数学复习全书(理工类)二.pdf

《数学复习全书(理工类)二.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学复习全书(理工类)二.pdf（42页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。

1、（2）2*();nAAA 1*;(2)nAAn （3.4）（3）*1*();nkAkA *()();TTAA （3.5）（4）*,(),()1,()1,0,()1;nr Anr Ar Anr An若若若 （3.6）（5）若A可逆，则*1*11*11(),()(),.AAAAAA AA （3.7）【评注】伴随矩阵*,A它由A的代数余子式所构成，基本关系式为求逆、转置、伴随三个运算能交换次序.7 矩阵A可逆的充分必要条件 n阶方阵A可逆存在n阶方阵B，有.ABBAE 0.A ().r An A的列（行）向量组线性无关.齐次方程组0Ax 只有零解.,b 非齐次方程组Axb总有唯一解.A的特征值全不为

2、 0.5 初等变换 矩阵如下的三种变换称为矩阵的初等行（列）变换：（1）对调矩阵的两行（列）；（2）用非零常数k乘以某行（列）中所有元素；（3）把某行（列）元素的k倍加至另一行（列）的对应元素.【注】不要把矩阵的初等变换与矩阵的运算相混，也不要与行列式的性质、运算相混.要掌握矩阵的初等变换，应能熟练地用来求秩（行、列变换可混用），求逆矩阵（只用行或只用列变换），求线性方程组的解（只用行变换）.9 初等矩阵 单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵.例如 都是初等矩阵.初等矩阵的性质：（1）初等矩阵P左（右）乘A，所得()PA AP就是A作了一次与P同样的行（列）变换；（2）初等矩阵均可逆，且其逆是

3、同类型的初等矩阵.例如 1111000010011001001001010010,02000,310310.210010000100 即1111,()(),()().ijijiiijijEEEkEEkEkk 10矩阵的等价 矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B，则称A与B等价，记作.AB如 0,00ErA 称后者是A的等价标准形.,ABA B是同型矩阵且有相同的秩.存在可逆矩阵P和Q，使.PAQB 设A是m n矩阵，则存在m阶可逆矩阵,Pn阶可逆矩阵,Q使 0.00ErPAQ （3.8）【评注】矩阵的等价与向量组的等价是不同的概念.若 12(,)nA 与12(,)nB 等介，则,()(),PAQB

4、 r Ar B于是1212(,)(,),nnrr 向量组虽秩相等，但不一定能互相表出，因而不一定等价.例如：12121200,0012 与的秩相等，但不等价.可是，矩阵 12000012AB 反之，若12,n 与12,n 等价，则必在.AB 11矩阵方程 含有未知矩阵的等式称为矩阵方程.AXB有解B的每列可由A的列向量线性表出.()().r Ar A B 三、典型题型分析及解题方法与技巧 题型（一）有关矩阵的概念及运算 【例 3.4】,A B均是n阶对称矩阵，则AB是对称矩阵的充要条件是 .【分析】两个对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵.例如 120121.231032 而AB对称().TTTAB

5、ABABB ABA 【例 3.5】A是n阶正交矩阵，证明*A是正交矩阵.【证明】由,TAAE从行列式乘法公式知21.TAA A又因1,TAA于是*1TAA AA A，那么 2*().TTTAAA AA AAA AE 类似地*().TAAE所以，*A是正交矩阵.【评注】若要证明A是某种特殊方阵，常用方法是用定义.【例 3.6】已知,A B均是n阶矩阵，222,(),AA BBABAB证明0.AB 【证明】由22222(),ABAABBABABAB得 0.ABBA （1）对（1）式分别用A左乘与右乘，并把2AA代入，得 0,0.ABABAABABA 两式相减，有0.ABBA （2）（1）+（2），

6、得20.AB 所以 0.AB 【注】在等式两边用同一矩阵左（右）乘，作恒等变形是常用技巧，应认真体会.题型（二）求方阵的幂【解题思路】求nA的基本思路：思路（一）：若()1,r A 则A能分解为一列与一行两个矩阵的乘积，用结合律就可很方便地求出;nA 思路（二）：若A能分解成两个矩阵的和,ABC且,BCCB则()nnABC可用二项式定理展开，当然,B C之中有一个的方幂最好尽快为 0；思路（三）：当A有n个线性无关的特征向量时，可用相似对角化来求nA（详见第五讲）；思路（四）：通过试算23,AA，如有某种规律可用数学归纳法.【例 3.7】已知1 11 21 32 1222 33 13 23 3

