考研数学复习全书(理工类)二.pdf

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1、（2）2*();nAAA=1*;(2)nAAn=（3.4）（3）*1*();nkA k A=*()();TTAA=（3.5）（4）*,(),()1,()1,0,()1;nrAnrArAnrAn=所以，A可逆.由于111213111213*212223212223313233313233(),TaaaAAAAaaaAAAAaaaAAA =即*,TAA=那么对*AA AE=两边取行列式，有23,TAA AAEA=i得2(1)0.AA=从而1.A=【例 3.27】A是n阶矩阵，如对任意常数项,nb R线性方程组均有解，证明A可逆.【证 明】对A按 列 分 块，记12(,)nAaaa=，则 方 程 组

2、Axb=转 化 为1 122.n nx a x ax ab+=由于,nb R 方程组总有解，即12,naaa可表示任一个n维向量，那么12,naaa是nR的一组基，从而12()(,).nrAr aaan=即A可逆.【例 3.28】已知,XY是相互正交的n维列向量，证明TE XY+可逆.【证法二】令,TTA E XYB XY=+=由20B=有2()0,A E=那么(2),A E AE=即A可逆.【例 3.29】,AB是n阶矩阵，0,E BA=则齐次方程组()0E BA x=有非零解，设是其非零解，那么0.BA=（*）对于齐次方程组()0,E AB x=由于()()()0,E AB AAAB AA

3、ABAAA=从（*）式易见0.A 这样()0E AB x=有非零解,A 这与E AB可逆相矛盾.【评注】这些例题是本章考点诠释中第 7 条的详细说明，希望读者能熟悉可逆证明的常用方法.题型（六）求解矩阵方程【解题思路】解矩阵方程AX B=的基本方法有方法1若A可逆，则1,XA B=可用行变换求,X即()().ABEX（3.14）方法2若A不可逆，则可用高其消元法化为阶梯形方程组，()(),AB 只用行变换(3.15)然后对每列常数项分别求解.方法3对于方程,XAB=若A可逆，则可用列变换求X，即.AEBX 只用列变换（3.16）【例 3.32】设 3 阶方阵,AB满足关系式16,A BA A

4、BA=+且10 03100,410 07A=则_.B=【解】由A可逆，右乘1A有：16,A BE B=+移项莉1()6,AEBE=于是11111()6().6BAEAE=由134,7A=有123,6AE=从而32.1B=【例 3.33】设 4 阶矩阵110021340 1100 213,0 0110 0 210 0010 0 0 2BC=满足关系式1(),TTAE C B CE=求.A【解】由于11()()(),TTTTAE C B CACE C BAC B=于是11112121().32112143210121TAC B=【评注】解矩阵方程一般应先化简（如【例 3.32】，【例 3.33】）

5、，不要急于把已知数据代入，恒等变形应正确，常见错误有(),AX XXA E=或由AX B=得1X BA=等，对于纯数字型的矩阵方程可用初等变换（3.14）（3.16）求解，如【例 3.30】，【例 3.31】.第四章线性方程组一、本章知识串讲线性方程组是线性代数的基础内容之一，首先应当会解方程组，主要方法是高斯消元法，特殊情况可考虑用克莱姆法则.特别地，当方程组中有参数时，讨论解的各种情况时不要遗漏；其次，齐次方程组0Ax=总是有解的，我们关心的问题是它何时有非零解？有多少非零解？如何表示每个解？这就有解空间，解空间的基（即基础解系）等概念，要掌握基础解系的求法；再其次，对于非齐次线性方程组,

6、Axb=要理解解的结构，有解的判定等问题；最后应注意方程组与向量组线性表示及秩之间的联系，要了解方程组与空间平面的关系.二、大纲考查要点诠释1线性方程组的各种表达形式11 11221121 1222221 122,n nn nmmmnnmax axax bax axax ba x a xa x b+=+=+=（4.1）可用矩阵乘法表示为：.Axb=（4.2）如果对系数矩阵A按列分快，方程组有向量形式1122.n nxxxb+=（4.3）2齐次方程组0Ax=恒有解（必有零解）当有非零解时，由于解向量的任意线性组合仍是该齐次方程组的解向量，因此0Ax=的全体解向量构成一个向量空间，称为该方程组的解

