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1、 板块 考试要求 A 级要求 B 级要求 C 级要求 反比例函数 能结合具体问题了解反比例函数的意义；能画出反比例函数的图象；理解反比例函数的性质 会根据已知条件确定反比例函数的解析式；能用反比例函数的知识解决有关问题 能用反比例函数解决某些实际问题 反比例函数的定义：函数kyx(k为常数，0k)叫做反比例函数，其中k叫做比例系数，x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于 0 的一切实数.反比例函数的图像：反比例函数kyx(k为常数，0k)的图像由两条曲线组成，每条曲线随着x的不断增大(或减小)越来越接近坐标轴，反比例函数的图像属于双曲线.反比例函数kyx与kyx(0k)的图像关于x轴
2、对称，也关于y轴对称.反比例函数图像的性质：知识点睛 中考要求 第五讲 一次函数与反比例函数综合 反比例函数kyx(k为常数，0k)的图像是双曲线；当0k 时，函数图像的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当0k 时，函数图像的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y随x的增大而增大.注意：反比例函数kyx(0k)的取值范围是0 x 因此，图象是断开的两条曲线，画图象时，不要把两个分支连接起来 叙述反比例函数的性质时，一定要加上“在每一个象限内”，如当0k 时，双曲线kyx的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，y随
3、x的增大而减小 这是由于0 x，即0 x 或0 x 的缘故 如果笼统地叙述为0k 时，y随x的增大而增大就是错误的 由于反比例函数中自变量x和函数y的值都不能为零，所以图象和x轴、y轴都没有交点，但画图时要体现出图象和坐标轴无限贴近的趋势 在画出的图象上要注明函数的解析式 反比例函数的应用：反比例函数在实际生活和科学领域都有广泛的应用，我们通过对题目的阅读理解，抽象出实际问题中的函数关系，将文字转化为数学语言，再利用反比例函数的思想方法来解决实际问题。1.用反比例函数解决实际问题的方法和步骤（1）审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系；（2）根据常量与变量之间的关系，设出
4、函数的关系式，待定的系数用字母来表示；（3）有题目中的已知条件列出方程，求出待定系数。（4）写出函数关系式，并注意关系式中的变量的取值范围。（5）用函数关系去解决实际问题。2.运用反比例函数模型解实际问题时，要掌握一些基本的模型（1）当体（面）积为定值时，底面积（边长）与高成反比例函数关系。（2）当工程总量为定值时，工作时间与工作效率成反比例函数关系。（3）当力 F 所作的功一定时，力 F 与物体在 F 方向通过的距离 s 成反比例函数关系；（4）杠杆定律：力力臂=定值（5）压强公式：P=FS，其中 p 为压强，F 为压力，S 为受力面积；3.用反比例函数解决实际问题时应注意几个问题：（1）设
5、未知量要恰当.恰当地设未知量可以使运算简单，解题过程简单，计算准确率高，否则将会带来不必要的麻烦。（2）求出函数关系式后，要注意字母（或自变量）的取值范围：一般在实际问题中，自变量的取值范围都是非负的。有的取值范围只能是某一些范围内的数。（3）求出问题的解，既要符合题目中的方程，还要符合问题中的实际意义。重点：本节的重点是反比例函数的概念和性质，特别是反比例函数的性质的描述，注意在描述时候不能直接表示成y随x的增大或减小而增大或减小，一定要强调象限！重、难点 板块一 对交点坐标的考核【例1】（2009 湖北荆门）直线0yax a与双曲线3yx交于1122A xyB xy，、，两点，则 1221
6、43x yx y_【解析】联立直线和双曲线得：3axx，则230ax，123xxa，又1122yaxyax，则122112121243433x yx yax xax xax x 【补充】已知正比例函数与反比例函数图象交点到x轴的距离是 3，到y轴的距离是 4，求它们的解析式【解析】设正比例函数11(0)yk x k，反比例函数为22(0)kykx 由12yk xkyx，得221kxk，要它们有交点，则210kk，即2k、1k应同号，方程组才有实数解 当1k、2k同为正时，两图象的交点分别在第一、三象限内，故交点坐标为(4，3)或(4，3)将其中一个交点(4，3)代人所设两个函数解析式中，求得1