7、,a ba ba bAa ba ba ba ba ba b证明,AlA并求l.【证明】因为A中任两行、任两列都成比例，故可把A分解成两个矩阵相乘，即 121 2 33(),aAabb ba 那么，由矩阵乘法的结合律，有 111221 2 321 2 31 2 321 2 3333()()()().aaaAabb babb bbb babb baaa 由于 11 2 321 1223 33()abb baaba ba ba 是1 1矩阵，是一个数，记为,l则有2.AlA 【注】由于322,AAAlA Al A归纳可知1,nnAlA这是一种求nA的方法.【例 3.8】已知1001,00A求.nA

8、【例 3.9】如,A即存在可逆矩阵,P使1,P AP 即1AP P，那么 21121()().AP PP PPP 【例 3.11】已知APPB，其中100100000,210,001211BP求5.AA及 【解】因为P可逆，且1100210,411P所以 1100100100100210000210200.211001411611APBP 由于21121.APBP PBPPB P可见 5511.APB PPBPA 【评注】本题实质上是已知AB ，由A的特征值是 1，0，-1，相应的特征向量是(1,2,2),(0,1,1),(0,0,1)TTT，反求A及5.A 【例 3.12】已知011101,

9、110A求100.A 【解】令1 1 11 1 1,1 1 1B则.ABE 又11(111),1B 13,nnBB那么 100100122100100100100100()AEBECBCBCB 122399100100100100100(333)ECCCCB 因为100122100100100100100(1 3)1333CCC 1223991001001001001001 3(333),CCCC 所以10010010010010010010010010010010022212111(12)21222133212122AEB 【注】请读者用相似对角化求100A.【例 3.13】已知31,93A

10、求.nA 【解】先求A的特征值与特征向量 23160.93EA令 得到A的特征值为0,6.对0,由(0)0,EA x 解出11;3X 对6,由(6)0,EA x解出21.3X 令11,33P则1311.3 16P而1,AP P 得11103113363 16nnnAPP 11110313166.3313 193nn 【评注】对于特征值、特征向量还不熟悉的读者可在复习第五章后再盾本题.其实，这就是【例 3.10】中的矩阵,C显然，对于秩是 1的矩阵求方幂时，用相似对角化的方法是不简捷的.题型（三）求与已知矩阵可交换的矩阵 【解题思路】求与已知矩阵可交换的矩阵的基本思路是：按定义，设未知数，列齐次

11、方程组，求通解.【例 3.14】下列命题中，不正确的是（）.（A）如A是n阶矩阵，则()()()()AEAEAEAE （B）如,A B均是1n矩阵，则TTA BB A （C）如,A B均是n阶矩阵，且0,AB 则222()ABAB （D）如A是n阶矩阵，则mkkmA AA A 【分析】（A）中，由乘法有分配律，两个乘积均是2,AE而（D）是因乘法有结合律，两乘积都是,m kA故（A），（D）都正确.关于（B），由于,TTA B B A都是1 1矩阵，而 1阶矩阵的转置仍是其自身，故()TTTTA BA BB A亦正确.唯（C）中，从0AB 还不能保证必有0,BA 因此，（C）不正确.故应选（C

12、）.【例 3.15】已知,A B及,A C都可交换，证明,A B C是同阶矩阵，且A与BC可交换.【证明】设A是m n矩阵，由AB可乘，故可设B是n s矩阵.又因BA可乘，所以.ms那么AB是m阶矩阵，BA是n阶矩阵.从可交换，即,ABBA得,mn即,A B是同阶矩阵，同理，C与,A B也同阶，由结合所以，A与BC可交换.【例 3.17】已知12,naaa 其中12,na aa两两不等，证明与可交换的矩阵只能是对角矩阵.【证明】设A与可交换，并对A按列（行）分块 1111212122221212(),nnnnnnnnaaaaaaAaaa 则12121122()(,),nnnnaaAaaaa 1

