《三角函数5两角和与差倍角教师.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三角函数5两角和与差倍角教师.pdf（10页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、两角和与差的正弦、余弦和正切 本讲复习应牢记和、差角公式及二倍角公式，准确把握公式的特征，活用公式(正用、逆用、变形用、创造条件用)；同时要掌握好三角恒等变换的技巧，如变换角的技巧、变换函数名称的技巧等 基础梳理 1两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)cos()cos_cos_sin_sin_；(2)cos()cos_cos_sin_sin_；(3)sin()sin_cos_cos_sin_；(4)sin()sin_cos_cos_sin_；(5)tan()tan tan 1tan tan；(6)tan()tan tan 1tan tan.2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 22si
2、n_cos_；(2)cos 2cos2sin22cos2112sin2；(3)tan 22tan 1tan2.3有关公式的逆用、变形等(1)tan tan tan()(1tan_tan_)；(2)cos21cos 22，sin21cos 22；(3)1sin 2(sin cos)2,1sin 2(sin cos)2，sin cos 2sin4.4函数 f()acos bsin(a，b 为常数)，可以化为 f()a2b2sin()或 f()a2b2cos()，其中 可由 a，b 的值唯一确定 两个技巧(1)拆角、拼角技巧：2()()；()；22；222.(2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等 三
3、个变化(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等 双基自测 1下列各式的值为14的是()A2cos2 121 B12sin275 C.2tan 22.51tan222.5 Dsin 15cos 15 解析 2cos2121cos632；12sin275cos 15032；2tan 22.51tan222.5 t
4、an 451；sin 15cos 1512sin 3014.2若 tan 3，则sin 2cos2的值等于()A2 B3 C4 D6 解析 sin 2cos2 2sin cos cos2 2tan a236，故选 D.3已知 sin 23，则 cos(2)等于()A53 B19 C.19 D.53 解析 cos(2)cos2(12sin2)2sin21249119.4设 sin4 13，则 sin 2()A79 B19 C.19 D.79 解析 sin 2cos22 2sin24 12132179.5tan 20tan 40 3tan 20 tan 40_.解析 tan 60tan(2040)
5、tan 20tan 401tan 20tan 40，tan 20tan 40tan 60(1tan 20tan 40)3 3tan 20tan 40，原式 3 3tan 20tan 40 3tan 20tan 40 3.考向一 三角函数式的化简【例 1】化简2cos4x2cos2x122tan4x sin24x.审题视点 切化弦，合理使用倍角公式 解 原式2sin2xcos2x122sin4x cos24xcos4x 121sin22x2sin4x cos4x12cos22xsin22x12cos 2x.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合
6、理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向【训练 1】化简：sin cos 1sin cos 1sin 2.解 原式2sin2cos22sin222sin2cos22sin224sin 2cos 2cos cos2sin 2cos2sin2sin2cos2cos cos22sin22sin2cos2cos cos sin 2cos 2cos tan2.考向二 三角函数式的求值【例 2】已知 02，且 cos219，sin2 23，求 cos()的值 审题视点 拆分角：222，利用平方关系分别
7、求各角的正弦、余弦 解 02，422，42，cos2 1sin22 53，sin2 1cos224 59，cos2cos22cos2cos2 sin2sin2 19534 59237 527，cos()2cos22124957291239729.三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示：(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余互补”关系【训练 2】已知，0，2，sin 45，tan()13，求 cos 的值 解，0，2，22，又tan()130，20.1cos21tan2()109.cos()3 1010，sin(
8、)1010.又sin 45，cos 35.cos cos()cos cos()sin sin()353 10104510101010.考向三 三角函数的求角问题【例 3】已知 cos 17，cos()1314，且 02，求.审题视点 由 cos cos()解决 解 02，02.又cos()1314，cos 17，2，sin 1cos24 37 sin()1cos23 314，cos cos()cos cos()sin sin()1713144 373 31412.02.3.通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函
9、数；若角的范围是0，2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)，选余弦较好；若角的范围为2，2，选正弦较好【训练 3】已知，2，2，且 tan，tan 是方程 x23 3x40 的两个根，求 的值 解 由根与系数的关系得：tan tan 3 3，tan tan 4，tan 0，tan 0，0.又 tan()tan tan 1tan tan 3 314 3.23.考向四 三角函数的综合应用【例 4】(2010北京)已知函数 f(x)2cos 2xsin2x.(1)求 f3的值；(2)求 f(x)的最大值和最小值 审题视点 先化简函数 yf(x)，再利用三角函数的性质求解 解(1)f32cos23s
10、in2313414.(2)f(x)2(2cos2x1)(1cos2x)3cos2x1，xR.cos x1,1，当 cos x1 时，f(x)取最大值 2；当 cos x0 时，f(x)取最小值1.高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查还往往渗透在研究三角函数性质中需要利用这些公式，先把函数解析式化为 yAsin(x)的形式，再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质【训练 4】已知函数 f(x)2sin(x)cos x.(1)求 f(x)的最小正周期；(2)求 f(x)在区间6，2上的最大值和最小值 解：f(x)2sin xcos xsin 2x(