7、34k，212k，34yx和12yx 当1k、2k同为负数时，两图象的交点分别在第二、四象限内，交点坐标为(4，3)或(4，3)将(4，3)代入所设解析式中，得34yx 和12yx 正比例函数解析式为34yx或34yx 反比例函数解析式为12yx或12yx 【例2】（2002 全国数学竞赛辽宁预赛）若一次函数3yxb和反比例函数3byx的图像有两个交点，当b _时，有一个交点的纵坐标为 6.【解析】由题意可得6y，代入3yxb，3byx可得5b.例题精讲【例3】（2009 湖北武汉）如图，直线43yx与双曲线0kyxx交于点A将直线43yx向右平移92个单位后，与双曲线0kyxx交于点B，与x
8、轴交于点C，若2AOBC，则k _【解析】12 CABOyx【例4】一个一次函数的图象与直线59544yx平行，与x轴，y轴分别交于A，B两点，并且通过125，则在线段AB上（包括端点A，B两点），横纵坐标都是整数的点有_个【解析】依题意可求出这个一次函数的解析式为：59544yx，于是可求得190A，9504B，x的取值范围为019x的整数，y的取值范围为：9504y的整数 求线段AB上的整点坐标可转化为方程5194xy在上述条件下的整数解 当19x 时，0y；当15x 时，5y ；当11x 时，10y ；当7x 时，15y ；当3x 时，20y ，故可知线段AB上有 5 个整点 【补充】（
9、20XX 年芜湖市）在平面直角坐标系xoy中，直线yx向上平移 1 个单位长度得到直线l直线l 与反比例函数kyx的图象的一个交点为2A a，则k的值等于 【解析】本题主要考察一次函数和反比例函数的表达式。本题中由直线yx向上平移 1 个单位长度得到直线l的表达式1yx，将A点坐标代入求出1a，再将A的坐标（1，2）代入反比例函数的表达式得出2k。一次函数图像向上平移时ykxb中b的值增加。通过一次函数的表达式求出a再去求k的值。【例5】(06 年北京课改卷)在平面直角坐标系xOy中，直线yx 绕点O顺时针旋转90的到直线l.直线l与反比例函数kyx的图象的一个交点为A(a，3)，试确定反比例
10、函数的解析式.【解析】直线yx 绕点O顺时针旋转90的到直线l:yx，因为点A(a，3)在直线yx上，所以3a，即A(3，3)在kyx的图像上，所以反比例函数的解析式为9yx 【例6】(06 年成都中考题)已知反比例函数kyx(0k)的图像经过点A(3，m)，过点A作AB x轴于点B，且AOB的面积为3.求k和m的值.若一次函数1yax的图象经过点A，并且与x轴相交于点C，求:AOAC的值.CBAxyO【解析】113322AOBSAB BOAB，所以2ABm，2 3k 点A(3，2)，直线1yax过此点，所以313yx，点 C坐标为(3，0)，易得:7:4AOAC 【例7】（2007 四川乐山
11、中考）如图，反比例函数kyx的图像与一次函数ymxb的图像交于(13)A，(1)B n，两点（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图像回答：当x取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值【解析】（1）(1 3)A，在kyx的图像上，3k，3yx 又(1)B n，在3yx的图像上，3n ，即(31)B，313mbmb ，解得：1m，2b，反比例函数的解析式为3yx，一次函数的解析式为2yx.（2）从图像上可知，当3x 或01x时，反比例函数的值大于一次函数的值.BOAyx【补充】（2007 四川资阳）如图，已知4 24AB n，是一次函数ykxb的图象与反比例函数的图象的两个交点.(1)