13、1112222.nnnnaaaaAaa 因为,AA 即 1 1121211 112121121222222122222112212,nnnnnnnnnnnnnnnnnnna aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa a 那么,jijiija aaa又因,ijaa可见0ija(),ij 即A是对角矩阵.【评注】从以上证明可以看出，对于矩阵乘法AB，当有一个矩阵的零元素很多时就可考虑分块矩阵的技巧.假若矩阵A简单，则对B按行分块，如果矩阵B简单，就可对A按列分块.例如 13123322102123102151821001456001789

14、,010789010456 1231312123102102130456001()001(,2)463.789010010796 题型（四）有关初等矩阵的命题 【例 3.18】计算20012000010123001100456010_.001789100 200112456123.789EA 而右乘13E是作一、三两列对换，由于是偶数次对换，因而结果不变.【例3.19】设1112212223313233100,222010aaaaAaaaBaaaa 2100020,001P则B（）.（A）12PP A （B）2 1AP P （C）12PAP （D）21P AP 【例 3.20】设A是n阶可逆方

15、阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B，证明B可逆，并求1AB.【证明】记ijE是由n阶单位矩阵的第i行和第j行对换后所得到的初等矩阵，那么.ijBE A 由于0,ijijBE AEAA 所以B可逆.且1111().ijijijABA E AAA EE 【评注】本题关键是要求读者熟悉矩阵A的行变换就相当于用初等矩阵左乘A，这样可逆就易于证明了.而求1AB，有些读者未能得到最后结果，是由于在初等矩阵的逆矩阵上出了问题.【例 3.21】A是n阶矩阵，证明存在一可逆矩阵B及一个幂等矩阵C（即2CC），使.ABC 【证明】对A作初等变换化其为等价标准形，由（3.8）知，存在可逆矩阵,P Q使

16、0,00rEPAQ 则1111100.0000rrEEAPQP Q QQ 令1110,00rEBP QCQQ则,ABC其中B可逆，C幂等.【评注】等价标准形定理在存在性及秩的一些问题中是有用的，读者应有所了解.题型（五）矩阵可逆的计算与证明 【解题思路】矩阵求逆的基本方法有：方法1 定义法，找出B使;ABEBAE或 （3.9）方法2 伴随矩阵法，1*1;AAA （3.10）方法3 初等变换法 1()A EE A只用行变换 （3.11）1()();AEEA 只用列变换 （3.12）方法4分块矩阵法 11111100,.00AAABBBBA （3.13）【例 3.22】填空题：（1）已知01000

17、020,0001000Ann则*1()_.A（2）已知001002001,300050004A则1_.A（3）已知12,3A100010,031B则1()_.AB（4）设10002300,04500067A1()(),BEAEA则（5）如32,AE则1_.A（6）如30,A 则21()_.EAA 【例 3.23】,A B C是n阶矩阵，且,ABCE则必有（）.（A）CBAE （B）BCAE （C）BACE （D）ACBE 【分析】由,ABCE知()(),A BCBC AE或()(),AB CC ABE可见（B）正确.由于乘法不一定能交换，故其余不恒成立.【例 3.25】已 知A是n阶 对 称

18、矩 阵，且A可 逆，如2(),ABE化 简 【解】原式1111111()()()TTTTEA BAABAEB AAB A 111()()()()TEB AA ABEBAA AB ()().ABAB 【评注】请说出每一步恒等变形都是运用矩阵的哪一条性质？请读者注意：不要画蛇添足把答案写成22.AB 【例 3.26】已知A是 3 阶非零矩阵，且,(1,2,3),ijiji jaA证明A可逆，并求A.【证明】因为A是非零矩阵，不妨设110,a 那么按第一行展开，并将ijijaA代入，即有 2221111121213131212130Aa Aa Aa Aaaa 所以，A可逆.由于11121311121

19、3*212223212223313233313233(),TaaaAAAAaaaAAAAaaaAAA 即*,TAA那么对*AAA E两边取行列式，有 23,TAA AA EA 得2(1)0.AA 从而1.A 【例 3.27】A是n阶矩阵，如对任意常数项,nbR线性方程组均有解，证明A可逆.【证 明】对A按 列 分 块，记12(,)nAa aa，则 方 程 组Axb转 化 为1 122.nnx ax ax ab由于,nbR 方程组总有解，即12,na aa可表示任一个n维向量，那么12,na aa是nR的一组基，从而12()(,).nr Ar a aan即A可逆.【例 3.28】已知,X Y是相

