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1、1/8 不等式的基本知识（一）不等式与不等关系 1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质：(1)对称性：abba (2)传递性：cacbba,(3)加法法则：cbcaba；dbcadcba,(同向可加)(4)乘法法则：bcaccba0,；bcaccba0,bdacdcba0,0(同向同正可乘)(5)倒数法则：baabba110,(6)乘方法则：)1*(0nNnbabann且(7)开方法则：)1*(0nNnbabann且 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差变形判断符号结论）3、应用不等式性质证明不等式（二）解不等式 1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式00022a
2、cbxaxcbxax或的解集：设相应的一元二次方程002acbxax的两根为2121xxxx且、，acb42，则不等式的解的各种情况如下表：2、简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿偶不穿；（3）根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集。如：xxx112023 3、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为 0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不
3、能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。()()0()()0()()0;0()0()()f x g xf xf xf x g xg xg xg x 4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式 Axf在区间D上恒成立,则等价于在区间D上 minf xA()f x2/8 若不等式 Bxf在区间D上恒成立,则等价于在区间D上 maxf xB （三）线性规划 1、用二元一次不等式（组）表示平面区域 二元一次不等式Ax+By+C0 在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0 某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）2、二元一次不等式表示哪个平
4、面区域的判断方法 由于对在直线Ax+By+C=0 同一侧的所有点(yx,)，把它的坐标（yx,)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C0 表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C0 时，常把原点作为此特殊点）3、线性规划的有关概念：线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量 x、y 的约束条件，这组约束条件都是关于 x、y 的一次不等式，故又称线性约束条件 线性目标函数：关于 x、y 的一次式 z=ax+by 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x、y 的解析式，叫线性目标函数 线性规划
5、问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题 可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解 由所有可行解组成的集合叫做可行域 使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解 4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：（1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）依据线性目标函数作参照直线 ax+by0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解（四）基本不等式2abab 1若 a,bR,则 a2+b22ab,当且仅当 a=b 时取等号.2如果 a,b 是正数，那么).(
6、2号时取当且仅当baabba 变形：有:a+bab2；ab22ba,当且仅当 a=b 时取等号.3如果 a,bR+,ab=P(定值),当且仅当 a=b 时,a+b 有最小值P2;如果 a,bR+,且 a+b=S(定值),当且仅当 a=b 时,ab 有最大值42S.注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”（2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”4.常用不等式有：（1）(根据目标不等式左右的运算结构选用)；（2）a、b、c2222211abababab3/8 R，（当且仅当时，取等号）；（3）若，则
7、（糖水的浓度问题）。不等式主要题型讲解（一）不等式与不等关系 题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式）1.设2a，12paa，2422aaq，试比较qp,的大小 （二）解不等式 题型三：解不等式 解不等式2(1)(2)0 xx。3.25123xxx 2.不等式2120axbx的解集为x|-1x2，则a=_,b=_ 3.关于x的不等式0bax的解集为),1(，则关于x的不等式02xbax的解集为 题型四：恒成立问题 4.关于 x 的不等式 a x2+a x+10 恒成立，则 a 的取值范围是_ 5.若不等式22210 xmxm 对01x的所有实数x都成立，求m的取值范围.6