12、求此反比例函数和一次函数的解析式；(2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围.【解析】(1)点4 2A ，和点4B n，都在反比例函数myx的图象上，244mmn 解得82mn 又由点4 2A ，和点24B，都在一次函数ykxb的图象上，4224kbkb 解得1,2.kb 反比例函数的解析式为8yx，一次函数的解析式为2yx .(2)x 的取值范围是2x 或40 x .【例8】利用图象解一元二次方程230 xx时，我们采用的一种方法是：在平面直角坐标系中画出抛物线2yx和直线3yx ，两图象交点的横坐标就是该方程的解（1）填空：利用图象解一元二次方程230 xx，也可以这
13、样求解：在平面直角坐标系中画出抛物线y 和直线yx，其交点的横坐标就是该方程的解（2）已知函数6yx 的图象（如图 9 所示），利用图象求方程630 xx的近似解（结果保留两个有效数字）【解析】23x 由图象得出方程的近似解为：121.44.4xx，板块二 与其它几何图形的综合考核【例9】(05 年广西中考题)已知一次函数ykxb(0k)的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，且与反比例函数myx(0m)的图象在第一象限交于C点，CD垂直 于x轴，垂足为D.若1OAOBOD，点A、B、D的坐标；求一此函数与反比例函数的解析式.xyOCBAD【解析】A(1，0)、B(0，1)、D(1，0)；1yx；
14、2yx.【例10】如图，P是函数12yx(0 x)图象上一点，直线1yx 交x轴于点A，交y轴于点B，PMOx（图 9）y x O 6yx 3 6 6 3-3-6-6-3（图 9）y x O 6yx 3 6 6 3-3-6-6-3 轴于M，交AB于E，PNOy轴于N，交AB于F.求AF BE的值.EFPNBMAxyO【解析】设点P(x，y)，过点E、F分别作x轴的垂线，易得2AFy，2BEx，21AF BExy.【例11】(06 年天津中考题)反比例函数2kyx和一次函数21yx,其中一次函数图像经过 (a，b)、(1a，bk)两点.求反比例函数的解析式；求出两函数的交点A的坐标.在x轴上是否
15、存在点P，使AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的点P的坐标都求出来;若不存在,请说明理由.【解析】根据题意,得21211babka，两式相减，得2k.所求的反比例函数的解析式是1yx.易知点A的坐标为(1，1).由勾股定理,得22112OA,OA与x轴所夹的角为45.当OA为AOP的腰时,由OAOP,得1P(2，0),2P(2，0);由OAAP,得3P(2，0).当OA为AOP的底时,得4P(1，0).这样的点P有 4 个,分别是(2，0)、(2，0)、(2，0)、(1，0).【例12】（2007 内蒙呼和浩特课改）如图，已知反比例函数12kyx的图象与一次函数2yk xb的图象交于A B
16、，两点，1122AnB，（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）在x轴上是否存在点P，使AOP为等腰三角形？若存在，请你直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由【解析】此题的第二问涉及到分类讨论，要注意讲清分类的标准。（1）点122B，在反比例函数12kyx图象上，AOyx12122k 12k 反比例函数的解析式为1yx 又(1)An，在反比例函数图象上，11n 1n A点坐标为(11)，一次函数2yk xb的图象经过点1(11)22AB，221122kbkb 221kb 一次函数的解析式为21yx（2）存在符合条件的点P 可求出点P的坐标为(2 0)(2 0)(2 0)(1 0)，【例1
17、3】如图，已知Rt ABC的顶点A是一次函数yxm与反比例函数myx的图像在第一象限内的交点，且3AOBS （1）该一次函数与反比例函数的解析式是否能完全确定？如能确定，请写出它们的解析式；如不能确定，请说明理由 （2）如果线段AC的延长线与反比例函数的图像的另一支交于D点，过D作DEx轴于E，那么ODE的面积与AOB的面积的大小关系能否确定？（3）请判断AOD为何特殊三角形，并证明你的结论 【解析】（1）设0B x（，），则00mA xx，其中000 xm，在RtABO中，0mABx，0OBx 则00132ABOmSxx，即6m 所以一次函数的解析式为6yx ；反比例函数的解析式为6yx（2
