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1、第节 函数模型及其应用 【选题明细表】知识点、方法 题号 一次函数、二次函数模型 1、3、11 分段函数模型 4、6、7、10 指数函数模型 2、8、12 其他问题 5、9 一、选择题 1.(2012 浙江温州月考)某电信公司推出两种手机收费方式:A 种方式是月租 20元,B 种方式是月租0 元.一个月的本地网内通话时间t(分钟)与电话费s(元)的函数关系如图所示,当通话150分钟时,这两种方式电话费相差(A)(A)10 元(B)20 元(C)30 元(D)元 解析:依题意可设 sA(t)=20+kt,sB(t)=mt,又 sA(100)=sB(100),100k+20=100m,得 k-m=
2、-0.2,于是 sA(150)-sB(150)=20+150k-150m=20+150(-0.2)=-10,即两种方式电话费相差 10 元,选 A.2.在一次数学试验中,采集到如下一组数据:x-2-1 0 1 2 3 y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02 则下列函数与 x,y 的函数关系最接近的是(其中 a,b 为待定系数)(B)(A)y=a+bx(B)y=a+bx(C)y=ax2+b(D)y=a+解析:由数据知 x,y 之间的函数关系近似为指数型,故选 B.3.(2012海口市调研)若一根蜡烛长20 cm,点燃后每小时燃烧5 cm,则燃烧剩下的高度 h(cm)与燃烧时间
3、t(小时)的函数关系用图象表示为(B)解析:根据题意得解析式为 h=20-5t(0t4),其图象为 B.4.(2012福州模拟)国家规定某行业征税如下:年收入在280万元及以下的税率为 p%,超过 280 万元的部分按(p+2)%征税,有一公司的实际缴税比例为(p+0.25)%,则该公司的年收入是(D)(A)560 万元(B)420 万元(C)350 万元(D)320 万元 解析:设该公司的年收入为 x,纳税额为 y,则由题意,得 y=依题意有,=(p+0.25)%.解之得 x=320(万元).故选 D.5.某农贸市场出售西红柿,当价格上涨时,供给量相应增加,而需求量相应减少,具体调查结果如下
4、表.表 1 市场供给量 单价(元/kg)2 2.5 3 3.3 3.5 4 供给量(1000 kg)50 60 70 75 80 90 表 2 市场需求量 单价(元/kg)4 3.5 3.2 2.8 2.4 2 需求量(1000 kg)50 60 65 70 75 80 根据以上提供的信息,市场供需平衡点(即供给量和需求量相等时的单价)应在的区间是(C)(A)(2.4,2.5)(B)(2.5,2.8)(C)(2.8,3)(D)(3,3.2)解析:由表 1、表 2 可知,当市场供给量为 6070 时,市场单价为 2.53,当市场需求量为 6570 时,市场单价为 2.83.2,所以市场供需平衡点
5、应在2.83 内,故选 C.6.某种新药服用 x 小时后血液中的残留量为 y 毫克,如图所示为函数y=f(x)的图象,当血液中药物残留量不小于 240 毫克时,治疗有效.设某人上午 8:00 第一次服药,为保证疗效,则第二次服药最迟的时间应为(C)(A)上午 10:00(B)中午 12:00(C)下午 4:00(D)下午 6:00 解析:当 x0,4时,设 y=k1x,把(4,320)代入,得 k1=80,y=80 x.当 x4,20时,设 y=k2x+b.把(4,320),(20,0)代入得 解得 y=400-20 x.y=f(x)=由 y240,得或 解得 3x4 或 4x8,3x8.故第
6、二次服药最迟应在当日下午 4:00.故选 C.二、填空题 7.(2012 河南调研)为了在“十一”黄金周期间降价搞促销,某超市对顾客实行购物优惠活动,规定一次购物付款总额:如果不超过 200 元,则不予优惠;如果超过200元,但不超过500元,则按标价给予9折优惠;如果超过 500 元,其中 500 元按第条给予优惠,超过 500 元的部分给予 7折优惠,辛云和她母亲两次去购物,分别付款 168 元和 423 元,假设她们一次性购买上述同样的商品,则应付款额为 元.解析:依题意,价值为 x 元商品和实际付款数 f(x)之间的函数关系式为 f(x)=当 f(x)=168 时,1680.91872
