三角函数的图像和性质.pdf

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1、【课题】5.6三角函数的图像和性质【教学目标】知识目标：(1)理解正弦函数的图像和性质；(2)理解用“五点法”画正弦函数的简图的方法；(3)了解余弦函数的图像和性质 能力目标：(1)认识周期现象，以正弦函数、余弦函数为载体，理解周期函数；(2)会用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图；(3)通过对照学习研究，使学生体验类比的方法，从而培养数学思维能力【教学重点】（1）正弦函数的图像及性质；（2）用“五点法”作出函数 y=sinx 在0,2上的简图【教学难点】周期性的理解【教学设计】（1）结合生活实例，认识周期现象，介绍周期函数；（2）利用诱导公式，认识正弦函数的周期；（3）利用“描点法”及“

2、周期性”作出正弦函数图像；（4）观察图像认识有界函数，认识正弦函数的性质；（5）观察类比得到余弦函数的性质【教学备品】课件，实物投影仪，三角板，常规教具【课时安排】2 课时(90 分钟)【教学过程】教 学 过 程 教师 行为 学生 行为 教学 意图 时间*揭示课题 5.6 三角函数的图像和性质*创设情景 兴趣导入 问题 介绍 介绍 了解 利用 问题 引起 学生 教 学 过 程 教师 行为 学生 行为 教学 意图 时间 观察钟表，如果当前的时间是 2 点，那么时针走过 12 个小时后，显示的时间是多少呢？再经过 12 个小时后，显示的时间是多少呢？解决 每间隔 12 小时，当前时间 2 点重复出

3、现 推广 类似这样的周期现象还有哪些？质疑 提问 引导 思考 领会 的好 奇心 引导 学生 思考 5*动脑思考 探索新知 概念 对于函数()yf x，如果存在一个不为零的常数T，当x取定 义 域D内 的 每 一 个 值 时,都 有xTD,并 且 等 式()()f xTf x成立，那么，函数()yf x叫做周期函数，常数T叫做这个函数的一个周期 由于正弦函数的定义域是实数集R，对R，恒有2()kkRZ，并且sin(2)=sin()kkZ，因此正弦函数是周期函数，并且 2，4，6，及2，4，都是它的周期 通常把周期中最小的正数叫做最小正周期，简称周期，仍用T表示 今后我们所研究的函数周期，都是指最

4、小正周期 因此，正弦函数的周期是2 讲解 引导 分析 说明 强调 思考 理解 领会 记忆 周期 性比 较抽 象注 重引 导学 生不 断用 实例 理解 领悟 10*构建问题 探寻解决 说明 由周期性的定义可知,在长度为2的区间（如0,2，2,0,2,4）上，正弦函数的图像相同，可以通过平移0,2上的图像得到 因此，重点研究正弦函数在一个周期内，即在0,2上的图像 问题 用“描点法”作函数xysin在0,2上的图像 解决 介绍 强调 质疑 了解 认知 思考 渗透 化繁 为简 的思 想和 方法 教 学 过 程 教师 行为 学生 行为 教学 意图 时间 把区间0,2分成12等份，并且分别求得函数xys

5、in在各分点及区间端点的函数值，列表如下：（见教材）以表中的yx,值为坐标，描出点(,)x y，用光滑曲线依次联结各点，得到sin0,2yx在上的图像（见教材）推广 将函数sinyx在0,2上的图像向左或向右平移2，4，就得到sin,yx 在（-）上的图像，这个图像叫做正弦曲线（见教材）分析 引导 演示 汇总 领会 理解 建立 描点 作图 步骤 20*动脑思考 探索新知 概念 正弦曲线夹在两条直线1y 和1y 之间，即对任意的角x，都有sin1x成立，函数的这种性质叫做有界性 一般地，设函数)(xfy 在区间),(ba上有定义，如果存在一个正数 M，对任意的),(bax都有()f xM，那么函

6、数)(xfy 叫做区间),(ba内的有界函数 如果这样的 M 不存在，函数)(xfy 叫做区间),(ba上的无界函数 显然，正弦函数是 R 内的有界函数 归纳 正弦函数xysin的定义域是实数集R 具有下面的性质：（1）是 R 内 的 有 界 函 数，其 值 域 为 1,1 当2()2xkkZ时,1maxy；当2()xkk Z时,1miny（2）是周期为2的周期函数（3）是奇函数（4）在每一个区间(2,222kk(kZ)上都是增函数,其 函 数 值 由 1增 大 到1；在 每 一 个 区 间3(2,222kk(kZ)上都是减函数，其函数值由 1 减小 讲解 说明 引导 分析 归纳 强调 思考

7、理解 领会 理解 记忆 充分 利用 图像 讲解 分析 函数 性质 体会 数形 结合 数学 思想 的应 用 教 学 过 程 教师 行为 学生 行为 教学 意图 时间 到1 30*动脑思考 探索新知 观察发现，正弦函数xysin在0,2上的图像中有五个关键点：(0,0),12,0,3,12,2,0 描出这五个点后，正弦函数xysin,0,2在上的图像的形状就基本上确定了因此，在精确度要求不高时，经常首先描出这关键的五个点，然后用光滑的曲线把它们联结起来，从而得到正弦函数在0,2上的简图这种作图方法叫做“五点法”质疑 引领 总结 观察 思考 体会 五点 可以 教给 学生 自我 发现 总结 35*巩固