7、空间.解空间的维数是(),n rA解空间的一组基称为齐次方程组的基础解系.3 如12,t是0Ax=的基础解系，即12,t是0Ax=的解，12,t线性无关，且().t n rA=（4.4）1 122t tkkk+是0Ax=的通解.基础解系中解向量的个数是(),()n rA n rA也是每个解向量中自由变量的个数.求基础解系时，可对A作初等行变换化为阶梯形矩阵，称每个非零行中第一个非 0 系数所代表的未知数是主元（共有()rA个主元），那么剩余的其它未知数就是自由变量（共有()n rA个），对自由变量按阶梯形赋值后，再代入求解就可得到基础解系.【例 4.1】若某齐次方程组经高斯消元，化为10213

8、15423则()532,n rA=基础解系由 2 个向量组成.此时134,xxx是主元，25,x x是自变量，因而可赋值为12(,1,0),(,0,2).TT=由下往上代入求解，得12(0,1,0,0,0),(3,0,3,3,2).TT=【注】因为(1,0),(0,2)线性无关，延伸后12,必线性无关，在2中令52,x=是考虑4x的系数是 2，为回避分数运算而设定的，通常是令51.x=要理解基础解系，应正确迅速求解.4齐次方程组有非零解的判定【定理 4.1】设A是m n矩阵，齐次方程组0Ax=有非零解的充要条件是(),rAn亦即A的列向量线性相关.特别地，【定理 4.2】如A是n阶矩阵，0Ax

9、=有非零解的充要条件是0.A=【定理 4.3】有非零解的充分条件是m n（即方程个数）未知数个数.【注意】如0,AB=则B的每一列都是0Ax=的解，当0B时，蕴涵0Ax=有非零解，进而有()().rA rBn+齐次方程组有非零解，关键在于系数矩阵的秩要小于未知数的个数（亦是系数矩阵中列向量的个数），【定理 4.2】用行列式是有条件的，不要混淆，而【定理 4.3】反映的是任意1n+个n维向量必定线性相关，亦说明n维向量的集合至多有n个向量线性无关.5非齐次线性方程组有解的判定【定理 4.4】设A是m n矩阵，线性方程组Axb=有解的充分必要条件是系数矩阵A的秩等于增广矩阵A的秩，即()()rAr

10、A=（或者说，b可由A的列向量12,n 线性表出，亦等价于12,n 与12,nb 是等价向量组）.【定理 4.5】设A是mn矩阵，方程组.Axb=（1）有唯一解()().rrn=（4.5）（2）有无穷多解()().rrn=（4.6）（3）无解()1().rr+=（4.7）6非齐次线性方程组解的结构【定理 4.6】如n元线性方程组x b=有解，设12,t是相应齐次方程组0 x=的基础解系，是x b=是一个解，则1 122t tkkk+是x b=的通解.【注意】（1）如12,是x b=的解，则12 是0 x=的解.（2）如是x b=的解，是0 x=的解，则k+仍是的解.（3）如x b=有唯一解，则

11、0 x=只有零解；反之，当0 x=只有零解时，x b=没有无穷多解（可能无解，也可能只有唯一解，这一点要理解清楚）.7克莱姆（Cramer）法则线性方程组11 11221121 1222221 122.,n nn nnnnnnna x a xa x ba x a xa x ba x a xa x b+=+=+=如果系数行列式0,D=则方程组有唯一解，即1212,nnDDDxxxDCD=（4.8）其中jD是把D中jx的系数换成常数项.三典型题型分析及解题方法与技巧题型（一）线性方程组解的基本概念【例 4.2】A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组0.x=（1）如A中每行元素之和均为 0，且()1,rn

12、=则方程组的通解是.（2）如每个n维向量都是方程组的解，则()_.r=（3）如()1,rn=，且代数余子式110,则0 x=的通解是，*0 x=的通解是，*()0 x=的通解是.【分析】（1）从()1,rn=知0 x=的基础解系由 1 个解向量组成，因此任一非零解都可成为基础解系.因为每行元素之和都为 0，有12121110,iiiniiinaaaaaa+=+=iii所以，(1,1,1)T满足每一个方程，是0 x=的解，故通解是(1,1,1).Tk（2）每个n维向量都是解，因而有n个线性无关的解，那么解空间的维数是n，又因解空间维数是(),n r 故(),n n r=即()0.r=（3）对0

