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1、学习必备欢迎下载不等式的基本知识（一）不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质：(1) 对称性：abba(2) 传递性：cacbba,(3) 加法法则：cbcaba；dbcadcba,( 同向可加 ) (4) 乘法法则：bcaccba0,；bcaccba0,bdacdcba0,0( 同向同正可乘) (5) 倒数法则：baabba110,(6) 乘方法则：)1*(0nNnbabann且(7) 开方法则：) 1*(0nNnbabann且2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差变形判断符号结论）3、应用不等式性质证明不等式（二）解不等式1、一元二次不等式的解法一
2、元二次不等式00022acbxaxcbxax或的解集：设相应的一元二次方程002acbxax的两根为2121xxxx且、，acb42，则不等式的解的各种情况如下表：2、简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是： （1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正； （2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿偶不穿 ； （3）根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集。如： xxx1120233、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根
3、法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。( ) ( )0( )( )0( ) ( )0;0( )0( )( )f x g xf xf xf x g xg xg xg x4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题若不等式Axf在区间D上恒成立 , 则等价于在区间D上minfxA若不等式Bxf在区间D上恒成立 , 则等价于在区间D上maxfxB( )f x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页学习必备欢迎下载（三）线性规划1、用二元一次不等式（组）表示平面区域二元
4、一次不等式Ax+By+C0 在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0 某一侧所有点组成的平面区域. （虚线表示区域不包括边界直线）2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(yx,) ，把它的坐标（yx,) 代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以 只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0) ， 从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C0 表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C0 时，常把 原点 作为此特殊点）3、线性规划的有关概念： 线性约束条件 ：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、
5、y 的一次不等式，故又称线性约束条件 线性目标函数 ：关于 x、 y 的一次式z=ax+by 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y 的解析式，叫线性目标函数 线性规划问题 ：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题 可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解由所有可行解组成的集合叫做可行域使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：（ 1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数；（ 2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（ 3）依据线性目标函数作参照直线ax+by0
6、，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解（四）基本不等式2abab1若 a,bR,则 a2+b22ab,当且仅当a=b 时取等号 .2如果 a,b 是正数，那么).(2号时取当且仅当baabba变形：有:a+bab2；ab22ba,当且仅当a=b 时取等号 .3如果 a,bR+,ab=P (定值 ),当且仅当a=b 时,a+b 有最小值P2;如果 a,bR+,且 a+b=S (定值 ),当且仅当a=b 时,ab 有最大值42S. 注： （1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”（2）求最值的重要条件“一
7、正，二定，三取等”4. 常用不等式 有： （1）(根据目标不等式左右的运算结构选用) ； （2）a、b、cR，（当且仅当时，取等号） ； （3）若，则（糖水的2222211abababab222abcabbccaabc0,0abmbbmaam精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页学习必备欢迎下载浓度问题）。不等式主要题型讲解（一）不等式与不等关系题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式）1.设2a，12paa，2422aaq，试比较qp,的大小（二）解不等式题型三：解不等式解不等式2(1)(2)0 x
8、x。3 .25123xxx2.不等式2120axbx的解集为 x|-1 x 2 ，则a=_, b=_3.关于x的不等式0bax的解集为), 1(，则关于x的不等式02xbax的解集为题型四：恒成立问题4.关于 x 的不等式a x2+ a x+10 恒成立，则a 的取值范围是 _5.若不等式22210 xmxm对 01x的所有实数x都成立，求m的取值范围 . 6.已知0,0 xy且191xy，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。（三）基本不等式2abab题型五：求最值7.求下列函数的值域（1）y3x 212x 2（2）当时，求(82 )yxx的最大值。精选学习资料 - - - - - -
