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1、 2015 年福建省高一数学竞赛试题参考答案 2 2015 年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准（考试时间：5 月 10 日上午 8：3011：00）一、选择题（每小题 6 分，共 36 分）1.集合13AxxxN，的子集有（）A4 个 B8 个 C16 个 D32 个【答案】C 【解答】由13x，知24x，结合xN，得0 1 2 3A，。A的子集有4216个。2若直线2l与直线1l：21yx关于直线yx对称，则2l与两坐标轴围成的三角形的面积为（）A1 B23 C12 D14【答案】D 【解答】在直线1l：21yx取点(01)A，则(01)A，关于直线yx的对称点(1 0)A ，在直线
2、2l上。又直线1l与直线yx的交点(1 1)P，在直线2l。2l过(1 0)A ，和(1 1)P，两点，其方程为1122yx。2l与坐标轴交于(1 0)，和1(0)2，两点，2l与坐标轴围成的三角形的面积为14。3给出下列四个判断：（1）若a，b为异面直线，则过空间任意一点P，总可以找到直线与a，b都相交。（2）对平面，和直线l，若，l，则l。（3）对平面，和直线l，若l，l，则。（4）对直线1l，2l和平面，若1l，21ll，且2l过平面内一点P，则2l。其中正确的判断有（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【答案】B 【解答】（3）、（4）正确；（1）、（2）不正确。对于（1），设aa
3、，过a和b的平面为，则当点P在平面内，且不在直线b上时，找不到直线同时与a，b都相交。3 4如图，已知正方体1111ABCDABC D，E为CD中点，则二面角1EABB的正切值为（）A1 B24 C2 D2 2 【答案】D 【解答】如图，作EFAB于F，作1FOAB于O，连结OE。由1111ABCDABC D为正方体，知11EFABB A 面，1EFAB。又1ABOF。因此，1ABOEF 面，1OEAB。EOF为面角1EABB的平面角。设正方体棱长为a，则EFa，11244OFABa。tan2 2EFEOFOF。5已知ABC为等腰直角三角形，CACB，4AB，O为AB中点，动点P满足条件：2P
4、OPAPB，则线段CP长的最小值为（）A3 B2 C5 D4【答案】B 【解答】以AB所在直线为x轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系。则(2 0)A ，、(2 0)B，、(0 2)C，。设()P x y，由2POPAPB，知222222(2)(2)xyxyxy。2222222()(44)(44)xyxyx xyx，即222222222()()8()1616xyxyxyx，化简，得222xy。222222(2)2442(1)4CPxyyyyy。1y 时，CP有最小值 2。此时，(3 1)P，。6记eae，b，ce，ed，则a，b，c，d的大小关系为（）Aadcb Bacdb Cbadc Dbc
5、da（必要时，可以利用函数()lnf xexx在0 e，上为增函数，在e，上为减函数）【答案】A 【解答】lnc，lnlnde。设()lnf xexx，由()f x在0 e，上为增函数，在e，上为减函数，第4题 第 4 题 4 5 6 2min15415()244ya，2a。2max541(2)1024y。12若实数x，y满足条件：222304936xyxy，则2 xy的最小值为 。【答案】4 2【解答】由条件知，230 xy，230 xy，因此，23xy，0 x。由对称性，不妨设0y，则22xyxy。设2xyt，代入224936xy，消x并整理，得2282360ytyt。由的判别式22432
6、(36)0tt，得4 2t 或4 2t。由23xyy知，20txy，4 2t。又4 2t 时，化为288 240yy，得22y，此时9 24x，符合230 xy。t的最小值为4 2。因此，2 xy的最小值为4 2。7 三、解答题（第 13、14、15、16 题每题 16 分，第 17 题 14 分，满分 78 分）13在ABC中，已知点(2 1)A，(28)B，且它的内切圆的方程为224xy，求点C的坐标。【答案】易知直线AB于圆O相切，直线AC、BC的斜率存在。设直线AC的方程为11(2)yk x，即11120k xyk。由直线AC与圆O相切，知12100 1 221kk，解得134k 。直