18、）由66yxyx得2660 xx，解得12315315xx ，315 315315 315AD ，由反比例函数的定义可知，对反比例函数图像上任意一点P x y，有 6yx即6xy 00132DEOSx y，即DEOABOSS（3）由 315 315315 315AD ，可得 4 34 3AOOD，即AODO 由图可知90AOD，AOD为钝角等腰三角形 【补充】如图所示，设反比例函数1yx的两支为12CC、，正三角形PQR三个顶点位于此反比例函数的图象上 求证：PQR、不能都在反比例函数的同一支上 设1P ，-1在2C上，QR、在1C上，求顶点QR、的坐标 RQPC2C1Oxy y=xyxOC1
19、C2PQR 【解析】用反证法.假设正PQR的三顶点PQR、位于反比例函数的同一支上，不妨设为1C，其坐标分别为112233()()()xyxyxy，、，、，不妨设1230 xxx，则一定有1230yyy于是：222222222122313122313()()()()()()PQQRPRxxxxxxyyyyyy 22212231 3212231322222222xx xx xx xyy yy yy y 21232123220 xxxxyyyy 因此222PQQRPR，这说明PQR是钝角三角形，与PQR是正三角形矛盾，故PQR、不能都在反比例函数的同一支上 设QR、的坐标为121211xxxx ，
20、、，则QR的斜率为212112111xxxxx x，此时QR边上的高线的斜率为12x x，高线方程为121(1)yx xx，它必过线段QR的中点，因此QR的中点坐标满足高线方程，于是有：121212111122xxxxx x，此即 121212121120 x xxxx xx x 因为1200 xx，上式方括号中的式子明显大于0，故必有1210 x x，即121x x 于是，Q的坐标为221xx，而221R xx，这说明QR、关于直线yx对称 解法 1：PQPR、所在的直线分别为过P点与yx成30角的相互对称的两条直线，易见其倾角分别为75和15.不妨设PQ的倾斜角为75，则它的方程为1tan
21、751yx，即1231yx 将其代入反比例函数1yx中，解得Q的坐标为23 23，由对称性知R的坐标为23 23，解法 2：根据对称性Q的坐标为111xx，则R的坐标为111xx，距离为1112 xx.而PQ的距离为2112112122xxxx，所以22111221112122224xxxxxx，化简为 21121121260 xxxx，即2111111280 xxxx，所以1114xx或2（舍去）所以123x 或23则QR、两点坐标分别为23 23，23 23，【补充】如图，已知反比例函数12yx的图象和一次函数7ykx的图象都经过点2P m，。求这个一次函数的解析式；如果等腰梯形ABCD的
22、顶点A B，在这个一次函数图象上，顶点C D，在这个反比例函数图象上，两底AD，BC与y轴平行，且A和B的横坐标分别为a和2a，求a的值。FEPDyxOCBA【解析】（1）因为点2P m（，）在函数12yx的图象上，所以6m。又因为函数7ykx图象经过 P（6，2），得672k，所以32k。所以这个一次函数的解析式是 372yx（2）因为点A和B的横坐标分别为a和2a，所以A（372aa，）、B（2a，342a）、C（1222aa，）、D（12aa，）。因为ABCD，所以22221212232()2aa，即121232aa 当121232aa时，化简得2280aa，方程无实解；当121232a
23、a 时，化简得2280aa 解得4,2aa。经检验都是所求的解。【例14】(2006 广安市中考)如图，如果函数yx 与4yx 的图像交于A，B两点，过点A作AC垂直于y轴，垂足为点C，求BOC的面积.CBAxyO【解析】函数yx 与4yx 的交点为(2，2)，(2，2)点A，B的坐标分别为A(2，2)，B(2，2)点C的坐标为(0，2).BOC的面积为11222222OC.【补充】（2007 四川成都中考）如图，一次函数ykxb的图像与反比例函数myx的图像交于(2 1)(1)ABn，两点 （1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；（2）求AOB的面积【解析】（1）点(21)A ，在反比
