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1、高等数学高等数学试卷试卷 1（下）（下）一.选择题（3 分10）1.点到点的距离（ ）.1M1 , 3 , 24 , 7 , 22M21MMA.3 B.4 C.5 D.62.向量，则有（ ）.jibkjia2,2A. B. C. D.abab3,ba 4,ba3.函数的定义域是（ ）. 112 2222 yxyxyA. B.21,22yxyx21,22yxyxC. D21,22yxyx21,22yxyx4.两个向量与垂直的充要条件是（ ）.abA. B. C. D.0ba0ba0ba0ba5.函数的极小值是（ ）.xyyxz333A.2 B. C.1 D.216.设，则（ ）.yxzsin 4
2、, 1yzA. B. C. D.22 22227.若级数收敛，则（ ）.p11npnA. B. C. D.p11p1p1p8.幂级数的收敛域为（ ）.1nnnxA. B C. D.1 , 11 , 11 , 11 , 19.幂级数在收敛域内的和函数是（ ）.nnx02A. B. C. D.x11 x22 x12 x2110.微分方程的通解为（ ）.0lnyyyxA. B. C. D.xcey xey xcxey cxey 二.填空题（4 分5）1.一平面过点且垂直于直线，其中点，则此平面方程为3 , 0 , 0AAB1 , 1, 2 B_.2.函数的全微分是_. xyzsin3.设，则_.13
3、323xyxyyxz yxz24.的麦克劳林级数是_.x21三.计算题（5 分6）1.设，而，求vezusinyxvxyu,.,yz xz 2.已知隐函数由方程确定，求yxzz,05242222zxzyx.,yz xz 3.计算，其中.dyxD22sin22224:yxD4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（为半径）.R四.应用题（10 分2）1.要用铁板做一个体积为 2的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？3m.试卷试卷 1 参考答案参考答案一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题1.0622zyx2. . xdyydxxycos3. .19622
4、 yyx4. . nnnn x01215. .xexCCy2 21三.计算题1. ，.yxyxyexzxycossinyxyxxeyzxycossin2.12,12 zy yz zx xz3.202sindd264. .3 316R5.xxeey23四.应用题1.长、宽、高均为时，用料最省.m322.312xy 高数高数试卷试卷 2（下）（下）一.选择题（3 分10）1.点，的距离（ ）.1 , 3 , 41M2 , 1 , 72M21MMA. B. C. D.121314152.设两平面方程分别为和，则两平面的夹角为（ ）.0122zyx05 yxA. B. C. D.6 4 3 23.函数
5、的定义域为（ ）.22arcsinyxzA. B.10,22yxyx10,22yxyxC. D. 20,22yxyx 20,22yxyx4.点到平面的距离为（ ）.1 , 2, 1P0522zyxA.3 B.4 C.5 D.65.函数的极大值为（ ）.22232yxxyzA.0 B.1 C. D.1216.设，则（ ）.223yxyxz2, 1xzA.6 B.7 C.8 D.97.若几何级数是收敛的，则（ ）.0nnarA. B. C. D.1r1r1r1r8.幂级数的收敛域为（ ）.nnxn01A. B. C. D. 1 , 11 , 11 , 11 , 19.级数是（ ）.14sinnnn
6、aA.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D.不能确定 二.填空题（4 分5）1.直线 过点且与直线平行，则直线 的方程为_.l1, 2 , 2A tztytx213l2.函数的全微分为_.xyez 3.曲面在点处的切平面方程为_.2242yxz4 , 1 , 2三.计算题（5 分6）1.设，求kjbkjia32,2. ba2.设，而，求22uvvuzyxvyxusin,cos.,yz xz 3.已知隐函数由确定，求yxzz,233 xyzx.,yz xz 4.如图，求球面与圆柱面（）所围的几何体的体积.22224azyxaxyx2220a四.应用题（10 分2）1.试用二重积分计算由和所围图形