20、互正交的n维列向量，证明TEXY可逆.【证法二】令,TTAEXYBXY由20B 有2()0,AE那么(2),AEAE即A可逆.【例 3.29】,A B是n阶矩阵，0,EBA则齐次方程组()0EBA x有非零解，设是其非零解，那么0.BA （*）对于齐次方程组()0,EAB x由于()()()0,EAB AAAB AAA BAAA 从（*）式易见0.A这样()0EAB x有非零解,A这与EAB可逆相矛盾.【评注】这些例题是本章考点诠释中第 7条的详细说明，希望读者能熟悉可逆证明的常用方法.题型（六）求解矩阵方程 【解题思路】解矩阵方程AXB的基本方法有 方法1 若A可逆，则1,XA B可用行变换

21、求,X即()().A BE X （3.14）方法2 若A不可逆，则可用高其消元法化为阶梯形方程组，(),A B 只用行变换 (3.15)然后对每列常数项分别求解.方法3 对于方程,XAB若A可逆，则可用列变换求X，即 .AEBX 只用列变换 （3.16）【例 3.32】设 3阶方阵,A B满足关系式16,A BAABA且1003100,41007A则_.B 【解】由A可逆，右乘1A有：16,A BEB移项莉1()6,AE BE 于是 11111()6().6BAEAE 由134,7A有123,6AE从而32.1B 【例 3.33】设 4 阶矩阵 1100213401100213,0011002

22、100010002BC 满足关系式1(),TTA EC BCE求.A 【解】由于11()()(),TTTTA EC BCA C EC BA CB于是 11112121().32112143210121TACB 【评注】解矩阵方程一般应先化简（如【例 3.32】，【例 3.33】），不要急于把已知数据代入，恒等变形应正确，常见错误有(),AXXX AE或由AXB得1XBA等，对于纯数字型的矩阵方程可用初等变换（3.14）（3.16）求解，如【例 3.30】，【例 3.31】.第四章 线性方程组 一、本章知识串讲 线性方程组是线性代数的基础内容之一，首先应当会解方程组，主要方法是高斯消元法，特殊情

23、况可考虑用克莱姆法则.特别地，当方程组中有参数时，讨论解的各种情况时不要遗漏；其次，齐次方程组0Ax 总是有解的，我们关心的问题是它何时有非零解？有多少非零解？如何表示每个解？这就有解空间，解空间的基（即基础解系）等概念，要掌握基础解系的求法；再其次，对于非齐次线性方程组,Axb要理解解的结构，有解的判定等问题；最后应注意方程组与向量组线性表示及秩之间的联系，要了解方程组与空间平面的关系.二、大纲考查要点诠释 1 线性方程组的各种表达形式 11 11221121 1222221 122,nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxb （4.1）可用矩阵乘法表示为：

24、.Axb （4.2）如果对系数矩阵A按列分快，方程组有向量形式 1122.nnxxxb （4.3）2 齐次方程组0Ax 恒有解（必有零解）当有非零解时，由于解向量的任意线性组合仍是该齐次方程组的解向量，因此0Ax 的全体解向量构成一个向量空间，称为该方程组的解空间.解空间的维数是(),nr A解空间的一组基称为齐次方程组的基础解系.3 如12,t 是0Ax 的基础解系，即12,t 是0Ax 的解，12,t 线性无关，且(tn （4.4）1 122ttkkk是0Ax 的通解.基础解系中解向量的个数是(),()nr A nr A也是每个解向量中自由变量的个数.求基础解系时，可对A作初等行变换化为阶

25、梯形矩阵，称每个非零行中第一个非 0系数所代表的未知数是主元（共有()r A个主元），那么剩余的其它未知数就是自由变量（共有()nr A个），对自由变量按阶梯形赋值后，再代入求解就可得到基础解系.【例 4.1】若某齐次方程组经高斯消元，化为 1021315423 则()532,nr A基础解系由 2个向量组成.此时134,x x x是主元，25,xx是自变量，因而可赋值为 12(,1,0),(,0,2).TT 由下往上代入求解，得 12(0,1,0,0,0),(3,0,3,3,2).TT【注】因为(1,0),(0,2)线性无关，延伸后12,必线性无关，在2中令52,x 是考虑4x的系数是 2，