24、例函数myx的图像上，C(2)12m 反比例函数的表达式为2yx OBAyxyxABOa(3)Bm，x y O(14)A，F 点(1)Bn，也在反比例函数2yx 的图像上，2n ，即(12)B，把点(21)A ，点(12)B，代入一次函数ykxb中，得 212kbkb，解得11kb ，一次函数的表达式为1yx （2）在1yx 中，当0y 时，得1x 直线1yx 与x轴的交点为(10)C ，线段OC将AOB分成AOC和BOC，11131 21 112222AOBAOCBOCSSS 【例15】(全国初中数学联赛题)正比例函数ykx(0k)与反比例函数1yx的图象相交于A、C两点，过A作ABx轴于B
25、，连结BC，若ABC的面积为S，求S【解析】1212S.【例16】（2009 广西玉林）将直线yx向左平移1个单位长度后得到直线a，如图，直线a与反比例函数10yxx的图象相交于A，与x轴相交于B，则22OAOB_【解析】由题意可知直线a的解析式为1yx，则10B ，21OB，设A点坐标1xx，则11xx，即11xx，又22221123OAxxxx，223 12OAOB 【例17】(2007 广东课改)如图，在直角坐标系xOy中，一次函数1yk xb的图像与反比例函数2kyx的图像交于1 43ABm，两点（1）求一次函数的解析式；（2）求AOB的面积【解析】（1）点(14)A，在反比例函数2k
26、yx 的图像上，所以21 44kxy，故有4yx 因为(3)Bm，也在4yx的图象上，所以43m，即点B的坐标为433B，一次函数1yk xb过(14)A，433B，两点，所以114433kbkb，解得143163kb，所以所求一次函数的解析式为41633yx （2）解法一：过点A作x轴的垂线，交BO于点F 因为433B，所以直线BO对应的正比例函数解析式为49yx，当1x 时，49y，即点F的坐标为419F，所以432499AF，所以AOBOAFORFSSS 132132161(3 1)29293，即AOB的面积为163 解法二：过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，A，过点B作x轴的
27、垂线，垂足为B 则AOBOAAOBBOA AAA ABBSSSSS矩形梯形 141141 44(31)1 4323223 163，即AOB的面积为163 CBAOxy解法三：过AB，分别作xy，轴的垂线，垂足分别为EF，由(14)A，433B，得(0 4)E，(3 0)F，设过AB的直线l分别交两坐标轴于CD，两点 由过AB的直线l表达式为41633yx，得(4 0)C，1603D，由AOBCODAODBOCSSSS，得111222AOBSOCODAEODOCBF 142 16311614161423233 【点评】老师在讲解此题的时候，一定得把这几种方法讲透，这样这类型的题目学生在做的时候以
28、后也没有问题，同时此题也是老师很容易出彩的地方 【补充】（2009 四川达州）如图，直线ykxb与反比例函数0kyxx的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为24，点B的横坐标为4 试确定反比例函数的关系式；求AOC的面积 【解析】反比例函数经过点24A ，2 48k ，反比例函数的关系式为8yx 点B的横坐标为4，8824xy ，B点坐标为42，直线ykxb经过点A、点B，4224kbkb ，解得16kb，直线解析式为6yx，C点坐标为60，116 41222AOCASOC y 板块三 在实际问题中的综合应用【例18】(18 届希望杯)某医药研究所开发一种新药，成年人按规定的
29、剂量限用，服药后每毫升血液中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系近似满足如图所示曲线，当每毫升血液中的含药量不少于0.25 毫克时治疗有效，求服药一次治疗疾病有效的时间.【解析】将点(1，4)代入此两个函数解析式得4k，4m.一次函数的解析式为4yt，反比例函数的解析式为4yt.当0.25y 时，4yt中，116t；4yt中，16t.又由函数图像可得，服药一次治疗疾病有效的时间为1151611151616.【补充】（2008 杭州）为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒已知药物释放过程中，室内每立方米空气中含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与