7、的面积.xyxy2,4x试卷试卷 2 参考答案参考答案一.选择题 CBABA CCDBA. 二.填空题1.21 12 12zyx2.xdyydxexy3.488zyx4. 021nnnx5.3xy 三.计算题1.kji2382. . yyxyyyyxyzyyyyxxz3333223cossincossincossin,sincoscossin 3.22,zxyxz yz zxyyz xz 4. . 32 23323a5.xxeCeCy22 1四.应用题1.3162. .002 21xtvgtx高等数学高等数学试卷试卷 3（下）（下）一、选择题（本题共 10 小题，每题 3 分，共 30 分）2
8、、设 a=i+2j-k,b=2j+3ka=i+2j-k,b=2j+3k，则 a 与 b 的向量积为（ ）A、i-j+2k B、8i-j+2k C、8i-3j+2k D、8i-3i+k3、点 P（-1、-2、1）到平面 x+2y-2z-5=0 的距离为（ ）A、2 B、3 C、4 D、54、函数 z=xsiny 在点（1，）处的两个偏导数分别为（ ）4A、 B、 C、 D、 ,22,22,22 22222222,225、设 x2+y2+z2=2Rx，则分别为（ ）yz xz ,A、 B、 C、 D、zy zRx,zy zRx,zy zRx,zy zRx,6、设圆心在原点，半径为 R，面密度为的薄
9、板的质量为（ ） （面积 A=）22yx 2RA、R2A B、2R2A C、3R2A D、AR2 217、级数的收敛半径为（ ）1) 1(nn n nxA、2 B、 C、1 D、3218、cosx 的麦克劳林级数为（ ）A、 B、 C、 D、0) 1(nn )!2(2nxn1) 1(nn )!2(2nxn0) 1(nn )!2(2nxn0) 1(nn )!12(12nxn二、填空题（本题共 5 小题，每题 4 分，共 20 分）1、直线 L1：x=y=z 与直线 L2：_。的夹角为zyx 13 21直线 L3：_。之间的夹角为与平面0623212 21zyxzyx2、 （0.98）2.03的近
10、似值为_,sin100的近似值为_。3、二重积分_。DyxDd的值为1:,224、幂级数_，_。的收敛半径为0!nnxn0!nnnx的收敛半径为三、计算题（本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）2、求曲线 x=t,y=t2,z=t3在点（1，1，1）处的切线及法平面方程.3、计算.DxyxyD。xyd围成及由直线其中2, 14、问级数11sin) 1(nn。n收敛则是条件收敛还是绝对若收敛收敛吗5、将函数 f(x)=e3x展成麦克劳林级数四、应用题（本题共 2 小题，每题 10 分，共 20 分）1、求表面积为 a2而体积最大的长方体体积。参考答案一、选择题1、D 2、C 3、C 4
11、、A 5、B 6、D 7、C 8、A 9、B 10,A二、填空题1、 2、0.96，0.17365218arcsin,182cosar3、 4、0，+5、ycxceyx11,22 三、计算题2、解：因为 x=t,y=t2,z=t3,所以 xt=1,yt=2t,zt=3t2，所以 xt|t=1=1, yt|t=1=2, zt|t=1=3故切线方程为：31 21 11zyx法平面方程为：（x-1）+2(y-1)+3(z-1)=0即 x+2y+3z=63、解：因为 D 由直线 y=1,x=2,y=x 围成，所以D：1y2yx2故：212132811)22(dyyydyxydxxyd y D4、解：这
12、是交错级数，因为5。n。n。nn。x。x。xn。nVn。Vn。nVnnnnn原级数条件收敛所以发散从而发散又级数所以时趋于当又故收敛型级数所以该级数为莱布尼兹且所以11 11sin1 111sin limsin01sin01sinlim,101sin、解：因为 ),(!1 ! 31 ! 21132 xxnxxxenw用 2x 代 x，得：),(!2 ! 32 ! 2221)2(!1)2(! 31)2(! 21)2(133 22322 xxnxxxxnxxxennnx四、应用题1、解：设长方体的三棱长分别为 x，y，z则 2（xy+yz+zx）=a2构造辅助函数F（x,y,z）=xyz+)222
13、(2azxyzxy求其对 x,y,z 的偏导，并使之为 0，得：yz+2(y+z)=0xz+2(x+z)=0xy+2(x+y)=0与 2(xy+yz+zx)-a2=0 联立，由于 x,y,z 均不等于零可得 x=y=z代入 2(xy+yz+zx)-a2=0 得 x=y=z=66a所以，表面积为 a2而体积最大的长方体的体积为3663axyzV2、解：据题意。eM。MC。MMMce。MCtMdtMdMMdtdMMMMdtdMtttt而按指数规律衰减铀的含量随时间的增加铀的衰变规律为由此可知所以所以又因为所以两端积分得式对于初始条件为常数其中000000lnln0高数高数试卷试卷 4（下）（下）一