8、知识 典型例题 例 1 利用“五点法”作函数xysin1在0,2上的图像 分析 xysin图像中的五个关键点的横坐标分别是 0，2，2，这里要求出xysin1在五个相应的函数值，从而得到五个点的坐标，最后用光滑的曲线联结这五个点，得到图像 解 列表 x 0 2 32 2 xsin 0 1 0 1 0 xysin1 1 2 1 0 1 以表5-6中每组对应的x,y值为坐标，描出点),(yx，用光滑的曲线 顺 次 联 结 各 点,得 到 函 数xysin1在0,2上的图像 例 2 已知sin4xa,求a的取值范围 解 因为xsin1，所以4a 1，即 说明 讲解 引领 质疑 分析 归纳 观察 思考

9、 主动 求解 理解 讨论 求解 安排 与知 识点 对应 例题 巩固 新知 注重 画图 时对 细节 的强 调和 引领 不等 式的 求解 过程 教 学 过 程 教师 行为 学生 行为 教学 意图 时间 141a，解得 35a 故a的取值范围是3,5 例 3 求使函数sin2yx取得最大值的x的集合，并指出最大值是多少 分析 将2x看作正弦函数中的自变量，因此需要进行变量替换 解 设xu2，则使函数uysin取得最大值 1 的集合是 2,2u ukkZ，由 22 2xuk,得 4xk 故所求集合为,4x xkkZ，函数sin2yx的最大值是1 强调 启发 引导 讲解 思考 领会 明确 理解 可以 教

10、给 学生 独立 完成 引导 学生 体会 换元 数学 方法 思想 50*运用知识 强化练习 教材练习 5.6.1 1利用“五点法”作函数xysin在0,2上的图像 2利用“五点法”作函数xysin2在0,2上的图像 3已知 sin3a，求a的取值范围 4 求使函数sin4yx取得最大值的x的集合，并指出最大值是多少?提问 巡视 指导 动手 求解 交流 关注 学生 知识 掌握 情况 55*构建问题 探寻解决 余 弦 函 数 的 定 义 域 是R 由 于 对xR恒 有2()xkkRZ并且cos(2)xkxcos，可知余弦函数是周期函数，其周期是2 问题 用“描点法”作出余弦函数xycos在0,2上的

11、图像 解决 介绍 强调 质疑 了解 认知 思考 渗透 化繁 为简 的思 想和 方法 教 学 过 程 教师 行为 学生 行为 教学 意图 时间 把区间0,2分成 12 等份，并且分别求得函数xycos在各分点及区间端点的函数值，列表（见教材）以表中的yx,值为坐标，描出点(,)x y，用光滑曲线顺次联结各点，得到函数cos0,2yx在上的图像（见教材）推广 将函数cos0,2yx在上的图像向左或向右平移2，4，,就得到余弦函数cos,yx 在（-）上的图像（见教材）这个图像叫做余弦曲线 分析 引导 演示 总结 领会 主动 求解 理解 注意 图像 细节 处理 65*动脑思考 探索新知 归纳 余弦函

12、数cos()yx xR的定义域是实数集 R，余弦函数有如下性质：是有界函数，其值域为1,1当2()xkkZ时,1maxy；当(21)()xkkZ时,min1y 是周期为2的函数 是偶函数 在区间(21),2)kk()kZ内是增函数，函数值从1增加到1；在区间(2,(21)kk()kZ内是减函数，函数值从1减少到1 讲解 引导 分析 归纳 强调 思考 理解 领会 记忆 充分 利用 图像 讲解 分析 函数 性质 类比 正弦 函数 70*巩固知识 典型例题 例 4 用“五点法”作出函数xycos在0,2上的图像 分析 cosyx图像中的五个关键点的横坐标分别是 0，2，2，这里要求出xycos在这五

13、个关键点上的相应函数值，从而得到五个点的坐标，最后用光滑的曲线联结这五个点，得到图像 解 列表 x 0 2 32 2 质疑 说明 引领 讲解 观察 思考 主动 求解 强调 五点 的特 点 注意 作图 的步 教 学 过 程 教师 行为 学生 行为 教学 意图 时间 xcos 1 0 1 0 1 xycos 1 0 1 0 1 以表中的yx,值为坐标，描出点(,)x y，然后用光滑的曲线顺次联结各点，得到函数xycos0,2在上的图像 汇总 总结 理解 领悟 骤和 方法 75*运用知识 强化练习 教材练习5.6.2 用“五点作图法”作出函数xycos1在 0,2上的图像 提问 巡视 指导 动手 求解 交流 纠错 答疑 80*归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？*自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？引导 提问 回忆 反思 交流 培养 学生 总结 反思 学习 过程 能力 85*继续探索 活动探究(1)读书部分：教材章节 5.6；(2)书面作业：学习与训练习题 5.6；(3)实践调查：探究其他作图的方法 说明 记录 90