30、t的函数关系为ayt（a为常数）如图所示，据图中提供的信息，解答下列问题：写出从药物释放开始，y与t之间的两个函数关系式及相应的自 变量取值范围；据测定，当空气中每立方米和含药量降低到 0.25 毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？【解析】将点132P，代入函数关系式ayt，解得32a，所以所求反比例函数关系式为3322ytt，将1y 代入32yt，得32t，再将312，代入ykt，得23k，所以所求正比例函数关系式为32yt 解不等式3124t，解得 6t，所以至少需要经过 6 小时后，学生才能进入教室 y=ktyt14321y=mtO
31、P10.53y（毫克）x(小时)Ot(小时)【例19】某商场出售一批进价为 2 元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价 x 元与日销售量 y 之间有如下关系：x（元）3 4 5 6 y（元）20 15 12 10（1）根据表中的数据在平面直角坐标系中描出实数对x y，的对应点；（2）猜测并确定y与x之间的函数关系式，并画出图象；（3）设经营此卡的销售利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，若物价局规定此卡的售价最高不超过 10 元/个，请你求出当日销售单价定为多少元时，才能获得最大日销售利润？【解析】（1）根据表中数据在平面直角坐标系中描出对应点（3，20）（4，15）（5，12）（6
32、，10）。（2）由右图可猜测此函数为反比例函数的一支，设kyx，把点（3，20）代入kyx，得60k。所以60yx。把点（4，15）（5，12）（6，10）代入上式均成立。所以 y 与 x 的函数的关系式为60yx。（3）物价局规定此贺卡的售价最高不超过 10 元/个，即10 x，根据60yx在第一象限随的增大而减小，所以6010y。10y，10606yy，.所以601202260Wxyxxx 当10 x 时，W有最大值。即当日销售单价x定为 10 元时，才能获得最大利润。【例20】（2008 苏州）如图，帆船A和帆船B在太湖湖面上训练，O为湖面上的一个定点，教练船静候于O点训练时要求AB，两
33、船始终关于O点对称以O为原点，建立如图所示的坐标系，x轴，y轴的正方向分别表示正东、正北方向设AB，两船可近似看成在双曲线4yx上运动湖面风平浪静，双帆远影优美训练中当教练船与AB，两船恰好在直线yx上时，三船同时发现湖面上有一遇险的C船，此时教练船测得C船在东南45方向上，A船测得AC与AB的夹角为60，B船也同时测得C船的位置（假设C船位置不再改变，ABC，三船可分别用ABC，三点表示）（1）发现C船时，ABC，三船所在位置的坐标分别为(_ _)(_ _)AB，和(_ _)C，；（2）发现C船，三船立即停止训练，并分别从AOB，三点出发船沿最短路线同时前往救援，设AB，两船的速度相等，教练
34、船与A船的速度之比为3:4，问教练船是否最先赶到？请说明理由 【解析】（1）(2 2)A，；(22)B，；(2 32 3)C，（2）作ADx轴于D，连ACBC，和OC A的坐标为(2 2)，45AOD，2 2AO C在O的东南45方向上，454590AOC AOBO，ACBC又60BAC ABC为正三角形24 2ACBCABAO 34 22 62OC 由条件设：教练船的速度为3m，AB，两船的速度均为 4m 则教练船所用的时间为：2 63m，AB，两船所用的时间均为：4 224mm 2 62433mm，2183mm，2 623mm 教练船没有最先赶到【点评】此题当中在求解OC的长度的时候，题中