26、为回避分数运算而设定的，通常是令51.x 要理解基础解系，应正确迅速求解.4 齐次方程组有非零解的判定【定理 4.1】设A是m n矩阵，齐次方程组0Ax 有非零解的充要条件是(),r An亦即A的列向量线性相关.特别地，【定理 4.2】如A是n阶矩阵，0Ax 有非零解的充要条件是0.A 【定理 4.3】0Ax 有非零解的充分条件是mn（即方程个数）未知数个数.【注意】如0,AB 则B的每一列都是0Ax 的解，当0B 时，蕴涵0Ax 有非零解，进而有()().r Ar Bn齐次方程组有非零解，关键在于系数矩阵的秩要小于未知数的个数（亦是系数矩阵中列向量的个数），【定理 4.2】用行列式是有条件的

27、，不要混淆，而【定理 4.3】反映的是任意1n个n维向量必定线性相关，亦说明n维向量的集合至多有n个向量线性无关.5 非齐次线性方程组有解的判定【定理 4.4】设A是m n矩阵，线性方程组Axb有解的充分必要条件是系数矩阵A的秩等于增广矩阵A的秩，即()()r Ar A（或者说，b可由A的列向量12,n 线性表出，亦等价于12,n 与12,nb 是等价向量组）.【定理 4.5】设A是m n矩阵，方程组.Axb（1）有唯一解()().rrn （4.5）（2）有无穷多解()().rrn （4.6）（3）无解()1().rr （4.7）6 非齐次线性方程组解的结构【定理 4.6】如n元线性方程组xb

28、 有解，设12,t 是相应齐次方程组0 x 的基础解系，是xb 是一个解，则1 122ttkkk是xb 的通解.【注意】（1）如12,是xb 的解，则12是0 x 的解.（2）如是xb 的解，是0 x 的解，则k仍是的解.（3）如有唯一解，则0 x 只有零解；反之，当0 x 只有零解时，没有无穷多解（可能无解，也可能只有唯一解，这一点要理解清楚）.7 克莱姆（Cramer）法则 线性方程组11 11221121 1222221 122.,nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb 如果系数行列式0,D 则方程组有唯一解，即 1212,nnDDDxxxDCD

29、 （4.8）其中jD是把D中jx的系数换成常数项.三典型题型分析及解题方法与技巧 题型（一）线性方程组解的基本概念 【例 4.2】A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组0.x （1）如A中每行元素之和均为 0，且()1,rn 则方程组的通解是 .（2）如每个n维向量都是方程组的解，则()_.r （3）如()1,rn，且代数余子式110,则0 x 的通解是 ，*0 x的通解是 ，*()0 x的通解是 .【分析】（1）从()1,rn 知0 x 的基础解系由 1个解向量组成，因此任一非零解都可成为基础解系.因为每行元素之和都为 0，有 12121110,iiiniiinaaaaaa 所以，(1,1,1)T

30、满足每一个方程，是0 x 的解，故通解是(1,1,1).Tk （2）每个n维向量都是解，因而有n个线性无关的解，那么解空间的维数是n，又因解空间维数是(),nr故(),nnr即()0.r （3）对0 x，从()1,rn 知解空间是 1维的.因为*0,的每一列都是0 x 的解.现已知110,故11121(,)Tn是0 x 的非零解，即是基，所以通解是11121(,).Tnk AAA 对*0,x从()1rn 知（参看【例 2.28】），那么*0 x的解空间是*()1nrn维，从*0 知的每一列都是*0 x的解，由于代数余子式110,知1n维向量 122221323323(,),(,),(,)TTT

31、nnnnnnaaaaaaaaa 线性无关，那么延伸为n维向量 122221323323(,),(,),(,)TTTnnnnnnaaaaaaaaa 仍线性无关（参看【定理 2.3】），即是*0 x的基础解系，通解略.对*()0 x，同上知*()1,r 据【例 2.28】知当3n 时，*()0,r 那么任意n个线性无关的向量都可构成基础解系.例如，取 12(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)TTTneee 得通解1 12 2.n nk ek ek e 如对于11122122,aaaa 有2212*2111.aaaa 于 是1112*2122(),aaaa 那 么*()0 x的 通 解 是