7、00,故此时 x=168;当 f(x)=423 时,4230.9=470(200,500,故此时 x=470.所以两次共购得价值为 470+168=638 元的商品,又 5000.9+(638-500)0.7=546.6 元,即若一次性购买上述商品,应付款额为 546.6 元.答案:546.6 8.(2012 长春模拟)一个容器装有细沙 a cm3,细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,t min 后剩余的细沙量为 y=ae-bt(cm3),经过 8 min 后发现容器内还有一半的沙子,则再经过 min,容器中的沙子只有开始时的八分之一.解析:依题意有 ae-b8=a,b=,y=a 若容
8、器中只有开始时的八分之一,则有 a=a.解得 t=24,所以再经过的时间为 24-8=16 min.答案:16 9.某商家一月份至五月份累计销售额达 3860 万元,预测六月份销售额为500 万元,七月份销售额比六月份递增 x%,八月份销售额比七月份递增x%,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等.若一月份至十月份销售总额至少达 7000 万元,则 x 的最小值是 .解析:七月份的销售额为 500(1+x%),八月份的销售额为 500(1+x%)2,则一月份到十月份的销售总额是 3860+500+2500(1+x%)+500(1+x%)2,根 据 题 意 有3860+500+2500(1+
9、x%)+500(1+x%)2 7000,即25(1+x%)+25(1+x%)266,令 t=1+x%,则 25t2+25t-660,解得 t 或 t-(舍去),故 1+x%,解得 x20.故 x 的最小值为 20.答案:20 三、解答题 10.(2013 南充高中第六次月考)今年的中秋国庆假期是实施免收小型客车高速通行费政策后的第一个重大节假日,10 月 3 日南充有一个群名为“天狼星”的自驾游车队,组织车友前往重庆游玩.该车队是由 31 辆车身长都约为 5 m(以 5 m 计算)的同一车型组成的,行程中经过一个长为2725 m 的隧道(通过该隧道的车速不能超过 25 m/s).匀速通过该隧道
10、时,设车队的速度为 x m/s.根据安全和车流的需要,当 0 x12 时,相邻两车之间保持20 m的距离;当12x25时,相邻两车之间保持m的距离.自第 1 辆车车头进入隧道至第 31 辆车车尾离开隧道所用的时间为y(s).(1)将 y 表示为 x 的函数;(2)求该车队通过隧道时间 y 的最小值及此时车队的速度.解:(1)当 0 x12 时,y=;当 12x25 时,y=5x+10,所以,y=(2)当 0 x12 时,在 x=12(m/s)时,ymin=290(s);当 12250,所以当 x=24(m/s)时,ymin=250(s).即该车队通过隧道时间 y 的最小值为 250 s 及此时
11、该车队的速度为 24 m/s.11.(2013 内江市第一次模拟)某商场试销一种成本为每件 60 元的服装,规定试销期间销售单价不低于成本单价,且获利不得高于45%,经试销发现,销售量 y(件)与销售单价 x(元)满足 y=-x+120.(1)销售单价定为多少元时,商场可获得最大利润,最大利润是多少元?(2)若该商场获得利润不低于 500 元,试确定销售单价 x 的范围.解:(1)设该商场获得利润为 W 元,则 W=(x-60)(-x+120)=-x2+180 x-7200=-(x-90)2+900,由题意可知 60 x87.函数 W=-x2+180 x-7200 在区间60,87上是增函数,
12、当 x=87 时,Wmax=-(87-90)2+900=891.当销售单价定为 87 元时,商场可获得最大利润,最大利润是 891 元.(2)由 W500,得-x2+180 x-7200500,70 x110.又60 x87,70 x87,销售单价 x 的范围是70,87.12.(2012 武汉模拟)我国加入 WTO 时,根据达成的协议,若干年内某产品市场供应量 p 与关税的关系近似满足p(x)=(其中 t 为关税的税率,且 t,x 为市场价格,b,k 为正常数),当 t=时的市场供应量曲线如图所示.(1)根据图象,求 b,k 的值;(2)记市场需求量为a,它近似满足a(x)=,当p=a时的市场价格称为市场平衡价格.当市场平衡价格控制在不低于 9 元时,求关税税率的最小值.解:(1)由题图知,t=时,有 解得(2)当 p=a 时,得=,解得 t=-.令 m=,x9,m,t=-(17m2-m-2),对称轴为 m=且开口向下.m=时,t 取得最小值,此时 x=9,所以税率 t 的最小值为.