35、解析运用了三角函数，但是老师在讲解此题的时候可以从勾股定理入手，根据学生的实际情况而定 【习题1】(20XX 年南通市中考题)直线ykx(0k)与双曲线4yx交于A(1x，1y)，B(2x，2y)两点，求122127x yx y的值.BAxyO【解析】114x y，224x y，又12xx，12yy，原式22222720 x yx y.【习题2】(威海市中考题)如图，点A(m，1m)，B(3m，1m)都在反比例函数kyx的图象上 求m，k的值；如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A，B，M，N 为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN的函数表达式 BAOyx【解析】根据题意可得(1)(3)
36、(1)m mmmk，即2223mmmmk，所以3m，12k.直线MN的函数表达式为223yx.【习题3】(05 年河南中考题)已知一次函数yxm与反比例函数1myx(1m )的图象在第一象限内家庭作业 的交点为P(0 x，3)求0 x的值.求一次函数和反比例函数的解析式.【解析】01x，2yx，3yx.【习题4】（20XX 年济宁市）如图，A和B都与x轴和y轴相切，圆心A和圆心B都在反比例函数1yx的图象上，则图中阴影部分的面积等于 .【解析】由于圆是与坐标轴相切的，且圆的半径相等，即点A B，的横纵坐标相等，又A B，在1yx上，所以1 1A，结合反比例函数是中心对称图形即所求的阴影部分面积
37、为圆的面积。故面积。【习题5】（20XX 年福州）已知,A B C D E，是反比例函数16yx0 x 图象上五个整数点（横、纵坐标均为整数），分别以这些点向横轴或纵轴作垂线段，由垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图 5 所示的五个橄榄形（阴影部分），则这五个橄榄形的面积总和是 （用含 的代数式表示）【解析】1326 ABOxy【备选1】（20XX 年莆田）如图，在x轴的正半轴上依次截取112233445OAA AA AA AA A，过点12345AAAAA、分别作x轴的垂线与反比例函数20yxx的图象相交于点12345PPPPP、，得直角三角形111223334445
38、5OP AAP AA P AA P AA P A2、，并设其面积分别为 12345SSSSS、，则5S的值为 【解析】这是在反比例函数上找规律的问题，在横坐标注意递增的条件下，进而得到12345PPPPP、的坐标，及面积得求。即5S=15 【备选2】(2009宁夏)已知正比例函数1yk x1(0)k 与反比例函数22(0)kykx的图象交于AB、两点，点A的坐标为(21)，（1）求正比例函数、反比例函数的表达式；（2）求点B的坐标【解析】（1）把点(21)A，分别代入1yk x与2kyx得 112k，22k 正比例函数、反比例函数的表达式为：122yxyx，（2）由方程组122yxyx得112
39、1xy ，2221xy B点坐标是(2,1)月测备选 y x O P1 P2 P3 P4 P5 A1 A2 A3 A4 A5 2yx【备选3】（20XX 年荆州市）如图，一次函数122yx的图象分别交x轴、y轴于A B P，为AB上一点且PC为AOB的中位线，PC的延长线交反比例函数0kykx的图象于Q，32OQCS，则k的值和Q点的坐标分别为 _.【解析】利用一次函数的性质求解A B，点的坐标，进而得到P的坐标根据题意Q点的坐标就易得了，所以3k，332Q，【备选4】（2007 浙江宁波）如图，是一次函数ykxb与反比例函数2yx的图像，则关于x的方程2kxbx的解为()(A)1212xx，
40、(B)1221xx ，(C)1212xx，(D)1221xx，【解析】对数形结合的充分考察，利用图形很快的得出结论：即为交点的横坐标：1212xx，故选 C x y O A P C Q B 【备选5】(20XX 年聊城市)已知一次函数与反比例函数的图象交于点P(3，m)，Q(2，3)求这两个函数的函数关系式；在直角坐标系中，画出这两个函数的大致图象；x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？x为何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？【解析】设两个函数分别为ykxb和nyx.根据3322(3)3mxbxbnmn ，得到6211nmkb ，即1yx 和6yx.图略.当3x 或02x时一次函数的值大于反比例函数的值；当30 x 或2x 时一次函数的值小于反比例函数的值.