32、2221aka（注：*11220,0,()1ar ）.【例 4.3】选择题 （1）对于n元方程组，下列命题正确的是（）.（A）如0 x 只有零解，则xb 有唯一解 （B）如0 x 有非零解，则xb 有无穷多解 （C）如xb 有两个不同的解，则0 x 有无穷多解 （D）如xb 有唯一解的充要条件是()rn （2）已知1234,是0 x 的基础解系，则此方程组的基础解系还可选用（）.（A）12233441,（B）1234,的等价向量组1234,（C）1234,的等秩向量组1234,（D）12233441,（3）已知12,是xb 的两个不同的解，12,是相应齐次方程组0 x 的基础解系，12,k k

33、是任意常数，则xb 的通解是（）.（A）1211212()2kk （B）1211212()2kk （C）1211212()2kk （D）1211212()2kk 【例 4.4】已知123(9,1,2,11),(1,5,13,0),(7,9,24,11)TTT 是方程组 1 122334411223442123443,32,94.a xa xa xa xdxb xxb xdxxxc xd 的三个解，求此方程组的通解.【分析】求xb 的通解关键是求0 x 的基础解系，1223,都是0 x 的解，现在就要判断秩()r A，以确定基础解系中向量的个数.【解】是3 4矩阵，()3,r 由于中第二、三两行

34、不成比例，故()2,r 又因 112223(10,6,11,11),(8,4,11,11)TT 是0 x 的两个线性无关的解，所以4()2,r 因此()2r ，所以11 122kk是通解.【注意】不要花时间去求出方程组，那是烦琐的；由于1213,或3132,等都可构成解空间的基，123,都是特解，本题答案不唯一.【例 4.5】已知12(0,0,1,0),(1,1,0,1)TT 是齐次线性方程组（）的基础解系，1(0,1,1,0)T，2(1,2,2,1)T 是齐次线性方程组（）的基础解系，求齐次线性方程组（）、（）的公共解.【解法一】方程组（）与（）的通解分别是 与 若有不全为 0 的常数121

35、2,c c d d使 1 1221 122.ccdd 则1 122cc就是方程组（）、（）的非零公共解.由于 01011012011210110121101010 通解为(1,1,1,1),Tt即 1212,.cct dt dt 有非零公共解12()(1,1,1,1).Ttt 【解法二】若1 122212122(,2,2,)Tlll ll ll l 是公共解，则它可由12,线性表出.212122121220110201211020010lllllllllll 可见12ll 时，121 12212(,)(,)2.rllr 故公共解是12()(1,1,1,1).Tll 题型（二）线性方程组的求解

36、【例 4.6】解齐次方程组12341234123424270,36430,5104250.xxxxxxxxxxxx 【例 4.7】解方程组12341241346223,1,232.xxxxxxxxxx 【解】对增广矩阵高斯消元化为阶梯形 622131101111011201322013262213 110111101121102110.425373 由()()3,rr 方程组有解，()1nr 有 1个自由变量.先求相应齐次线性方程组的基础解系，令32,x 解出4210,1,1,xxx 所以齐次方程组通解是(1,1,2,0).Tk 再求非齐次线性方程组的特解，令30,x 解出421335,714

37、14xxx特解为533(,0,)14147T.所以，方程组的通解是：533(,0,)(1,1,2,0).14147TTk 【注意】阶梯形矩阵描述的同解方程组是：12423441,20,73.xxxxxxx 由于()3,r 可将124,x x x留在等号的左端，把3x移至等号右边，得 12424341,2,73.xxxxxxx 3x是自由变量，令30 x 可得非齐次线性方程组的特解.令31,x 可得导出组的基础解系.用高斯消元化阶梯形时，必须仔细计算，否则下面的计算都是徒劳的，求基础解系时，不要把方程组的常数项混进去作运算.题型（三）含有参数的方程组解的讨论 【例 4.8】讨论,a b取何值时，

38、下列方程组无解、有唯一解、有无穷多解，有解时求出其解.13412341341234226,230,3618,4913.xxxxxxaxxaxxxxxxb 题型（四）有关线性方程组命题的证明 【例 4.10】已知线性方程组 （）11 112212221 12222221 122220,0,0.nnnnnnn nna xa xaxa xa xaxa xa xax 的一个基础解系为111212212222122(,),(,),(,).TTTnnnnn nbbbbbbbbb 试写出线性方程组 （）1111221221122222112220,0,0.nnnnnnn nnb yb ybyb yb yby

