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1、 2021 量子力学考研上海交大量子力学与电磁学考研真题 1 量子力学考研真题精解精析 1 当前冷原子物理研究非常活跃，在实验中，粒子常常是被束缚在谐振子势中，因此其哈密顿量为。假设粒子间有相互作用，其中分别代表粒子 1 和粒子 2 的自旋，参数 J0。（1）如果把两个自旋 1/2 的全同粒子放在上述势阱中，试写出基态能量和基态波函数；（2）如果把两个自旋 1 的全同粒子放在上述势阱中，试写出基态能量和基态波函数。（注意：参数在不同范围内，情况会不同）浙江大学 2014 研【解题思路】研究体系处在线性谐振子势场中，有关单个体系在谐振子势中的问题，一般可以通过求解薛定谔方程得出相应的本征波函数和
2、本征能量，确定体系的波函数，研究对象的量子状态、对其进行测量可得到的测量值的大小和几率等问题，都可以一一解决。研究体系内包含两个粒子，它们之间存在自旋-自旋相互作用，利用角动量的合成来解决这部分相互作用引出的相关问题。在两个问题中，涉及到不同自旋的粒子，即玻色子和费米子，可以通过它们满足的统计性质来决定在势场中的分布情况，从而解决要求的基态能量和波函数。【解析】（1）对于处在线性谐振子势中粒子的哈密顿量 由薛定谔方程 得本征能量为 本征波函数为 两粒子间有相互作用 设 因此 即 所以 因为 所以两粒子是费米子，满足费米狄拉克统计，体系的总波函数要求交换反对称，并且 S0 或者 S1。因为，所以
3、体系基态选择，因此体系坐标部分的波函数为 满足交换对称性。为了保证总波函数的交换反对称，所以自旋部分的波函数满足交换反对称，即 所以体系的基态波函数为 基态能量为 （2）当 S1S21 时，体系中两个粒子为玻色子，满足玻色爱因斯坦统计，体系波函数要求交换对称。因为，所以体系基态选择 n1n21。因此体系坐标部分的波函数为 满足交换对称性。为了保证总波函数的交换对称性，所以自旋部分的波函 数满足交换对称，即 所以体系的基态波函数为 基态能量为 【知识储备】一维线性谐振子 势能满足方程 本征值 本征函数 其中 两个角动量的耦合 a体系的总角动量满足角动量的一般对易关系 b力学量的共同本征函数，满足
4、 其中 两个电子的自旋函数 若不考虑两电子自旋相互作用，两电子对称自旋波函数和反对称自旋波函数分别写为 其中 表示第 1（2）个电子处于自旋向上或向下的态。费米子与波色子 【拓展发散】在冷原子研究领域，粒子除了可以被束缚在谐振子势中，也可以放置于 a无限深势阱中 b硬核球势阱中 其中，a 为球势阱半径。当要求体系中粒子的本征能量和波函数不是基态时，这时坐标部分的波函数可以构成交换反对称和交换对称的波函数，则按照费米子和玻色子满足的量子统计性质，选择相对应的自旋部分的波函数，最终可以得到要求的交换反对称或者交换对称总波函数。【注】当两粒子坐标部分的波函数不在相同的量子态时，对于两个费米子组成的体
5、系，由于洪特规则的限制，为了使得体系能量最低，体系基态的自旋部分只能选择自旋三重态，即要求总自旋最大化。体系中的粒子数可以不止两个，比如三个或者更多个粒子，也可以是玻色子和费米子的 mixture，诸如此类问题，这些是冷原子物理中研究的前沿，需要更多仔细的思考。关于角动量理论 本题中涉及的两个粒子的相互作用是，即自旋-自旋作用，也可以考查自旋-轨道相互作用（spin-orbit coupling），这些问题部分涉及当前的研究前沿，对于学有余力并对量子力学兴趣浓厚的同学值得去思考探究。2 有一量子力学体系，哈密顿量 H 的本征值与本征矢分别为 En与，设 F 为任一算符，试证明 中国科学院 20
6、06 研【解题思路】对于证明题，可以从右边证到左边结果，也可以从左边证到右边，这需要根据题目所提供的具体信息判断，针对本题知道的本征方程，再观察分析要证明的等式的左右 两边，可以明 显判断从左边证明比较方便；对于哈密 顿量的有 关性质在证明的过程中也可以充分使用，比如厄米性；对于对易关系式和反 对易关系式的展 开需要熟 练掌握的同 时并且对于它们背后的物理 内涵有深刻理解；灵活运用完备性等式。【解析】证明：因 为本征方程和，所以，因此 因为粒子数表象中基矢的完 备性等式，所以 得证。【知识储备】哈密顿量的厄米性 粒子数表象中基矢的完备性满足等式 力学量算符的对易关系式为 反对易关系式为 对易式