13、x=，从()1,rn=知解空间是 1 维的.因为*0,=的每一列都是0 x=的解.现已知110,故11121(,)Tn 是0 x=的非零解，即是基，所以通解是11121(,).TnkA AA对*0,x=从()1rn=知（参看【例 2.28】），那么*0 x=的解空间是*()1n rn =维，从*0=知的每一列都是*0 x=的解，由于代数余子式110,知1n维向量122221323323(,),(,),(,)TTTnnnnnna aaa aaa aa线性无关，那么延伸为n维向量122221323323(,),(,),(,)TTTnnnnnna aaa aaa aa仍线性无关（参看【定理 2.3】

14、），即是*0 x=的基础解系，通解略.对*()0 x=，同上知*()1,r=据【例 2.28】知当3n时，*()0,r=那么任意n个线性无关的向量都可构成基础解系.例如，取12(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)TTTneee=得通解1 12 2.n nk e k ek e+如对于11122122,aaaa=有2212*2111.aaaa=于 是1112*2122(),aaaa=那 么*()0 x=的 通 解 是2221aka（注：*11220,0,()1ar=）.【例 4.3】选择题（1）对于n元方程组，下列命题正确的是（）.（A）如0 x=只有零解，则x b=有唯一解（B）如0

15、x=有非零解，则x b=有无穷多解（C）如x b=有两个不同的解，则0 x=有无穷多解（D）如x b=有唯一解的充要条件是()rn=（2）已知1234,是0 x=的基础解系，则此方程组的基础解系还可选用（）.（A）12233441,+（B）1234,的等价向量组1234,（C）1234,的等秩向量组1234,（D）12233441,+（3）已知12,是x b=的两个不同的解，12,是相应齐次方程组0 x=的基础解系，12,kk是任意常数，则x b=的通解是（）.（A）1211212()2kk +（B）1211212()2kk +（C）1211212()2kk +（D）1211212()2kk

16、+【例 4.4】已知123(9,1,2,11),(1,5,13,0),(7,9,24,11)TTT=是方程组1 122334411223442123443,32,94.a x ax ax ax dx bxx bx dxx x cx d+=+=+=的三个解，求此方程组的通解.【分析】求x b=的通解关键是求0 x=的基础解系，1223,都是0 x=的解，现在就要判断秩()rA，以确定基础解系中向量的个数.【解】是3 4矩阵，()3,r 由于中第二、三两行不成比例，故()2,r 又因112223(10,6,11,11),(8,4,11,11)TT =是0 x=的两个线性无关的解，所以4()2,r

17、因此()2r=，所以11 12 2kk+是通解.【注意】不要花时间去求出方程组，那是烦琐的；由于1213,或3132,等都可构成解空间的基，123,都是特解，本题答案不唯一.【例 4.5】已知12(0,0,1,0),(1,1,0,1)TT=是齐次线性方程组（）的基础解系，1(0,1,1,0)T=，2(1,2,2,1)T=是齐次线性方程组（）的基础解系，求齐次线性方程组（）、（）的公共解.【解法一】方程组（）与（）的通解分别是与若有不全为 0 的常数1212,ccdd使1 12 21 12 2.ccdd+=+则1 12 2cc+就是方程组（）、（）的非零公共解.由于01 011 01201121

18、 011 0121101010通解为(1,1,1,1),Tt即1212,.c c t dt dt=有非零公共解12()(1,1,1,1).Ttt+=【解法二】若1 12 22 12 12 2(,2,2,)Tllllllll+=+是公共解，则它可由12,线性表出.21212212122011 0201211 020010lllllllll ll+可见12ll=时，12 1 12 212(,)(,)2.rllr+=故公共解是12()(1,1,1,1).Tll=题型（二）线性方程组的求解【例 4.6】解齐次方程组12341234123424270,36430,5104250.xxxxxxxxxxxx

19、+=+=+=【例 4.7】解方程组12341241346223,1,232.xxx xx xxxxx+=+=+=【解】对增广矩阵高斯消元化为阶梯形62 2 13110 11110 112 0 13 22 0 13 262 2 13 =110 11110 112 1102 110.425373 由()()3,rr=方程组有解，()1n r =有 1 个自由变量.先求相应齐次线性方程组的基础解系，令32,x=解出4210,1,1,xxx=所以齐次方程组通解是(1,1,2,0).Tk 再求非齐次线性方程组的特解，令30,x=解出421335,71414xxx=特解为533(,0,)14147T.所以