39、b yb yby 的通解，并说明理由.【分析】为简明，方程组（），（）分别表示为 0,0.xy 由于B的每一行都是（）的解，有0,TAB 于是()0,TTTBAAB 可见A的行向量是方程组（）的解.由于B的行向量是（）的基础解系，知的行向量线性无关(),rn 且2(),nrn 那么(),rn 的行向量线性无关.并且（）的解空间是2()nrn 维，因此的行向量是（）解空间的一组基.【解】（）的通解为 11112122212222122(,)(,)(,)TTTnnnnnn nk aaak aaak aaa 其中12,nk kk是任意常数.理由同前略.【注意】要证12,t 是0 x 的基础解系，应证

40、明三点：（1）12,t 是0 x 的解；（2）12,t 线性无关；（3）()tnr或12,t 可表示0 x 的任一解.而（3）提供了证明基础解系的两种基本方法.【例 4.11】是m n矩阵，mn，且的行向量线性无关，是()nnm矩阵，的列向量线性无关，且0,证明如是齐次方程组0 x 的解，则x 有唯一解.【证明】由于行秩、列秩都等于矩阵的秩，故(),().rm rnm 因为0 x，所以12(,)n m 的每一列都是齐次方程组0 x 的解，且是nm个线性无关的解.又因0 x 解空间的维数是(),nrnm 于是12,n m 是解空间的一组基，那么可由12,n m 线性表出且表示法唯一.设 1122

41、n mn mccc 112212(,),n mn mn mcccccc 即x 有唯一解12(,).Tn mc cc 【例 4.12】设()ija 是m n矩阵，12(,)nb bb是n维行向量，如果方程组（）0 x 的解全是方程（）1 1220nnb xb xb x的解，证明可用的行向量12,m 线性表出.【证明】构造一个联立方程组 （）11 112211 1221 1220,0,0.nnmmmnnnna xa xa xa xaxaxb xb xb x 简记为0Cx，显然，（）的解必是（）的解全是（）的解，于是（）的解也必全是（）的解，所以（），（）是同解方程组，它们有相同的解空间，从而()(

42、),nrnr C 得到即 因此极大线性无关组所含向量个数相等，这样12,m 的极大线性无关组也必是1,maa的极大线性无关组，从而可由12,ma aa线性表出.【例 4.13】已知方程组 （）11112211211222221122,.nnnnmmmnnma ya ya yba ya ya yba yayayb 有解，证明方程组（）11 1212112122221120,0,20.mmmmnmnma xa xa xa xa xaxa xa nxax 的任意一组解必是方程（）1 1220mmb xb xb x的解.【证法一】记方程组（）的系数矩阵为，增广矩阵是，由于（）有解，故()().rr 那

43、么12(,)Tmb bb可用的列向量线性表出.联立（）、（），得方程组（）显然，系数矩阵是,T由于()()()(),TTrrrr 可见方程组（）中最后一个方程是多余的，即（）与（）是同解方程组，这就是（）的任一解必是（）的解.【证法二】记121212(,),(,),(,).TTTnmmyy yyxx xxbb bb 由于（）有解，故存在y使yb，那么.TTTby 设x是方程组（）0Tx的任一解，于是00,TTTTb xyxy 即1 1220,mmb xb xb x即（）的解必是（）的解.第五章 n阶矩阵的特征值与特征向量 一、本单知识串讲 矩阵的特征值问题一直是“数学一”的热门话题，全国统考以

44、来涉及特征值的题目平均每年有一题，占线性代数总分的三分之一强，读者应认真复习.首先，要会求特征值与特征向量，对于抽象给出的矩阵要会用定义求解（实际是求特征值的取值范围）；对于具体的数字矩阵，一般先从特征方程0E 求出特征值（应有n个，含重根），再解齐次方程组()0Ex，基础解系就是所对应的线性无关的特征向量.相似对角化是重点，要掌握能对角化的条件，注意一般矩阵与实对称矩阵在对角化方面的联系与区别，既要能求出矩阵的相似标准形的相似标准形（当能对角化时），也要会用特征值、特征向量.相似、可对角化等确定的参数，乃至反求.会利用对角化求.n 二、大纲考查要点诠释 1 矩阵的特征值与特征向量的概念 【定