7、中满足的基本恒等式 A，BCA，BA，C A，BCBA，CA，BC AB，CAB，CA，CB A，B，CB，C，AC，A，B0【拓展发散】本题设定在粒子数表象中证明等式，求得任一力学量和哈密顿量所满足的等式关系，也可以增加给定条件，若 F 也满足厄米性，可以进一步确定在这种情况下满足的关系式；对于有关连续变量的表象也可以用同样的方法去证明，同时要注意表达式中符号的书写规范。3（1）考虑自旋为 1/2 的系统，试在 S2，Sz表象中求算符 ASyBSz的本征值及归一化的本征态，其中 Sy，Sz是自旋角动量算符，而 A，B 为实常数；（2）假定此系统处于以上算符的一个本征态上，求测量 Sy得到结果
8、为的概率。中国科学院 2007 研【解题思路】根据表象理论，一力学量在自身表象中的矩阵形式为对角矩阵，在这表象中，任意力学量的表达形式可以通过变换矩阵来求得；通过力学量的矩阵形式来求解本征值和本征函数；对量子系统进行测量，发生波包塌缩，对于力学量的测量所得本征值的几率可以通过力学量本征波函数完备展开计算得出。【解析】（1）对于自旋为 1/2 的系统，在 S2，Sz表象中则有 令本征方程为 并且本征值 所以 即 由久期方程可以得出本征值和相应的本征波函数为 当时，当时，（2）自旋 Sy的本征值为的波函数为 所以系统处于上，测量 Sy得到结果为的概率为 【知识储备】在表象中，的表示矩阵分别为 力学
9、量算符Q的本征方程为 设任意波函数 其中 体系部分地处于态 un中相应的概率分别为。【拓展发散】在 Sx表象中求算符 ASyBSz的本征值及归一化的本征态；系统自旋为 1，比如光子，可以同样求解算符 ASyBSz在 Sz表象中的本征值及归一化的本征态，但这时候要计算的矩阵为 33。4 一个质量为 m 的粒子被限制在 ra 和 rb 的两个不可穿透的同心球面之间运动，不存在其它势，求粒子的基态能量和归一化波函数。中国科学院 2007研【解题思路】分析题中所给出的信息，构建物理模型，ra 和 rb 为粒子的运动边界，从ra 到 rb 粒子只有动能，势能为零，在此之外，势能无穷大；对于与时间无关的势
10、场下粒子的运动，显而易见，直接使用定态薛定谔方程求解粒子的本征能量和本征波函数；观察分析所提供的球面间的势能，也就可以和中心力场情况相类比，对于这种情况，一般选择在球坐标中解决问题比较方便。【解析】粒子在 ra 和 rb 的两个不可穿透的同心球面之间运动，其相应的势能形式为 所以由定态薛定谔方程可得对应的在球坐标系中的本征方程为 令（r，）R（r）Y（，）因此 在范围内，当时，令 则 解得 由边界条件可知 相应的有 令，即，所以，即，因此 由波函数的归一化可得 所以 即本征值和本征波函数分别为 【知识储备】在中心力场中运动的类氢原子的哈密顿量为 相应的本征方程为 其在球极坐标中的表示形式为 令
11、（r，）R（r）Y（，），则 R（r）应满足径向方程 为方便求解，令，u（r）所满足的方程为 波函数的归一化条件 波函数必须满足的三个基本条件 有限性：波函数必须是有限的，因为概率不可能为无限大；单值性：波函数一定是单值的，因为任一体积元内出现的概率只有一种；连续性：波函数必须处处连续，因为概率不会在某处发生突变。【拓展发散】粒子在 ra 和 rb 的两个同心球面之间运动，rb 处的势能为一个有限值，求解透射率；两个玻色子或者费米子在在 ra 和 rb 的两个同心球面之间运动，求解基态和第一激发态的波函数，这时候需要考虑整个量子体系满足玻色爱因斯坦统计或者费米狄拉克统计，也就是波函数要求交换对
12、称和反对称，波函数为自旋波函数和坐标波函数的乘积，自旋部分有自旋单态和自旋三重态的考虑。5 处于一维谐振子势基态的粒子，受到微扰作用，求粒子跃迁到其它个激发态的总几率和仍处于基态的几率。中国科学院 2008 研【解题思路】在无微扰的状态下，粒子处在一维谐振子势的基态，这时候可以明确相应的本征能量和波函数，同时可以判断所处状态是简并还是非简并；系统受到的微扰是坐标和时间的函数，明显可以直接使用含时微扰理论来求解跃迁几率。【解析】分析题意，利用含时微扰理论可得，体系在微扰作用下由初态fk跃迁到终态 fm态的概率幅为 其中 k0，即粒子初始状态为基态，因为 并且对于谐振子的波函数而言 所以 因此 所
