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1、 9.3 圆的方程 考纲要求 掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与圆的一般方程 1圆的定义 在平面内，到_的距离等于_的点的_叫做圆 确定一个圆最基本的要素是_和_ 2圆的标准方程(xa)2(yb)2r2(r0)，其中_为圆心，_为半径长 特别地，当圆心在原点时，圆的方程为_ 3圆的一般方程 对于方程x2y2DxEyF0.(1)当_时，表示圆心为D2，E2，半径长为12D2E24F的圆；(2)当_时，表示一个点D2，E2；(3)当_时，它不表示任何图形；(4)二元二次方程Ax2BxyCy2DxEyF0 表示圆的充要条件是 ，.4点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种 圆的标准方程(xa)
2、2(yb)2r2(r0)，点M(x0，y0)，(1)点在圆上：_；(2)点在圆外：_；(3)点在圆内：_.1方程x2y24mx2y5m0 表示圆的充要条件是()A14m1 Bm1 Cm14 Dm14或m1 2圆心在y轴上，半径为 1 且过点(1,2)的圆的方程为()Ax2(y3)21 Bx2(y2)21 C(x2)2y21 D(x2)2y21 3若点(1,1)在圆(xa)2(ya)24 的内部，则实数a的取值范围是()A1a1 B0a1 Ca1 或a1 Da1 4圆心在原点且与直线xy20 相切的圆的方程为_ 5圆C：x2y22x4y40 的圆心到直线 3x4y40 的距离d_.一、求圆的方程
3、【例 11】圆心在y轴上且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是()Ax2y210y0 Bx2y210y0 Cx2y210 x0 Dx2y210 x0【例 12】已知A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，D(1,2)，问这四点能否在同一个圆上？为什么？方法提炼 常见的求圆的方程的方法有两种：一是利用圆的几何特征，求出圆心坐标和半径长，写出圆的标准方程；二是利用待定系数法，它的应用关键是根据已知条件选择标准方程还是一般方程 如果给定的条件易求圆心坐标和半径长，则选用标准方程求解；如果所给条件与圆心、半径关系不密切或涉及圆上多点，常选用一般方程求解 请做演练巩固提升 1 二、与圆有关的最
4、值问题【例2】若实数x，y满足方程x2y24x10，则yx1的最大值为_，最小值为_ 方法提炼 处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：(1)形如ybxa形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如taxby形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题 请做演练巩固提升 3 三、与圆有关的轨迹问题【例 3】如下图所示，圆O1和圆O2的半径长都等于 1，|O1O2|4.过动点P分别作圆O1，圆O2的切线P
5、M，PN(M，N为切点)，使得|PM|2|PN|.试建立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程 方法提炼 1解答与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：直接法直接根据题目提供的条件列出方程；定义法根据圆、直线等定义列方程；几何法利用圆的几何性质列方程；代入法找到所求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式 2求与圆有关的轨迹问题时，题目的设问有两种常见形式，作答也应有不同：若求轨迹方程，把方程求出化简即可；若求轨迹，则必须根据轨迹方程，指出轨迹是什么样的曲线 请做演练巩固提升 4 易忽视斜率不存在的直线而致误【典例】(12 分)从圆(x1)2(y1)21 外一点P(2,3)向该圆
6、引切线，求切线方程 规范解答：当切线斜率存在时，设切线方程为y3k(x2)，即kxy32k0.(2 分)圆心为(1,1)，半径长r1，|k132k|k2121，k34.(6 分)所求切线方程为y334(x2)，即 3x4y60.(8 分)当切线斜率不存在时，因为切线过点P(2,3)，且与x轴垂直，此时切线的方程为x2.综上，所求切线方程为x2 或 3x4y60.(12 分)答题指导：求圆的切线方程，一般设为点斜式方程首先判断点是否在圆上，如果过圆上一点，则有且只有一条切线，如果过圆外一点，则有且只有两条切线若利用点斜式方程求得过圆外一点的切线只有一条，则需结合图形把斜率不存在的那条切线补上 1