20、，方程组的通解是：533(,0,)(1,1,2,0).14147TTk+【注意】阶梯形矩阵描述的同解方程组是：12423441,20,73.x xxxxxx+=+=由于()3,r=可将124,xx x留在等号的左端，把3x移至等号右边，得12424341,2,73.x x xx xxx+=+=3x是自由变量，令30 x=可得非齐次线性方程组的特解.令31,x=可得导出组的基础解系.用高斯消元化阶梯形时，必须仔细计算，否则下面的计算都是徒劳的，求基础解系时，不要把方程组的常数项混进去作运算.题型（三）含有参数的方程组解的讨论【例 4.8】讨论,ab取何值时，下列方程组无解、有唯一解、有无穷多解，

21、有解时求出其解.13412341341234226,230,3618,4913.xxxx xx axxax xx xxx b+=+=+=+=题型（四）有关线性方程组命题的证明【例 4.10】已知线性方程组（）11 112 212221 122222 21 12 2220,0,0.nnnnnnnnnax axa xax axa xax axa x+=+=+=的一个基础解系为111212212222122(,),(,),(,).TTTnnnnnnb bbb bbb bb试写出线性方程组（）11112 21221 122222112 220,0,0.n nn nnnnn nby byb yby by

22、b yby byb y+=+=+=的通解，并说明理由.【分析】为简明，方程组（），（）分别表示为0,0.xy=由于B的每一行都是（）的解，有0,TAB=于是()0,TT TBAAB=可见A的行向量是方程组（）的解.由于B的行向量是（）的基础解系，知的行向量线性无关(),rn=且2(),n rn =那么(),rn=的行向量线性无关.并且（）的解空间是2()n rn =维，因此的行向量是（）解空间的一组基.【解】（）的通解为11112122212222122(,)(,)(,)TTTnnnnnnnka aak a aak a aa+其中12,nkkk是任意常数.理由同前略.【注意】要证12,t是0

23、x=的基础解系，应证明三点：（1）12,t是0 x=的解；（2）12,t线性无关；（3）()t n r=或12,t可表示0 x=的任一解.而（3）提供了证明基础解系的两种基本方法.【例 4.11】是m n矩阵，m n，且的行向量线性无关，是()n n m 矩阵，的列向量线性无关，且0,=证明如是齐次方程组0 x=的解，则x =有唯一解.【证明】由于行秩、列秩都等于矩阵的秩，故(),().rmrn m=因为0 x=，所以12(,)nm=的每一列都是齐次方程组0 x=的解，且是n m个线性无关的解.又因0 x=解空间的维数是(),n rn m =于是12,nm 是解空间的一组基，那么可由12,nm

24、 线性表出且表示法唯一.设1122nmnmccc=+112212(,),nmnmnmcccccc=即x =有唯一解12(,).Tnmccc【例 4.12】设()ija=是m n矩阵，12(,)nbbb=是n维行向量，如果方程组（）0 x=的解全是方程（）1 1220n nb x bxbx+=的解，证明可用的行向量12,m 线性表出.【证明】构造一个联立方程组（）11 112211 1221 1220,0,0.n nmmmnnn nax axaxa x a xa xb x bxbx+=+=+=简记为0Cx=，显然，（）的解必是（）的解全是（）的解，于是（）的解也必全是（）的解，所以（），（）是同

25、解方程组，它们有相同的解空间，从而()(),n rn r C =得到即因此极大线性无关组所含向量个数相等，这样12,m 的极大线性无关组也必是1,maa 的极大线性无关组，从而可由12,maaa线性表出.【例 4.13】已知方程组（）11112 21121 122222112 2,.n nn nmmmn nmay ayay bay aya y ba y a ya y b+=+=+=有解，证明方程组（）11 121 2112 122221120,0,20.mmmmnmnmax axa xax axa xax anxa x+=+=+=的任意一组解必是方程（）1 12 20m mb x bxbx+=

