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1、1 1 专题 45 数列通项结构的应用【方法点拨】1.数列an是等差数列anpnq(p,q 为常数).2.数列an是等差数列SnAn2Bn(A,B 为常数).3.已知 Sn是等差数列an的前 n 项和,则Snn也是等差数列,且其首项为 a1,公差为an公差的12.4.两个等差数列an、bn的前 n 项和 Sn、Tn之间的关系为1212nnnnTSba.5.两个等差数列an、bn的前 n 项和分别为 Sn、Tn,若DCnBAnTSnn,则DmCBnAbamn)12()12(.【典型题示例】例 1 nS是公差为 2 的等差数列 na的前n项和,若数列1nS 也是等差数列,则1a _.【答案】1或
2、3【分析】用特殊值法,也可直接抓住等差数列的结构特征解题.【解析一】(特殊值法)由题意211(1)2(1)2nn nSnanan,数列1nS 是等差数列 2132111SSS ,1112 23137aaa,解得11a 或13a,11a 时,21211nSnnn ,13a 时,21211nSnnn ,均为n的一次函数,数列1nS 是等差数列,故1a的值为1 或 3.【解析一】(特殊值法)由题意211(1)2(1)2nn nSnanan,2 2 数列1nS 是等差数列 21(1)+1nSnan必为关于n的一次式,即21(1)+1nan是完全平方式 21(1)40a 解之得11a 或13a(下同解法
3、一)例 2 已知 na是首项为 2,公比为1q q 的等比数列,且 na的前n项和为nS,若2nS 也为等比数列,则q 【答案】2【解析】因为 na是首项为 2,公比为1q q 的等比数列 所以1122221111nnnnaqqqSqqqq 222112nnqqSq 2nS 为等比数列,则2nS 也为等比数列 所以2201q,即2q 点评:等比数列通项的结构特征是:(0)nnaAqAq、.例 3 已知两个等差数列na和 nb的前n项和分别为An和nB,且7453nnAnBn,则使得nnab为整数的正整数n的个数是 .【答案】5【解析】根据等差数列前n项和的公式不难得到:2121(21)7(21
4、)45719(21)(21)31nnnnnnanaAnnbnbBnn ()()式是一个关于n的一次齐次分式,遇到此类问题的最基本的求解策略是“部分分式”即将该分式逆用通分,将它转化为分子为常数,只有分母中含有变量n 3 3 因为7197(1)12127111nnnnn 所以,要求使得nnab为整数的正整数n,只需1n为12的不小于2的正约数 所以12,3,4,6,12n 例 4 已知 Sn是等差数列an的前 n 项和,若 a12 014,S2 0142 014S2 0082 0086,则 S2 020等于_.【答案】2 020【解析】由等差数列的性质可得Snn也为等差数列,设其公差为d,则S2
5、 0142 014S2 0082 0086d6,d1,且首项为S112 014.故S2 0162 016S112 015d2 0142 0151,S2 02012 0202 020.4 4【巩固训练】1.记等差数列an的前 n 项和为nS,已知12a,且数列 nS也为等差数列,则13a=.2.已知公差大于零的等差数列an的前 n 项和为 Sn,且满足 a3a4117,a2a522,数列bn满足 bnSnnc(其中 c0),若bn为等差数列,则 c 的值等于_.3.设等比数列an,bn的前 n 项和分别为 Sn,Tn,若对任意自然数 n 都有314nnnST,则33ab的值为_.4.设nS,nT
6、分别是等差数列 na,nb的前n项和,已知2142nnSnTn,*nN,则1011318615aabbbb 5.已知nS是等差数列 na的前n项和,若77S,1575S,则数列nSn的前20项和为 6.已知数列的an的前 n 项和 Sn,若an和 nS都是等差数列,则10nnSa的最小值是 .5 5【答案与提示】1.【答案】50【解析】设该等差数列的公差为d,则由等差数列求和公式得2(1)2(2)222nn nddSndnn.又因为数列 nS为等差数列,202d,故4d.所以1311250aad.2.【答案】12【解析】设等差数列an的公差为 d,且 d0,由等差数列的性质,得 a2a5a3a
7、422,所以 a3,a4是关于 x 的方程 x222x1170 的解,所以 a39,a413,易知 a11,d4,故通项为 an1(n1)44n3.所以 bnSnnc2n2nnc.法一(特殊值法)所以 b111c,b262c,b3153c(c0).令 2b2b1b3,解得 c12.当 c12时,bn2n2nn122n,当 n2 时,bnbn12.故当 c12时,数列bn为等差数列.法二 由 bnSnncn(14n3)2nc2nn12nc,c0,可令 c12,得到 bn2n.bn1bn2(n1)2n2(nN*),数列bn是公差为 2 的等差数列.即存在一个非零常数 c12,使数列bn也为等差数列
8、.3.【答案】9 6 6【解析】联想等比数列的前 n 项和的结构特征,可知:1(1 9)1 9nnaS,1(1 3)1 3nnbT,且11ab 所以2339()93ab.4.【答案】4178 【提示】因为318615bbbb,所以10101110112011318615615101120aaaaaSabbbbbbbbT.5.【答案】55【解析】由等差数列的性质得Snn 也是等差数列,设nnSbn,其公差为 d 且7717Sb,1515515Sb,所以12d,12b 所以nSn的前 20 项和即为 nb的前 20 项和,故为20 19120(2)5522.6.【答案】21【解析】设该等差数列的公差为d,则由等差数列求和公式得211(1)()222nn nddSnadnan.又因为数列 nS为等差数列,102da,故12da.所以221011(10)12121(21)21(21)4212nnSnananan,当且仅当10n 时,“=”成立.所以10nnSa的最小值是 21.