7、圆x2y24x6y0 的圆心坐标是()A(2,3)B(2,3)C(2，3)D(2，3)2(2012 安徽高考)若直线xy10 与圆(xa)2y22 有公共点，则实数a的取值范围是()A3，1 B1,3 C3,1 D(，31，)3平移直线xy10 使其与圆(x2)2(y1)21 相切，则平移的最短距离为()A 21 B2 2 C 2 D 21 与 21 4点P(4，2)与圆x2y24 上任一点连线的中点轨迹方程是()A(x2)2(y1)21 B(x2)2(y1)24 C(x4)2(y2)24 D(x2)2(y1)21 5如果实数x，y满足方程(x3)2(y3)26，求xy的最大值与最小值 参考答
8、案 基础梳理自测 知识梳理 1定点 定长 集合 圆心 半径 2(a，b)r x2y2r2 3(1)D2E24F0(2)D2E24F0(3)D2E24F0(4)AC0 B0 D2E24AF0 4(1)(x0a)2(y0b)2r2(2)(x0a)2(y0b)2r2(3)(x0a)2(y0b)2r2 基础自测 1D 解析：方程x2y24mx2y5m0 表示圆的充要条件是(4m)2(2)245m0，即m14或m1.2B 解析：设圆心(0，b)，半径为r，则r1.x2(yb)21.又圆过点(1,2)，代入得b2，圆的方程为x2(y2)21.3A 解析：点(1,1)在圆(xa)2(ya)24 的内部，(1
9、a)2(1a)24，即1a1.4x2y22 解析：设圆的方程为x2y2a2(a0)，由|2|11a，a 2.x2y22.53 解析：圆C：x2y22x4y40 的圆心为C(1,2)，所以圆心C到直线的距离为|31424|32421553.考点探究突破【例 11】B 解析：设圆心为(0，b)，半径为R，则R|b|，圆的方程为x2(yb)2b2.点(3,1)在圆上，9(1b)2b2，解得b5.圆的方程为x2y210y0.【例 12】解：设经过A，B，C三点的圆的方程为(xa)2(yb)2r2，则 a2(1b)2r2，(2a)2(1b)2r2，(3a)2(4b)2r2，解此方程组，得 a1，b3，r
10、25.所以，经过A，B，C三点的圆的标准方程是(x1)2(y3)25.把点D的坐标(1,2)代入上面方程的左边，得(11)2(23)25.所以，点D在经过A，B，C三点的圆上，故A，B，C，D四点在同一个圆上，圆的方程为(x1)2(y3)25.【例 2】22 22 解析：yx1y0 x(1)，1yx表示过点 P(1,0)与圆(x-2)2+y2=3 上的点(x，y)的直线的斜率 由图象知1yx的最大值和最小值分别是过 P 与圆相切的直线 PA，PB 的斜率 又kPA=CAPA=36=22，kPB=|CBPB=36=22，即1yx的最大值为22，最小值为22.【例 3】解：以O1O2的中点O为原点
11、，O1O2所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则O1(2,0)，O2(2,0)由已知|PM|2|PN|，得|PM|22|PN|2.因为两圆的半径长均为 1，所以|PO1|212(|PO2|21)设P(x，y)，则(x2)2y212(x2)2y21，化简，得(x6)2y233，所以所求轨迹方程为(x6)2y233.演练巩固提升 1D 解析：D4，E6，圆心坐标为(2，3)2C 解析：由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为 2，|a01|12(1)2 2，即|a1|2，解得3a1.3 A 解析：如图，圆心(2,1)到直线l0：xy10 的距离d|211|2 2，圆的半径为 1，则直线l0与l1的距离为21，所以平移的最短距离为 21.4A 解析：设圆上任一点坐标为(x0，y0)，则x02y024，连线中点坐标为(x，y)，则 2xx04，2yy02 x02x4，y02y2.代入x02y024 中得(x2)2(y1)21.5解：设xyb，则yxb，由图知，当直线与圆C相切时，截距b取最值 而圆心C到直线yxb的距离为d|6b|2.因为当|6b|2 6，即b623时，直线yxb与圆C相切，所以xy的最大值与最小值分别为 62 3与 62 3.