26、的解.【证法一】记方程组（）的系数矩阵为，增广矩阵是，由于（）有解，故()().rr=那么12(,)Tmbbb可用的列向量线性表出.联立（）、（），得方程组（）11 121 2111221 12 20,0,0.mmnnmnmm max axa xax axa xb x bxbx+=+=+=显然，系数矩阵是,T由于()()()(),TTrrrr=可见方程组（）中最后一个方程是多余的，即（）与（）是同解方程组，这就是（）的任一解必是（）的解.【证法二】记121212(,),(,),(,).TTTnmmyyyyxxxxb bbb=由于（）有解，故存在y使y b=，那么.TTTby=设x是方程组（）0

27、Tx=的任一解，于是0 0,TTTTbx yx y=即1 12 20,m mb x bxbx+=即（）的解必是（）的解.第五章n阶矩阵的特征值与特征向量一、本单知识串讲矩阵的特征值问题一直是“数学一”的热门话题，全国统考以来涉及特征值的题目平均每年有一题，占线性代数总分的三分之一强，读者应认真复习.首先，要会求特征值与特征向量，对于抽象给出的矩阵要会用定义求解（实际是求特征值的取值范围）；对于具体的数字矩阵，一般先从特征方程0E=求出特征值（应有n个，含重根），再解齐次方程组()0Ex=，基础解系就是所对应的线性无关的特征向量.相似对角化是重点，要掌握能对角化的条件，注意一般矩阵与实对称矩阵在

28、对角化方面的联系与区别，既要能求出矩阵的相似标准形的相似标准形（当能对角化时），也要会用特征值、特征向量.相似、可对角化等确定的参数，乃至反求.会利用对角化求.n二、大纲考查要点诠释1矩阵的特征值与特征向量的概念【定义 5.1】是n阶矩阵，若存在数及非零的n维列向量X，使得XX=（5.1）成立，则称是矩阵的特征值，X是矩阵属于特征值的特征向量.【注意】特征向量是非零向量，这一点在推导论证过程中是常用的.【例 5.1】若12,是矩阵不同的特征值，1X是对应于1的特征向量，则1X不是2的特征向量.【证明】（反证法）若1X是2所对应的特征向量，则11121,XXX=于是121()0,X=从12 得到

29、10,X=与特征向量非零相矛盾.【定义 5.2】行列式()fE=称为矩阵的特征多项式，0E=称为矩阵的特征方程.特征方程0E=是的n个根就是矩阵的n个特征值.如()ija=是 3 阶矩阵，则（5.2）【注意】如是的特征值，则0E=，因此E 是不可逆矩阵；如不是的特征值，则0E，从而E 是可逆矩阵，特别地，0 是的特征值0=不可逆.0 x=的基础解系就是0=的线性无关的特征向量.2特征值与特征向量的求法要会从定义出发，利用抽象给出矩阵的性质推导特征值的取值.对于具体的数字矩阵，应先从特征方程0E=求出特征值i，再解齐次方程组()0,iE 其基础解系就是矩阵关于特征值i的特征向量.3特征值与特征向

30、量的性质（1）如果12,X X都是特征值i所对应的特征向量，则12,X X的线性组合（非 0）仍是属于i的特征向量.这说明i的特征向量不是唯一的，但反过来，一个特征向量只能属于一个特征值（【例5.1】）.(2)不同特征值的特征向量是线性无关的，并且当i是矩阵的k重特征值时，矩阵属于i的线性无关的特征向量的个数不超过k个.由于只有n个特征值，所以的特征向量虽有无穷多个，但线性无关的至多只有n个，并且，如果12,是矩阵的不同特征值，12,X X分别是12,的特征向量，那么1X与2X的线性组合1122k XkX+不再是的特征向量.（请用反证法证明，并且不要与性质（1）相混淆！往届考生在这出错较多）（

31、3）特征值的和等于矩阵主对角线上元素之和，特征值的乘积等于矩阵行列式的值.即111,.nnniijiiiia=（5.3）这条性质在相似对角化，证明可逆，求行列式的值等方面非常重要.【例 5.2】矩阵110101011=的特征值是（）.（A）1，1，0（B）1，-1，-2（C）1，-1，2，（D）1，1，2【分析】虽可由特征方程0E=求出的特征值，再来确定选项，但这样较烦，可利用（5.3）来解，由于2,iia=故（B）（D）应排除.那么，只要再计算的值就可知应选（A）还是（C）（如0,=先（A），否则选（C）.【例 5.3】设(1,0,1)T=，矩阵,T=n为正整数，则_.naE =【分析】由于