8、.已知0,0 xy且191xy，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。（三）基本不等式2abab 题型五：求最值 7.求下列函数的值域 222abcabbccaabc0,0abmbbmaam4/8（1）y3x 212x 2 （2）当时，求(82)yxx的最大值。8.（耐克函数型）求2710(1)1xxyxx 的值域。注意：在应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()af xxx的单调性。9.（用耐克函数单调性）求函数2254xyx的值域。（1）若实数满足2ba，则ba33 的最小值是 .（2）已知0,0 xy，且191xy，求xy的最小值。（3）已知 x，y 为正实数，且
9、 x 2y 22 1，求 x 1y 2 的最大值.（4）已知 a，b 为正实数，2baba30，求函数 y1ab 的最小值.题型六：利用基本不等式证明不等式 10.已知cba,为两两不相等的实数，求证：cabcabcba222 5/8 11.已知 a、b、cR，且1abc 。求证：1111118abc （四）线性规划 题型八：目标函数求最值 12.满足不等式组，求目标函数的最大值 13.已知,x y满足约束条件：03440 xxyy,则222xyx的最小值是 14.已知变量（其中 a0）仅在点（3，0）处取得最大值，则 a 的取值范围为 。15.已知实数xy，满足121yyxxym，如果目标函
10、数zxy的最小值为1，则实数m等于（）题型九：实际问题 某饼店制作的豆沙月饼每个成本 35 元，售 价 50 元；凤梨月饼每个成本 20 元，售价 30 元。现在要将这两种月饼装成一盒，个数不超过 10 个，售价不超过350 元，问豆沙月饼与凤梨月饼各放几个，可使利润最大？又利润最大为多少？复习不等式的基本知识参考答案 0,087032yxyxyxyxk 3230,330.10 xyx yxyy 满足约束条件若目标函数zaxy6/8 高中数学必修内容练习-不等式 1.；2.pq；3.当01x或43x 时，1+3logx2log 2x；当413x时，1+3logx2log 2x；当43x 时，1
11、+3logx2log 2x 4.1 ba 0lg,0lgba21Q（pbabalglg)lglg QababbaRlg21lg)2lg(RQP。5.6.|1x x 或2x ；7.(1,1)(2,3)）；8.不等式2120axbx的解集为x|-1x2，则a=_-6_,b=_6_ 9.),2()1,(）.10.解：当 a0 时，不等式的解集为1x x；2 分 当 a0时，a(xa1)(x1)0；当 a0时，原不等式等价于(xa1)(x1)0 不等式的解集为11x xxa或；.6分 当0a1时，1a1，不等式的解集为11xxa；.8分 当 a1时，a11，不等式的解集为11xxa；.10分 当 a1
12、时，不等式的解为 .12分 11._0 x4_ 12.12m ）13.,16m 14.解：（1）y3x 212x 2 23x 212x 2 6 值域为 6，+）（2）当 x0 时，yx1x 2x1x 2；当 x0 时，yx1x=（x1x）2x1x =2 值域为（，22，+）15.（1）解5,5404xx，11425434554yxxxx 231 当且仅当15454xx，即1x 时，上式等号成立，故当1x 时，max1y。（2）当，即 x2 时取等号 当 x2 时，(82)yxx的最大值为 8。16.解析一：7/8 当,即时,421)591yxx（当且仅当 x1 时取“”号）。解析二：本题看似无
13、法运用基本不等式，可先换元，令 t=x1，化简原式在分离求最值。22(1)7(1+10544=5ttttytttt）当,即 t=时,4259ytt（当 t=2 即 x1 时取“”号）。17.解：令24(2)xt t，则2254xyx22114(2)4xtttx 因10,1ttt，但1tt解得1t 不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。因为1ytt 在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故52y。所以，所求函数的值域为5,2。18.（条件不等式）（1）解：ba33 和都是正数，ba33 632332baba 当ba33 时等号成立，由2ba及ba33 得1 ba即当1 ba时，
14、ba33 的最小值是 6（2）解：190,0,1xyxy，199106 1016yxxyxyxyxy 当且仅当9yxxy时，上式等号成立，又191xy，可得4,12xy时，min16xy（3）解：x 1y 2 x 21y 22 2 x12 y 22 下面将 x，12 y 22 分别看成两个因式：x12 y 22 x 2(12 y 22 )22 x 2y 22 12 2 34 即 x 1y 2 2 x 12 y 22 34 2 （4）解：法一：a302bb1，ab302bb1 b2 b 230bb1 由 a0 得，0b15 令 tb+1，1t16，ab2t 234t31t 2（t16t）34t1
15、6t 2t16t 8 ab18 y 118 当且仅当 t4，即 b3，a6 时，等号成立。法二：由已知得：30aba2b a2b2 2 ab 30ab22 ab 令 uab 则 u222 u300，52 u32 8/8 ab 32，ab18，y118 19.已知cba,为两两不相等的实数，求证：cabcabcba222 20.正数 a，b，c 满足 abc1，求证：(1a)(1b)(1c)8abc 21.已知 a、b、cR，且1abc 。求证：1111118abc 证明：a、b、cR，1abc 。1121abcbcaaaa。同理121acbb，121abcc。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得 1112221118bcacababcabc。当且仅当13abc时取等号。22.解：若设污水池长为 x 米，则宽为（米）水池外圈周壁长：（米）中间隔墙长：（米）池底面积：200（米2）目标函数：23.4 24.25.1 26.。27.5 解：设一盒內放入 x 个豆沙月饼，y 个凤梨月饼，利润为 z 元 则 x，y 必须满足，目标函数为 z15x10y )21,3(),21(