45、义 5.1】是n阶矩阵，若存在数及非零的n维列向量X，使得 XX （5.1）成立，则称是矩阵的特征值，X是矩阵属于特征值的特征向量.【注意】特征向量是非零向量，这一点在推导论证过程中是常用的.【例 5.1】若12,是矩阵不同的特征值，1X是对应于1的特征向量，则1X不是2的特征向量.【证明】（反证法）若1X是2所对应的特征向量，则11121,XXX 于是121()0,X从12得到10,X 与特征向量非零相矛盾.【定义 5.2】行列式()fE称为矩阵的特征多项式，0E 称为矩阵的特征方程.特征方程0E 是的n个根就是矩阵的n个特征值.如()ija 是 3阶矩阵，则 （5.2）【注意】如是的特征值

46、，则0E，因此是不可逆矩阵；如不是的特征值，则0E，从而是可逆矩阵，特别地，0是的特征值0 不可逆.0 x 的基础解系就是0的线性无关的特征向量.2 特征值与特征向量的求法 要会从定义出发，利用抽象给出矩阵的性质推导特征值的取值.对于具体的数字矩阵，应先从特征方程0E 求出特征值i，再解齐次方程组()0,iE 其基础解系就是矩阵关于特征值i的特征向量.3 特征值与特征向量的性质 （1）如果12,XX都是特征值i所对应的特征向量，则12,XX的线性组合（非 0）仍是属于i的特征向量.这说明i的特征向量不是唯一的，但反过来，一个特征向量只能属于一个特征值（【例5.1】）.(2)不同特征值的特征向量

47、是线性无关的，并且当i是矩阵的k重特征值时，矩阵属于i的线性无关的特征向量的个数不超过k个.由于只有n个特征值，所以的特征向量虽有无穷多个，但线性无关的至多只有n个，并且，如果12,是矩阵的不同特征值，12,XX分别是12,的特征向量，那么1X与2X的线性组合1122k Xk X不再是的特征向量.（请用反证法证明，并且不要与性质（1）相混淆！往届考生在这出错较多）（3）特征值的和等于矩阵主对角线上元素之和，特征值的乘积等于矩阵行列式的值.即 111,.nnniijiiiia （5.3）这条性质在相似对角化，证明可逆，求行列式的值等方面非常重要.【例 5.2】矩阵110101011 的特征值是（

48、）.（A）1，1，0 （B）1，-1，-2 （C）1，-1，2，（D）1，1，2 【分析】虽可由特征方程0E 求出的特征值，再来确定选项，但这样较烦，可利用（5.3）来解，由于2,iia 故（B）（D）应排除.那么，只要再计算的值就可知应选（A）还是（C）（如0,先（A），否则选（C）.【例 5.3】设(1,0,1)T，矩阵,T n为正整数，则_.naE 【分析】由于2()2,TT 且()1r ，则的特征值是 2，0，0.于是n的特征值是2,0,0.n进而有naE 的特征值是2,.naa a所以2(2).nnaEaa 4 相似矩阵的概念与性质 【定义 5.3】设,是n阶矩阵，如存在可逆矩阵P，

49、使1,PP 则称与相似，记为.如,EE 从而,有相同的特征值 （5.4）111nnniiiiiiiiab （,有相同的迹）（5.5）()()rr （5.6）（5.7）【注意】这些都必要条件，可排除那些矩阵不相似，亦可用来确定相似矩阵的一些参数.5.矩阵可相似对角化的充分必要条件 【定义 5.4】n阶矩阵如果与对角矩阵相似，则称可以相似对角化，记成，并称是的相似标准形.【注意】如果1,PP 则对角线上的元素是的全部特征值,P的每一列是对应的特征向量.与对角矩阵相似的充要条件：（1）有n个线性无关的特征向量；（5.8）（2）的每个特征值中，线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重根数.（5.9

50、）【注意】如果，且0是k重特征值，则0应有k个线性无关的特征向量，即齐次方程组0()0Ex基础解系应含0()nrEk 个向量，故可通过秩0()rE来判断是否能对角化.与 对 角 矩 阵 相 似 的 充 分 条 件：有n个 不 同 的 特 征 值.(5.10)6 化为对角矩阵的解题步骤 （1）先求出的特征值12,;n （2）再求所对应的线性无关的特征向量12,;nXXX （3）构造可逆矩阵12(,)nPXXX，则 .7 实对称矩阵必可对角化 实对称矩阵有下列特征：（1）特征值全是实数，特征向量都是实向量；（5.11）（2）不同特征值的特征向量互相正交；（5.12）（3）k重特征值必有k个线性准无