32、2()2,TT=且()1r=，则的特征值是 2，0，0.于是n的特征值是2,0,0.n进而有naE 的特征值是2,.naaa所以2(2).nnaEa a =4相似矩阵的概念与性质【定义 5.3】设,是n阶矩阵，如存在可逆矩阵P，使1,PP=则称与相似，记为.如,EE=从而,有相同的特征值（5.4）111nnniiiiiiiiab=（,有相同的迹）（5.5）()()rr=（5.6）=（5.7）【注意】这些都必要条件，可排除那些矩阵不相似，亦可用来确定相似矩阵的一些参数.5.矩阵可相似对角化的充分必要条件【定义 5.4】n阶矩阵如果与对角矩阵相似，则称可以相似对角化，记成，并称是的相似标准形.【注

33、意】如果1,PP=则对角线上的元素是的全部特征值,P的每一列是对应的特征向量.与对角矩阵相似的充要条件：（1）有n个线性无关的特征向量；（5.8）（2）的每个特征值中，线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重根数.（5.9）【注意】如果，且0是k重特征值，则0应有k个线性无关的特征向量，即齐次方程组0()0Ex=基础解系应含0()n r Ek =个向量，故可通过秩0()r E 来判断是否能对角化.与 对 角 矩 阵 相 似 的 充 分 条 件：有n个 不 同 的 特 征 值.(5.10)6化为对角矩阵的解题步骤（1）先求出的特征值12,;n（2）再求所对应的线性无关的特征向量12,;nX

34、XX（3）构造可逆矩阵12(,)nPX XX=，则.7实对称矩阵必可对角化实对称矩阵有下列特征：（1）特征值全是实数，特征向量都是实向量；（5.11）（2）不同特征值的特征向量互相正交；（5.12）（3）k重特征值必有k个线性准无关的特征向量，或者说必有秩().r En k =（5.13）可用正交变换化为相似标准形，解题步骤同 6，只是要保证P是正交矩阵，为此（1）当的特征值互不相同时，仅需把特征向量单位化就可用来构造矩阵;P（2）当特征值有重根i时，必须对i的特征向量用 Schmidt 正交化方法先正交化再单位化，才能构造出正交矩阵.P【注意】要掌握用正交变换化实对称矩阵为对角形的方法，这类

35、问题也经常与二次型联系在一起.往届考生在正交矩阵P上出错较多，或者忘了单位化，或者对重特征值没有Schmidt 正交化，要不就是求错了特征向量，希望考生引以为戒.仅实对称矩阵才能用正交变换化为对角形，当不是对称矩阵时，特征值不同的特征向量没有正交性，即使用 Schmidt 正交化，所得112k XX+亦不再是特征向量（参看 3（2），也就不能构造矩阵.P三、典型题型分析及解题方法与技巧题型（一）求矩阵的特征值和特征向量这是基本计算题，必须掌握解题步骤，解题要熟练、正确，考生复习时应多做练习，不能停留在理论上会做.【评注】求特征值时，最好先用行列式的性质提取出的一次因子，然后再展开（如【例5.7

36、】）.上（下）三角矩阵、对角矩阵的特征值就是其对角线上的元素，这类矩阵的特征值虽易得，但特征向量的出错率较高，或不会消元或不会给自由变量赋值（类似于【例 5.6】中求2=的特征向量）.如果不能像【例 5.6】那样直接展开，并且提取的一次因子又实在有困难，可考虑用（5.2）展开再求解.例如，在【例 5.6】中1113222311123133323321220,3,2,iiiaaaaaaaaaaaaa=+=所 以的 特 征 方 程 是：3320.+=设 特 征 值 是123,由123()()()0 =比较系数，知1232=（即（5.3），故可以的因子来分析特征值.【例 5.9】已知求的特征值.【解