11、1)f(x)的最小正周期 T22.(2)6x2，32x.32sin 2x1.f(x)的最大值为 1，最小值为32.难点突破：角函数求值、求角问题策略 面对有关三角函数的求值、化简和证明，许多考生一筹莫展，而三角恒等变换更是三角函数的求值、求角问题中的难点和重点，其难点在于：其一，如何牢固记忆众多公式，其二，如何根据三角函数的形式去选择合适的求值、求角方法 一、给值求值 一般是给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如()，2()()等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论【示例】已知 tan x42，则tan xtan 2x的值为_ 二
12、、给值求角“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角【示例】(2011南昌月考)已知 tan()12，tan 17，且，(0，)，求 2 的值 三角恒等变换与向量的综合问题 两角和与差的正弦、余弦、正切公式作为解题工具，是每年高考的必考内容，常在选择题中以条件求值的形式考查近几年该部分内容与向量的综合问题常出现在解答题中，并且成为高考的一个新考查方向【示例】已知向量 a(sin，2)与 b(1，cos)互相垂直，其中 0，2.(1)求 sin 和 cos 的值；(2)若 5cos()3 5cos，02，求 co
13、s 的值 习题：1.sin163 sin 223sin 253 sin313 _ 2 2cos()3x 2.化简2cos6sinxx_ 3.若 f(sinx)3cos2x，则 f(cosx)_ 4.化简：sinsin21 coscos2_ 5.化简：（1）42212cos2cos22tan()sin()44xxxx；（2）(1 sincos)(sincos)22(0)22cos（1）分析一：降次，切化弦 解法一：原式=2221(2cos1)22sin()4cos()4cos()4xxxx22(2cos1)4sin()cos()44xxx2cos 22sin(2)2xx1cos22x 分析二：变
14、“复角”为“单角”解法二：原式221(2cos1)21tan222(sincos)1tan22xxxxx22cos 2cossin2(sincos)cossinxxxxxxx1cos22x（2）原式=22(2sincos2cos)(sincos)222224cos222cos(sincos)coscos2222coscos22 0，022，cos02，原式=cos 点评：化简本质就是化繁为简，一般从结构，名称，角等几个角度入手如：切化弦，“复角”变“单角”，降次等等 6 化简22sin2cos1cos2cos2tan2 7 若sintan0 xx，化简1cos2x_ 8 若 04，sin co
15、s =，sin cos=b，则a与b的大小关系是_ 9 若sincostan(0)2，则的取值范围是_ 10 知、均为锐角，且cos()sin()，则tan=1 .11 简：222cos12tan()sin()44)3,4(2cos xab 3cos2x tan 解：原式=222cos12sin()4cos()4cos()4cos22sin()cos()44cos21cos2 12 证：222sin 22coscos 22cosxxxx 证明：左边=2224sincos2coscos 2xxxx22222cos(2sin12cos)2cosxxxx=右边 13 简：22sinsin2sinsi
16、ncos()解：原式=22sinsin2sinsin(coscossinsin)2222sinsin2sinsincoscos2sinsin 2222sin(1 sin)sin(1 sin)2sinsincoscos 2222sincossincos2sinsincoscos 2(sincossincos)2sin()1写出下列各式的值：（1）2sin15 cos15_；（2）22cos 15sin 15 _；（3）22sin 151 _；（4）22sin 15cos 15 _1_ 2已知3(,),sin,25则tan()4=_ 3求值：（1）1tan151tan15_；（2）5coscos1
17、212_ 4求值：tan10tan 203(tan10tan 20)_1_ 5已知tan32，则cos_ 6若cos222sin4，则cossin_ 7 求值：（1）sin 40(tan103)；（2）2sin50sin80(13tan10)1 cos10 分析：切化弦，通分 12 23 32 17 14 33 54 12 解：（1）原式=sin10sin 40(3)cos10=sin103cos10sin40cos102sin(1060)sin 40cos10 2cos40sin40cos10 sin801cos10 （2）sin10cos103sin102sin 4013tan1013co
18、s10cos10cos10 ，又1cos102cos5 原式=2sin402sin50sin802(sin50sin40)cos102cos52cos52 2cos522cos5 点评：给角求值，注意寻找所给角与特殊角的联系，如互余，互补等，利用诱导公式，和与差公式，二倍角公式进行转换 8.4cos()5，12cos()13，且(,)2，3(,2)2，求cos2，cos2 分析：2()()，2()()解：由4cos()5，(,)2，得3sin()5，同理，可得5sin()13 33cos2cos()()65，同理，得63cos265 点评：寻求“已知角”与“未知角”之间的联系，如：2()()，
19、2()()等 9.3cos()45x，177124x，求2sin22sin1tanxxx的值 分析一：()44xx 解法一：177124x，5234x，又3cos()45x，4sin()45x，4tan()43x 2coscos()4410 xx，7 2sin10 x，tan7x 所以，原式=27 227 22()()2()281010101 775 分析二：22()42xx 解法二：原式=sin2sin2tan1tanxxxxsin 2(1tan)sin 2tan()1tan4xxxxx 又27sin 2sin2()cos2()2cos()1424425xxxx ，所以，原式7428()25
20、375 点评：观察“角”之间的联系以寻找解题思路 10 设)2,0(，若3sin5，则)4cos(2=_ 11 已知 tan 2=2，则 tan 的值为_，tan()4的值为_ 12316sin，则232cos=_ 1313cos(),cos()55，则tantan 14 值：11sin20tan40_ 15 知232,534cos求42cos的值 解：.2sin2cos224sin2sin4cos2cos42cos 又3cos0,224且,47443 544cos14sin2 从而25244cos4sin222sin2cos，2574cos2122cos2sin2 5023125725242242cos 43 17 97 12 3