13、以跃迁几率为 处在基态的几率为 【知识储备】一维谐振子势能满足方程 由定态薛定谔方程可以求得，本征值为 本征函数为 其中 含时微扰体系哈密顿量，体系波函数所满足的薛定谔方程为 将按的本征函数 fn展开得 则在 t 时刻发现体系处于 fm态的概率是|am（t）|2。若体系在 t0 时处于的本征态 fk，则 体系在微扰作用下由初态 fk跃迁到终态 fm态的概率幅为 相应的跃迁概率为 【拓展发散】有关函数的问题较为简单，无论坐标还是时间，都可以直接把积分函数解出答案，在本题中可以把微扰变为，来求解跃迁几率；粒子处在激发态会增加运算难度，但思路一样；粒子处在其他形式的势场，比如，一维无限深势阱、势垒、
14、球势阱；两个或者两个以上玻色子或者费米子，这时候如果是激发态，则要利用量子体系的统计性质构造总波函数满足对称性或反对称性，然后利用含时微扰计算跃迁几率。6 设氢原子处在 R21Y11态，（1）求势能的平均值；（2）求轨道角动量的平均值。复旦大学 2004 研【解题思路】氢原子电子所受到的是中心力场，能量只和主量子数 n 有关，这和氢原子势场的对称性相关；对于 r 指数的力学量平均值直接计算运算较为复杂，可以运用维里定理；轨道角动量力学量的本征方程。【解析】（1）对于中心力场，由维里定理可得 因为 所以 （2）令 所以 因此 所以 【知识储备】氢原子本征方程 本征能量为 其中 本征波函数为 nl
15、m（r，）Rnl（r）Ylm（，）维里定理 如果势场是 r 的 n 次函数，则在此势场的束缚定态中动能平均值和势能平均值满足关系为 （L2，Lz）有共同的本征函数球谐函数 Ylm（，）角动量的平方及其 z 分量在球坐标中可表示为 相应的本征方程分别为 【拓展发散】假定氢原子的波函数为，可以求出势能平均值的通式和轨道角动量的平均值的通式。7 质量为的粒子被限制在半径为 R 的平面圆周上运动（转子）。已知开始时系统处于状态，A 为常数。（1）写出 t 时刻系统的波函数；（2）求出 t 时刻系统的平均能量。中国科学技术大学 2012 研【解题思路】根据含时薛定谔方程，从已知的初始时刻的状态求解 t
16、时刻粒子的状态，对于哈密顿量的平均值，可以直接使用力学量的平均值求解。【解析】（1）以所在平面为 XOY 平面，则系统的哈密顿量可以写为：其中，为转子的转动惯量。从而定态薛定谔方程为：容易解得 相应的能量本征值为：可见，对于，能级是二重简并的；当时，能级非简并。对于态，先归一化。利用，可得，从而 我们已经将按哈密顿量的本征矢展 开，则 t 时刻系统的波函数可以直接写出：（2）t 时刻系统的平均能量 为：其中。【知识储备】薛定谔方程 波函数随时间的变化规律由含时薛定谔方程给出 当 U（r，t）与 t 无关时，可以利用分离变量法，将时间部分的函数和空间部分的函数分开考虑，y（r）满足定态薛定谔方程
17、 此方程即是能量算符的本征方程。在某一表象下，算符F在态中的平均值为 8 设有一个质量为 m 的粒子处于（0，a）区域的一维无限深势阱中，其状态波函数为，试求解以下问题：（1）一维无限深势阱的本征值；（2）测量到的粒子处于不同能量本征态的几率；（3）测量到的粒子能量平均值。南京大学 2014 研【解题思路】对于一维无限深势阱中的粒子，一般假定势能不随时间变化，这是定态问题，显然，这可以直接使用薛定谔方程来求解本征波函数和本征能量；由薛定谔方程求解出的一维无限深势阱中的粒子的本征波函数构成正交归一完备集，所有的波函数都可以用此完备集展开；量子力学中一个力学量的测量会引起波包塌缩，各个对应本征态的
18、几率可以对相应完备展开式做傅里叶变换得出。【解析】（1）由题意可知，在一维无限深势阱中运动的粒子所受的势能为 当时，由定态薛定谔方程可得 即 令 所以 解得 本征能量为 （2）由波函数的归一性 可得 即 由的完备性可得 由傅里叶变换可得 即 所以测量到的粒子处于的几率为 （3）由能量平均值公式可得 【知识储备】一维无限深方势阱 若势能满足 在阱内（|x|a），体系所满足的定态薛定谔方程是 在阱外（|x|a），定态薛定谔方程是 体系的能量本征值 本征函数 力学量完备集 任一函数（x）可以用一组完全系fn（x）来表示 其中，cn常被称为概率振幅，可由下式计算 同时满足 其物理意义是：当体系处于波函数（x）描写的状态时，测量力学量F所得的值，必定是算符F的本征值之一，测得 Fn的概率为|cn|2。力学量F的平均值称为期望值，可表示成 【拓展发散】由于外力的作用，分为两种方式改变一维无限深方势阱的阱宽，一种是缓慢改变，另外一种是急剧改变，缓慢改变的方式还可以结合绝热近似进行考察；借助一维无限深方势阱的物理模型，也可以考察在本征态中一些力学量对应的矩阵形式。