37、】设是的一个特征值，X是所应的特征向量,即,XX=用左乘等式两羰，并带入已知条件2,=即有2()(),XXXXXX=于是2()0,X=由于X是特征向量，故0,X从而20.=所以的特征值只能是0 或 1.【评注】由于满足条件2,=的矩阵是很多的，例如,0E均合要求，在这里我们只是求出这一类矩阵的特征值的取值范围，若想明确究竟有哪些特征值，则还需增加条件.【例 5.10】已知,均是 3 阶非零矩阵，且2,=2,0,=证明 0 和1 必是与的特征值，并且若X是关于1=的特征向量，则X必是关于0=的特征向量.【证明】由于2,=的特征值是 0 或 1（【例 5.9】），又因()0,0,E=知齐 次 方

38、程 组()0Ex=有 非 零 解，故0,E=即1=必 是的 特 征 值.据0,0,=得0 x=有非零解，那么00,E=故0必是的特征值.由于已知条件的对称性，0 与 1 必是B的特征值.对于,XX=同时左乘矩阵，得()()000,XXXXX=所以X是矩阵关于0=的特征向量.【例 5.11】是n阶矩阵，,TE xy=+x与y都是1n矩阵，且2,Txy=求的特征值、特征向量.【分析】令,Txy=则,E B=+如是的特征值，X是对应的特征向量，那么()(1).XEXX XX=+=+=+可见1+就是的特征什，X是的关于1+的特征向量.反之，若,XX=则有(1).XX=所以，为求的特征值、特征向量就可转

39、化为求的特征值、特征向量.【解】令1212(,),Tnnxxxyyyyx =则2()()()22,TTTTTxyxy xyxyxy=可见的特征值只能是 0 或 2.因为()1,r=故齐次方程组0 x=的基础解系由1n向量组成，则11121122122212000.000nnnnnn nx yx yx yy yyxy xyxyxy xyxy =基础解系是：12123111(,0,0),(,0,0),(,0,0,).TTTnnXy yXyyXyy=这 正 是的关于0,=也就是关于1=的1n个线性无关的特征向量.由于22,=对按列分块，记12(,),n=则1212()2(),nn=即2ii=.可见1

40、2(,)TnnXxxx=是关于2=，也就是关于3=的特征向量.那么，的特征值是1(1)n重和 3，特征向量是112111121,nnnnnk XkXk XkXkkk+不全为 0，0.nk【例 5.12】求111111nnn=的特征值、特征向量，证明可逆，并求1.【解法一】由的特征多项式，得1121212111111111nnnnnnEnn+=11111(21)11nnn=+11111(21)(21)(1),1nnnnnn+=+=+所以的特征值为122 1,1(1).nnn=重根对于12 1,n=解齐次方程组1()0.Ex=111111111100011111000111110000111110

41、00nnnnnn nnnnn n 得到基础解系1(1,1,1).TX=【注】高斯消元时，从第n行开始依次把上一行的（-1）倍加至下一行.是实对称矩阵，必有n个线性无关的特征向量，所以1()1,n r E =即1()0Ex=的基础解系由 1 个向量组成，1(1,1,1)TX=是其非零解，也就是基础解系.对于11,n=齐次方程组2()0Ex=等价于120,nx xx+=得到基础解系23(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1),TTTNXXX=所以的特征向量是：11k X及2233.nnkXkXkX+因为的特征值全不为 0，据（5.3）有11(21)(1)0,nniinn=所以可逆

42、.【解法二】由于(1)nE=+1 1111 111(11 1),1 111 =而211(11 1),1n=所以的特征值只能是 0 或n（参盾【例 5.9】）.由于11,nniiiiibn=故的特征值必是0（1n重），n（单根），那么的特征值是1n（1n重），21n（单根）.由2(1),nEn=+得 2(1)(1),nEnnE=22(3 2)(231)0,nnnE +=2(3 2)(231),nEnnE=+故12222111221(3 2)1.2312311122nnnEnnnnn =+【注】特征向量的求法除了【解法一】之外，亦可类同于【例 5.11】，请读者练习.题型（二）用特征值和特征向量反

