3 如果函数 yf(x)在区间a，b上满足 f(a)f(b)0，是不是一定能得到函数 yf(x)在区间(a，b)内存在零点？为什么？图 1 O O O O O O 答案：不一定，比如 f(x)1x，f(1)1，f(1)1，f(1)f(1)0，但是该函数在区间1，

6、1内没有零点 因为函数的图象是断开的，虽然函数值从负变到正，但图象却没有“穿过”x 轴 追问 4 除了函数 yf(x)在区间a，b上满足 f(a)f(b)0，根据追问 3 的讨论，我们可以追加什么条件就能保证函数 yf(x)在区间a，b内存在零点？答案：函数在给定区间a，b上的图象连续不断 结论：函数零点存在定理：如果函数 yf(x)在区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线，且有 f(a)f(b)0，那么，函数 yf(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在 c(a，b)，使得f(c)0，这个 c 也就是方程 f(x)0 的解 追问 5 从充分条件与必要条件的角度分析，函数零点存在定理的条

7、件与结论之间，应该是什么关系？你能否给出一些具体的例子来说明？答案：函数零点存在定理的条件是：p：函数 yf(x)在区间a，b上的图象连续不断，且 f(a)f(b)0 结论是：q：函数 yf(x)在区间(a，b)内至少有一个零点 因此其逆命题是：如果函数 yf(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，那么函数 yf(x)在区间a，b上的图象连续不断，且 f(a)f(b)0 考虑函数 f(x)1x1，该函数在区间(1，2)内明显有零点 x1，但是因为在 x=0 处函数无定义，所以在区间1，2上的图象不是连续不断的 考虑函数 f(x)x2，该函数在区间(2，2)内明显有零点 x0，但是因为 f(2)

8、4，f(2)4，所以 f(2)f(2)0 所以其逆命题为假，即由函数零点存在定理的结论 q 不能推出其条件 p所以函数零点存在定理的判定条件是充分但不必要条件 追问 6 函数零点存在定理的结论是：函数 yf(x)在区间(a，b)内至少有一个零点这是否说明，如果满足判定条件，那么函数 yf(x)在区间(a，b)内就只有一个零点？请说明理由，或举例说明 答案：函数零点存在定理只能确定零点存在，但不能确定只存在一个零点，更不能确定零点的具体个数例如三次函数 f(x)(x1)(x2)(x3)，在区间0，4上的图象连续不断，且 f(0)f(4)(6)60，但是该函数在区间(0，4)内有三个零点 x1，x

9、2 和 x3零点的具体个数，还要结合函数的单调性等性质对函数做进一步研究 知识应用 例 1 求方程 lnx2x60 的实数解的个数 追问 1 方程与函数的关系，方程解的问题等价于什么问题？答案：可以等价转化为函数 f(x)lnx2x6 的零点是否存在以及零点个数问题 追问 2 零点的存在性判定可以借助函数零点存在定理，该定理的使用需要哪些先决条件？答案：函数图象连续不断和特定区间的端点函数值异号 追问 3 除了用计算工具计算函数值，还有什么办法可以判断函数值的符号？答案：可以仿照比较大小，通过比较函数值与 0 的大小确定 解法一：设函数 f(x)lnx2x6，利用计算工具，列出函数 yf(x)

10、的对应值表如表 1，并画出图象如图 2 表 1 x y 1 4 2 1.306 9 3 1.098 6 4 3.386 3 5 5.609 4 6 7.791 8 7 9.945 9 8 12.079 4 9 14.197 2 一方面，由表 1 和图 2 可知，f(2)0，f(3)0，则 f(2)f(3)0，并且其图象在(0，)内连续由函数零点存在定理可知，函数 f(x)lnx2x6 在区间(2，3)内至少有一个零点 另一方面，对于函数 f(x)lnx2x6，x(0，)，可以先将其转化为两个基本函数g(x)lnx 与 h(x)2x6，由于它们在(0，)内都单调递增，所以函数 f(x)g(x)h

11、(x)在(0，)内是增函数 两方面结合，可以判定它只有一个零点，即相应方程 lnx2x60 只有一个实数解 图 2 解法二：因为 f(2)ln22lne210，f(3)ln30，所以在区间2，3上，有 f(2)f(3)0，由函数零点存在定理可知，函数 f(x)lnx2x6 在区间(2，3)内至少有一个零点 归纳总结 问题 5（1）回顾本节课，说说运用函数零点存在定理时，需要注意些什么？（2）在例 1 中，观察函数 f(x)lnx2x6 的图象，借助计算器，你能进一步缩小函数零点所在的范围吗？答案：（1）运用函数零点存在定理时，需要注意：函数零点存在定理的两个判定条件：在给定区间a，b上的图象连续不断；f(a)f(b)0二者缺一不可 函数零点存在定理的判定条件，是充分但不必要的 也就是说，它的逆命题和否命题，都不一定成立，所以不能用它的逆命题和否命题，做出任何判断和结论 函数零点存在定理只能判定在某一段区间内函数的零点存在，但是零点的个数无法确定要确定零点的个数，还需要结合函数的单调性等性质，对函数进一步研究（2）能进一步缩小范围，但具体的缩小方式以及最终的范围保持开放性