9、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页学习必备欢迎下载8.（耐克函数型）求2710(1)1xxyxx的值域。注意：在应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数( )afxxx的单调性。9.（用耐克函数单调性）求函数2254xyx的值域。（1）若实数满足2ba，则ba33的最小值是 . （2）已知0,0 xy，且191xy，求xy的最小值。（3）已知 x，y 为正实数，且x 2y 221，求 x1y2的最大值 . （4）已知 a，b 为正实数， 2baba30，求函数y1ab的最小值 . 题型六：利用基本不等式证明不等式10.已知cba,为两两不
10、相等的实数，求证：cabcabcba22211.已知 a、b、cR，且1abc。求证：1111118abc精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页学习必备欢迎下载（四）线性规划题型八：目标函数求最值12.满足不等式组，求目标函数的最大值13.已知,x y满足约束条件：03440 xxyy,则222xyx的最小值是14.已知变量（其中 a0） 仅在点 （3，0）处取得最大值，则 a 的取值范围为。15.已知实数xy，满足121yyxxym，如果目标函数zxy的最小值为1，则实数m等于（）题型九：实际问题某饼店制作的豆沙月饼每
11、个成本35 元，售价 50 元；凤梨月饼每个成本20 元，售价30 元。现在要将这两种月饼装成一盒，个数不超过10 个，售价不超过350 元，问豆沙月饼与凤梨月饼各放几个，可使利润最大？又利润最大为多少？复习不等式的基本知识参考答案高中数学必修内容练习-不等式1.；2.pq；3.当01x或43x时，1+3logx2log2x；当413x时，1+3logx2log2x；当43x时，1+3logx2log2x0,087032yxyxyxyxk3230,330.10 xyx yxyy满足约束条件若目标函数zaxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -
12、-第 5 页，共 8 页学习必备欢迎下载4.1ba0lg,0lgba21Q（pbabalglg)lglgQababbaRlg21lg)2lg(RQP。5.6.|1x x或2x；7.( 1,1)(2,3)） ；8.不等式2120axbx的解集为 x|-1 x2，则a=_-6_, b=_6_ 9.), 2()1,(）. 10.解：当 a0 时，不等式的解集为1x x； 2 分当 a0 时， a(xa1)(x1)0；当 a0时，原不等式等价于(xa1)(x1)0 不等式的解集为11x xxa或； . 6 分当0a1时， 1a1，不等式的解集为11xxa； . 8分当 a1时，a11，不等式的解集为1
13、1xxa； . 10分当 a1时，不等式的解为 . 12 分11._0 x4_ 12.12m）13.,16m14.解： （1）y3x 212x 223x 212x 26 值域为 6 ，+）（2）当 x0 时， yx1x2x1x2；当 x0 时， yx1x= （x1x） 2x1x=2 值域为（，22，+）15.（1）解5,5404xx，11425434554yxxxx231当且仅当15454xx，即1x时，上式等号成立，故当1x时，max1y。（2）当，即 x2 时取等号当 x2 时，(82 )yxx的最大值为8。16.解析一：当, 即时,421)591yxx（当且仅当x1 时取“”号）。解析二
14、：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x1，化简原式在分离求最值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页学习必备欢迎下载22(1)7(1 +10544=5ttttytttt）当, 即 t=时,4259ytt（当 t=2 即 x1 时取“”号）。17.解：令24(2)xt t，则2254xyx22114(2)4xtttx因10,1ttt，但1tt解得1t不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。因为1ytt在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故52y。所以，所求函数的值域为5,2。18.（条件不等式
15、）（1）解：ba33 和都是正数，ba33632332baba当ba33时等号成立，由2ba及ba33得1ba即当1ba时，ba33的最小值是6（2）解：190,0,1xyxy，1991061016yxxyxyxyxy当且仅当9yxxy时，上式等号成立，又191xy，可得4,12xy时，min16xy（3）解： x1y2x21y 222 x12y 22下面将 x，12y 22分别看成两个因式：x12y 22x 2(12y 22 )22x 2y 2212234即 x1y22 x12y 22342 （4）解：法一： a302bb1，ab302bb1b2 b230bb1由 a0 得， 0b15 令
16、tb+1，1t16，ab2t234t31t 2（t16t） 34t16t2t16t8 ab18 y118当且仅当 t4，即 b3，a6 时，等号成立。法二：由已知得：30aba2b a2b22 ab 30 ab22 ab令 uab则 u222 u300， 52 u32 ab32 ，ab18， y11819.已知cba,为两两不相等的实数，求证：cabcabcba22220.正数 a，b，c满足 abc1，求证： (1a)(1b)(1c)8abc21.已知 a、b、cR，且1abc。求证：1111118abc精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -
17、-第 7 页，共 8 页学习必备欢迎下载证明：a、b、cR，1abc。1121abcbcaaaa。同理121acbb，121abcc。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得1112221118bcacababcabc。当且仅当13abc时取等号。22.解：若设污水池长为x 米，则宽为（米）水池外圈周壁长：（米）中间隔墙长：（米）池底面积： 200（米2）目标函数：23.4 24.25.1 26.。27.5 解： 设一盒內放入x 个豆沙月饼， y 个凤梨月饼，利润为z 元则 x，y 必须满足，目标函数为z15x10y )21,3(),21(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页