43、求矩阵【例5.13】已知其中123(1,2,2),(2,2,1),(2,1,2).TTT=求矩阵.【解】由于iii=知有 3 个不同的特征值 1，2，3.所以12,2=即1.PP=其中123122()221.212P=故172033520.3322233P P=【评注】这是由特征值、特征向量反求矩阵的基本题型，在此思路下可有各种演变.【例 5.15】是 3 阶实对称矩阵，的特征值是 1，-1，0.其中1=与0=的特征向量分别是(1,1)Ta及(,1,1)Taa+，求矩阵【分析】现在的特征值已知，求矩阵就转为应求出的特征向量，一要确定a，一要求出1=的特征向量.已知条件中实对称矩阵能给什么信息呢

44、？题型（三）求矩阵中的参数【例 5.17】已知00110100 x=有三个线性无关的特征向量，求x.【解】由的特征方程20110(1)(1)0,10Ex=得到特征值1=（二重），1.=因为有 3 个线性无关的特征向量，故1=必须有二个线性无关的特征向量（5.9）.那么，必有()32 1.rE =于是1011010000,101000Exx =得0.x=【评注】本题可改为已知，求.x【例 5.18】已知是1353102ab=的特征向量，求,ab的值，并证明的任一特征向量均能由线性表出.【解】按【定义 5.1】,设是所对应的特征向量，则,=即12 115311,10211ab =即12,53,1,

45、2,3.12.abab=+=+=故212533.10 1=由323(2(3)(2)(1 6 2)(1)(1),E=+=+知1=是的三重特征值.又因312()5232,10 1r Er =从而1=对应的线性无关的特征向量只有一个，所以的特征向量均可由线性表出.【例 5.19】已知0330 00,011,214100 01abc=且，求,abc的值.【分析】由于相似矩阵有相同的特征值（5.4），是上三角矩阵，故0,1,1 就是的特征值，因而也就是的特征值，故0,0,E=再利用（5.3）就可得到以,abc为未知数的方程组.【解】由于，它们有相同的特征值，相同的迹，又因是上三角矩阵，故0,1,1 是的

46、特征值，于是有0(10)0(1)(1),b+=+12660,abc=+=151520 150.Eabc =+=解得8,1,10.bac=【例 5.20】设矩阵153,10acbca=行列式1,=又*有一个特征值0,属于0的一个特征向量为(1,1,1),Ta=求,abc及0,的值.【解】据已知有*.EE=对于*0,=用左乘上式两端，得0,=即01115311.1011acbca =由此可得000(1)1,(1)(53)1,(2)(1)1.(3)acbc a+=+=+=（1）（3）得01.=将01=代入（2）和（1）得3,.ba c=由1=和,a c=有153331.10aaaaa=故2.a c=

47、【评注】反问题是孝研的常见题型，常用的思路有1用特征值、特征向量的定义;2利用相似对角化;3利用相似的必要条件;4利用实对称矩阵的特征.题型（四）n阶矩阵能否对角化的判定【例 5.12】是 2 阶矩阵，0,判断能否对角化并说明理由.【解】能对角化.因为120,=故有两个不同的特征值，从而能对角化.【例 5.22】已知2253111ab=有特征值1,问能否对角化？说明理由.【解】由于1是的特征值，将其代入特征方程，有7(1)01,2(3)03,aabb =+=+=所以212533.111=据（5.3），333111(1)2(3)(1)iiiiia=+=+得32.=那么，有 3 个不同的特征值.故

48、可以对角化.题型（五）求矩阵的相似标准形【例 5.24】已知142010,122=求可逆矩阵,P化为相似标准形,并写出对角矩阵.【注】1=是二重根，()1,r =有两个线性无关的特征向量，所以能对角化（5.9）.【例 5.25】三阶矩阵有特征值1和 2，证明*2()=+可以对角化，并求的相似对角形.【证明】由于（请回顾（5.3），*的特征值是2和1.于是*E+的特征值是3,1,0.从而的特征值是9,1,0.因为有三个不同的特征值，所以能对角化（5.10），且91.0=【评注】要熟悉1*2,()kkE +等矩阵特征值、特征向量之间的对应关系.若有特征值0,则依次是上述矩阵的特征值，特征向量不变.【例 5.26】是n阶矩阵，2,(),rr=证明能对角化，并求的相似标准形.【证法一】对按列分块，记由(),rr=知中有r个列向量线性无关，不妨设为12,rX XX因为2,=即1212()(),nnXXXXXX=所以1111,1.rrrXXXXXX=ii那么1=是的特征值，12,rX XX是其线性无关的特征向量.