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1、第一节 三角函数的图像和性质 一、知识梳理 三角函数 xysin xycos xytan 定义域 值域 最小正周期 奇偶性 单调性 对称点 对称轴 最值点 2.函数)sin(xAy的图像与性质：(1)函数)sin(xAy和)cos(xAy的周期都是 T=_(2)函数)tan(xAy和)cot(xAy的周期都是 T=_(3)五点法作)sin(xAy的简图，设Xx，X取_来求相应x 的值以及对应的 y值再描点作图。(4)关于平移伸缩变换可具体参考函数平移伸缩变换，提倡先平移后伸缩。切记每一个变换总是对字母 x而言，即图像变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。二、基础自测 1.(2011
2、 大纲全国卷理，5)设函数f(x)cosx(0)，将yf(x)的图像向右平移3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于()A.13 B3 C6 D9 答案:C 2、(理)函数y|sinx|的一个单调增区间是()A.4，4 B.4，34 C.，32 D.32，2 答案:C 3已知6x3，cosxm1m1，则m的取值范围是()Am1 B33 D3m74 3或m1 答案:C 4已知函数 ytanx在2，2内是减函数，则()A01 B 10 C1 D1 答案:B 5(2012湖洲中学月考)已知函数f(x)Acos(x)的图像如下图所示，f223，则 f(0)_.答案:2/3 6sin1，s
3、in2，sin3的大小关系为 _ 答案:sin3 sin10，即 2cosx 1cosx 106x6，也即 cosx 126x6.解得 32k x32k kZ6x6 (*)取k 1,0,1，可分别得到 x6，53或x3，3或x53，6.即所求的定义域为6，533，353，6.(2)要使函数有意义，只要 2log12 x0tanx0 即 0 x4k xk2kZ 即0 x0)在区间 0，3上单调递增，在区间3，2上单调递减，则 ()A3 B2 C.32 D.23 答案 C 解析 本题主要考查正弦型函数ysinx的单调性 依题意ysinx的周期T4343，又T2，243，32.故选C(亦利用ysin
4、x的单调区间来求解)3对于函数 f(x)2sinxcosx，下列选项中正确的是()Af(x)在(4，2)上是递增的 Bf(x)的图像关于原点对称 Cf(x)的最小正周期为 2 Df(x)的最大值为 2 答案 B 解析 本题考查三角函数的性质f(x)2sinxcosx sin2x，周期为，最大值为 1，故C、D错；f(x)sin(2x)2sinx，为奇函数，其图像关于原点对称，B 正确；函数的递增区间为k4，k4，(kZ)排除A.4函数ysin2x acos2x的图像关于直线 x8对称，则 a的值为()A.2 B 2 C1 D 1 答案 D 解析 解法1：由ysin2x acos2x可联想到形如
5、 yAsin(x)的函数又知其对称轴为x8，故此直线必经过函数图像的波峰或波谷从而将x8代入原式，可使函数取最大值或最小值 即2222a a21，a 1.解法2：由于函数图像关于直线x8对称 f(0)f(4)，a 1，故选D.5已知函数f(x)3sinxR图像上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好都在圆x2y2R2上，则f(x)的最小正周期为()A1 B2 C3 D4 答案 D 解析 f(x)的周期T2R2R，f(x)的最大值是3，结合图形分析知 R 3，则2R2 33，只有2R4这一种可能，故选 D.6已知函数 f(x)sin(2x )为实数，若 f(x)|f(6)|对xR 恒成立，且|f(
6、2)|f()，则f(x)的单调递增区间是()Ak3，k6(kZ)Bk，k2(kZ)Ck6，k23(kZ)Dk2，k(kZ)答案 C 解析 本题主要考查正弦函数的有界性以及正弦函数的单调性 若f(x)|f(6)|对xR恒成立，则|f(6)|sin(3)|1，所以3 k2，kZ，k6，kZ，由f(2)f()，(kZ)，可知sin()sin(2 )即sin(2)解析 (1)210182，ysinx在2，2上是增函数，sin10sin10.(2)cos235cos235cos435cos35，cos174cos174cos44cos4.0435cos35，即cos174cos235，即cos235co
7、s174.8函数f(x)sinx2|sinx|，x0,2的图像与直线 yk有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是 _ 答案 (1,3)解析 f(x)sinx2|sinx|3sinx，0 x，sinx，x2.在同一坐标系中，作出函数f(x)与yk的图像可知 1k0，|0，即 2sinx40，从而得2kx42k(kZ)函数f(x)的定义域为 x|2k4x2k 54，kZ.0sinx41，0sinx cosx 2，即有 log12 2log12(sinx cosx)故函数f(x)的值域是12，.(2)sinxcosx 2sinx4在 f(x)的定义域上的单调递增区间为2k4，2k34(kZ)，单调递减区间为2k34，2k54(kZ)f(x)的单调递增区间是2k34，2k54(kZ)；单调递减区间是2k4，2k34(kZ)(3)f(x)的定义域在数轴上对应的点关于原点不对称，函数f(x)是非奇非偶函数(4)f(x2)log12 sin(x 2)cos(x 2)log12 (sinx cosx)f(x)，函数f(x)的最小正周期 T2.点评 本题综合考查了三角函数的性质，解题的关键是把 sinxcosx化为Asin(x)的形式