14、选择题：03103 下列平面中过点（,1）的平面是 （） （） （） （）在空间直角坐标系中，方程表示 222 yx（）圆 （）圆域 （）球面 （）圆柱面二元函数的驻点是 22)1 ()1 (yxz（） （,） （） （,） （） （,） （） （,）二重积分的积分区域是，则 4122yx Ddxdy（） （） （） （）4315交换积分次序后 xdyyxfdx010),(（） （） （） （）xdyxfdyy110),(1010),(dxyxfdyydxyxfdy010),(100),(dxyxfdyx阶行列式中所有元素都是，其值是 （） （） （）！ （）下列级数收敛的是 （） （） （）
15、 （） 11 1) 1( nn nn123nnn11) 1(nnn11nn正项级数和满足关系式，则 1nnu1nnvnnvu （）若收敛，则收敛 （）若收敛，则收敛 1nnu1nnv1nnv1nnu（）若发散，则发散 （）若收敛，则发散 1nnv1nnu1nnu1nnv已知：，则的幂级数展开式为 2111xxx211 x（） （） （） （）421xx421xx421xx421xx 二填空题：0254数的定义域为 )2ln(12222yxyxz若，则 xyyxf),() 1 ,(xyf已知是的驻点，若则),(00yx),(yxfayxfyxfyxfxyyyxx ),(,12),(, 3),(0
16、0000, 0当 时，一定是极小点),(00yx级数收敛的必要条件是 1nnu三计算题(一)：0356已知：，求：，yxz xz yz 计算二重积分，其中dxD2420 ,40| ),(2xxyyxD已知：，其中，求未知矩阵 102121100210321求幂级数的收敛区间 11) 1( nn n nx求的麦克劳林展开式（需指出收敛区间） xexf)(四计算题(二)： 02201求平面和的交线的标准方程参考答案参考答案一；二 21| ),(22yxyxxy66a0lim nnu四1解： yxyzyxxzyyln12解： 316 34)4(442032022040222 xxdxxdyxdxdx
17、xD3解：. 1542201, 10021072111ABB解：当|x|1 时，级数收敛，当 x=1 时，得收敛，, 1R11) 1(nnn当时，得发散，所以收敛区间为.1x11121) 1(nnnnn 1 , 1(解：.因为 ,所以 . 0!nn x nxe),(xnnnnn xxnnxe 00!) 1( !)(),(x四1解：.求直线的方向向量:,求点:令 z=0,得 y=0,x=2,即交点为(2,0.0),所kjikji s53 112121 以交线的标准方程为:.5312zyx高数试卷 5（下）一、选择题（3 分/题）1、已知，则（ ）jiakbbaA 0 B C D ji ji ji
18、 2、空间直角坐标系中表示（ ）122 yxA 圆 B 圆面 C 圆柱面 D 球面3、二元函数在（0，0）点处的极限是（ ）xxysinz A 1 B 0 C D 不存在4、交换积分次序后=（ ）dy)y, x(fdx x110A B dx)y, x( fdy1010dx)y, x(fdyx101C D dx)y, x(fdy y110dx)y, x( fdyy0105、二重积分的积分区域 D 是，则（ ）1 yxDdxdyA 2 B 1 C 0 D 410、正项级数和满足关系式，则（ ）1nnu1nnvnnvu A 若收敛，则收敛 B 若收敛，则收敛1nnu1nnv1nnv1nnuC 若发散
19、，则发散 D 若收敛，则发散1nnv1nnu1nnu1nnv二、填空题（4 分/题）1、 空间点 p（-1，2，-3）到平面的距离为 xoy2、 函数在点 处取得极小值，极小值为 286422yxyx)y, x(f3、 级数收敛的必要条件是 1nnu三、计算题（6 分/题）1、 已知二元函数，求偏导数，xyz2xz yz 2、 求两平面：与交线的标准式方程。22zyx42zyx3、 计算二重积分，其中由直线，和双曲线所围成的区域。dxdyyxD22 D2xxy 1xy4、 求幂级数的收敛半径和收敛区间。151nnn)x(四、应用题（10 分/题）1、 判断级数的收敛性，如果收敛，请指出绝对收敛还是条件收敛。pnnn)(1111参考答案一、选择题（3 分/题）DCBDA ACBCB 二、填空题（4 分/题）1、3 2、 （3，-1） -11 3、-3 4、0 5、0 nnulim三、计算题（6 分/题）1、，ylnyxzx22122xyxyz2、50 30 12zyx3、494、5、收敛半径 R=3，收敛区间为（-4，6） 四、应用题（10 分/题）1、 当时，发散；0p时条件收敛；10 p时绝对收敛1p