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1、理科数学 海淀区 高三第一次模拟考试 理科数学 考试时间：_分钟 题型 单选题 填空题 简答题 总分 得分 单选题（本大题共 8 小题，每小题_分，共_分。）1.设为虚数单位，则（）A.B.C.D.2.已知集合，则 （）A.B.C.D.3.下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 （）A.B.C.D.4.执行如图所示的程序框图，输出的结果是 ()A.15 B.21 C.24 D.35 5.已知向量，其中.则“”是“”成立的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 6.直线：（为参数）与圆：（为参数）的位置关系是 ()A.相离 B.相切 C.相交
2、且过圆心 D.相交但不过圆心 7.在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）表示的区域面积等于，则的值为 ()A.B.C.D.8.如图，已知平面=，.是直线上的两点，是平面内的两点，且，.是平面上的一动点，且有，则四棱锥体积的最大值是 （）A.48 B.C.D.填空题（本大题共 6 小题，每小题_分，共_分。）9.的展开式中的系数为（用数字作答).10.抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为 11.已知某几何体的三视图如图,正（主）视图中的弧线是半圆，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是（单位:）.12.已知函数 则的最小值为_ 13.某慢性疾病患者，因病到医院就医，医生给
3、他开了处方药（片剂),要求此患者每天早、晚间隔小时各服一次药，每次一片，每片毫克假设该患者的肾脏每小时从体内大约排出这种药在其体内残留量的，并且医生认为这种药在体内的残留量不超过毫克时无明显副作用.若该患者第一天上午点第一次服药，则第二天上午点服完药时，药在其体内的残留量是毫克，若该患者坚持长期服用此药明显副作用（此空填“有”或“无”）.14.设是空间中给定的个不同的点，则使成立的点的个数有 个.简答题（综合题）（本大题共 6 小题，每小题_分，共_分。）15.已知函数，.（）求函数的最大值；（）若，求函数的单调递增区间.16.在某班级举行的“元旦联欢会”有奖答题活动中，主持人准备了两个问题，
4、规定：被抽签抽到的答题同学，答对问题可获得分，答对问题可获得 200 分，答题结果相互独立互不影响，先回答哪个问题由答题同学自主决定；但只有第一个问题答对才能答第二个问题，否则终止答题.答题终止后，获得的总分决定获奖的等次.若甲是被抽到的答题同学，且假设甲答对问题的概率分别为 .（）记甲先回答问题再回答问题得分为随机变量，求的分布列和数学期望；（）你觉得应先回答哪个问题才能使甲的得分期望更高？请说明理由.17.如图，在四棱锥中，等边所在的平面与正方形所在的平面互相垂直,为的中点，为的中点，且 （）求证：平面；（）求二面角的余弦值；（）在线段上是否存在点，使线段与所在平面成角.若存在，求出的长,
5、若不存在，请说明理由.18.已知函数.（）求曲线在点处的切线方程；（）设，若函数在上(这里）恰有两个不同的零点,求实数的取值范围.19.已知椭圆的离心率，且点在椭圆上.（）求椭圆的方程；()直线与椭圆交于、两点，且线段的垂直平分线经过点.求（为坐标原点)面积的最大值.20.在数列中，其中，.（）当时，求的值；（）是否存在实数，使构成公差不为 0 的等差数列？证明你的结论；（）当时，证明：存在，使得.答案 单选题 1.C 2.B 3.B 4.C 5.A 6.D 7.B 8.A 填空题 9.20 10.11.12.1,0 13.350,无 14.1 简答题 15.见解析 16.见解析 17.见解析
6、 18.见解析 19.见解析 20.见解析 解析 单选题 1.2.由题意可知，所以集合 A 和集合 B 的交集为 3.根据函数的性质可以知道，A、B 为增函数，B、C 为奇函数，所以选 B 4.T=3,S=3,i=2,不满足判断框中的条件；T=5,S=8,i=3,不满足判断框中的条件；T=7,S=15,i=4,不满足判断框中的条件；T=9,S=24,i=5,满足判断框中的条件；输出 S,输出结果为 35，所以选 C 5.此题中向量垂直的充分必要条件是，,所以由前面可以推出后面，但是由后面推不出来前面，所以是充分而不必要条件 6.圆 C 的圆心坐标到直线的距离小于半径且不等于半径，所以圆与直线的
7、位置关系是相交但不过圆心。7.由题可知，A(2,2a+1),B(1,a+1),，D(2，0)所以，所以 8.由题意知：三角形 PAD，三角形 PBC 是直角三角形，有，所以三角形 PAD 相似于三角形PBC，因为 DA=4，CB=8，所以 PB=2OA.作 PM 垂直于 AB 于 M,令 AM=t.则即为四棱柱的高，所以，所以最小值为 48 填空题 9.该二次项展开为，即，展开式中的系数，可令，所以，所以的系数为，所以选 20。10.由题意可知，得到抛物线准线与双曲线的三个交点的坐标分别为：A(-2,0)，B(2，)，C（2，-），所以所围成的三角形的面积为 11.三视图复原几何体是一个圆柱的
8、一半，半径为 1，高为 2，所以其几何体的面积为圆柱的表面积的一半为与正方形的面积为 4，所以几何体的表面积为。12.将代入到函数中，得到，所以，因为两个分段函数的函数值都是大于 0 的，所以函数的最小值为 0。13.设 该 病 人 第n次 服 药 后，药 在 体 内 的 残 留 量 为an毫 克，所 以，由，所 以 是 一 个 等 比 数 列，所 以，所以 14.设，因为，因此存在唯一的一个点 M,使结论成立 简答题 15.（）由已知 当 ，即，时，（)当时，递增 即，令，且注意到 函数的递增区间为 16.（）的可能取值为.，分布列为：.（）设先回答问题，再回答问题得分为随机变量，则的可能取
9、值为.，分布列为：.应先回答所得分的期望值较高.17.（）是等边三角形，为的中点,平面平面，是交线，平面 平面.（）取的中点，底面是正方形，两两垂直.分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，平面的法向量即为平面的法向量.由图形可知所求二面角为锐角，()方法 1：设在线段上存在点，使线段与所在平面成角，平面的法向量为，解得，适合 在线段上存在点，当线段时，与所在平面成角.方法 2：由（）知平面，,平面.设在线段上存在点 使线段与所在平面成角，连结，由线面成角定义知：即为与所在平面所成的角,当线段时，与所在平面成角.18.（）函数定义域为，又，所求切线方程为，即（）函数在上恰有两个不同的零点，等价于在上恰有两个不同的实根，等价于在上恰有两个不同的实根，令则 当时，在递减；当时，在递增.故，又.，即 19.（）由已知 ，点在椭圆上，解得.所求椭圆方程为()设，的垂直平分线过点,的斜率存在.当直线的斜率时，当且仅当 时，当直线的斜率时，设.消去得：由.，的中点为 由直线的垂直关系有，化简得 由得 又到直线 的距离为，时，.由，解得；即时，；综上：；20.（），.（）成等差数列，即，即.，.将，代入上式，解得.经检验，此时的公差不为 0.存在，使构成公差不为 0 的等差数列.（）,又，令.由，将上述不等式相加，得，即.取正整数，就有.