7、线AC的方程为34100 xy。8 分 设直线BC的方程为28(2)ykx，即22280k xyk。由直线BC与圆O相切，知222002821kk，解得2158k 。直线BC的方程为158340 xy。12 分 由34100158340 xyxy，解得67xy。点C的坐标为(6 7)，。16 分 8 14已知2()f xxbxc（b，cR，0b），且对任意实数x，()2f xxb恒成立。（1）求证：cb；（2）若当cb时，不等式22()()()M cbf cf b对满足条件的b，c恒成立，求M的最小值。【答案】（1）对任意实数x，()2f xxb恒成立，对任意实数x，22xbxcxb，即2(2
8、)0 xbxcb恒成立。2(2)4()0bcb，即2440bc。4 分 2444cbb，cb。8 分（2）由cb以及（1）知，0cb。22()()()M cbf cf b恒成立，等价于22()()f cf bMcb恒成立。12 分 设ctb，则2222()()()(2)221111f cf bcb cbcbtcbcbcbtt。由1ctb，知22()()111f cf bcbt 的取值范围为3(1)2，。32M，M的最小值为32。16 分 9 15如图，AD、CF分别是ABC的中线和高线，PB、PC是ABC外接圆O的切线，点E是PA与圆O的交点。（1）求证：AFDACP；（2）求证：DC平分AD
9、E。【答案】（1）由PC为圆O切线，知CAFDCP。PB、PC是圆O的切线，D为BC中点，O、D、P三点共线，且OPBC。90AFCCDP，AFCCDP。AFCDACCP。4 分 CFAB，D为BC中点，12FDBCDCDB，DFBDBF。AFFDACCP。于是，FACAFDCP。又 180180AFDDFBABCACP。AFDACP。8 分（2）延长AD交圆O于点G，连结GE，BG，EC。由AFDACP，知DAFPAC.BGEC，CBGBCE。12 分 又D为BC中点，DBDC。BDGCDE。BDGCDE，ADCBDGCDE 。DC平分ADE。16 分（2）或解：连结OA、OB、OD、OE。
10、由OBBP，BDOP，知2PBPD PO。又由切割线定理知，2PBPE PA，PD POPE PA。E、A、O、D四点共圆。12 分 ODAOEAEAOPDE 。又OPBC于D，因此，ADCEDC。DC平分ADE。16 分 第15第 15 题第 15 题 10 16已知正整数a，b，c（abc）为ABC的三边长，且222151515abc，求abc的最小值。其中m表示m的小数部分，即mmm（m表示不超过m的最大整数）。【答案】由222151515abc，知222(mod15)abc（即，2a，2b，2c被 15 除的余数相同。）4 分 2(21)0(mod15)bab，2(21)0(mod15
11、)cbc。由 2 与 15 互质知，21(mod15)ab，21(mod15)bc 8 分 经验算，可知满足21(mod15)t的最小正整数4t。ab，bc都是 4 的倍数。12 分 设4bcx，4acy（x，y为正整数，且yx）。a，b，c构成三角形三边长，44bccxcacy，4()cyx。5c。经验证，5，54 19 ，54 213 可以为三角形的三边长。abc的最小值为 27。此时，13a，9b，5c。16 分 11 17已知集合1 2 32015P，。集合A是P的子集，且在A的任意三个元素中，总可以找到两个元素a和b，使得a是b的整数倍。求A的最大值。（其中A表示集合A的元素的个数）
12、。【答案】首先集合2310291 2 2223 3 2 3 23 2A，符合要求。此时，21A。5 分 设123kAaaaaP，123kaaaa，满足：在A的任意三个元素中，总可以找到两个元素a和b，使得a是b的整数倍。取A的任意三个相邻元素：na，1na，2na。依题意1na是na的整数倍，或2na是na的整数倍，或2na是1na的整数倍。12nnaa，或22nnaa，或212nnaa。于是，总有22nnaa成立。10 分 因此，22a，24222aa，36422aa，48422aa，。若22k，则1122220482015kaa与2015ka 矛盾。21k。因此，A的最大值为 21。14 分