概率论与数理统计复旦大学出版社第四章课后答案.doc

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1、概率论概率论 习题四习题四 答案答案1.设随机变量 X 的分布律为X1 0 1 2P1/8 1/2 1/8 1/4求 E（X） ，E（X2） ，E（2X+3）.【解解】(1) 11111()( 1)012;82842E X (2) 2222211115()( 1)012;82844E X (3) 1(23)2 ()32342EXE X2.已知 100 个产品中有 10 个次品，求任意取出的 5 个产品中的次品数的数学期望、方差. 【解解】设任取出的 5 个产品中的次品数为 X，则 X 的分布律为X012345P5 90 5 100C0.583C14 1090 5 100C C0.340C23

2、1090 5 100C C0.070C32 1090 5 100C C0.007C41 1090 5 100C C0C5 10 5 100C0C故 ()0.583 00.340 1 0.070 20.007 30 40 5E X 0.501,5 20()()ii iD XxE XP222(00.501)0.583(1 0.501)0.340(50.501)0 0.432. 3.设随机变量 X 的分布律为X1 0 1Pp1 p2 p3且已知 E（X）=0.1,E(X2)=0.9,求.123,p pp【解解】因,1231ppp又,12331()( 1)010.1E Xppppp :2222 123

3、13()( 1)010.9E Xppppp :由联立解得1230.4,0.1,0.5.ppp4.袋中有 N 只球，其中的白球数 X 为一随机变量，已知 E（X）=n，问从袋中任取 1 球为 白球的概率是多少？ 【解】记 A=从袋中任取 1 球为白球，则0( )|NkP AP A XkP Xk:全概率公式0011().NNkkkP XkkP XkNN nE XNN:5.设随机变量 X 的概率密度为f（x）= ., 0, 21,2, 10,他他xxxx求 E（X） ，D（X）.【解解】12201()( )dd(2)dE Xxf xxxxxxx213 320111.33xxx122232017()(

4、 )dd(2)d6E Xx f xxxxxxx故 221()() ().6D XE XE X6.设随机变量 X，Y，Z 相互独立，且 E（X）=5，E（Y）=11，E（Z）=8，求下列随机变量 的数学期望. （1） U=2X+3Y+1； （2） V=YZ4X.【解解】(1) (231)2 ()3 ( ) 1E UEXYE XE Y2 53 11 144. (2) 44 ()E VE YZXE YZE X,( )( )4 ()Y ZE YE ZE X:因独立11 84 568. 7.设随机变量 X，Y 相互独立，且 E（X）=E（Y）=3，D（X）=12，D（Y）=16，求 E（3X2Y） ，D

5、（2X3Y）.【解解】(1) (32 )3 ()2 ( )3 32 33.EXYE XE Y (2) 22(23 )2()( 3)4 129 16192.DXYD XDY 8.设随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）= ., 0,0, 10,他他xyxk试确定常数 k，并求 E（XY）.【解解】因故 k=21001( , )d ddd1,2xf x yx yxk yk .100()( , )d dd2 d0.25xE XYxyf x yx yx xy y 9.设 X，Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为2 ,01,( )0,;Xxxfx 其它(5)e,5,( )0,.yYyfy 其它

6、求.()E XY【解解】方法一：先求与的均值XY102()2 d,3E Xxx x:5(5)500( )ed5e de d5 1 6.z yyzzE Yyyzzz 令由与的独立性，得XY 2()()( )64.3E XYE XE Y:方法二：利用随机变量函数的均值公式.因与独立，故联合密度为XY(5)2 e,01,5,( , )( )( )0,yXYxxyf x yfxfy :其他于是11(5)2(5)50052()2 ed d2ded64.3yyE XYxyxx yxxyy :10.设随机变量 X，Y 的概率密度分别为= =( )Xfx ; 0, 0, 0,22xxxe( )Yfy . 0,

7、 0, 0,44yyye求（1） ;（2） .()E XY2(23)EXY【解解】22-2 000()( )d2edeedxxx XE Xxfxxxxxx :201ed.2xx401( )( )d4edy.4y YE Yyfyyy:2224 2021()( )d4ed.48y YE Yy fyyyy:从而(1) 113()()( ).244E XYE XE Y(2)22115(23)2 ()3 ()23288EXYE XE Y 11.设随机变量 X 的概率密度为f（x）=. 0, 0 , 0,22xxcxxke求（1） 系数;（2）;（3） .c()E X()D X【解解】(1) 由得.222

8、0( )ded12k xcf xxcxxk22ck(2) 2220()( )d( )2edk xE Xxf xxxk xx:222202ed.2k xkxxk(3) 222222 201()( )d( )2e.k xE Xx f xxxk xdxk:故 222 2214()() ().24D XE XE Xkkk12.袋中有 12 个零件，其中 9 个合格品，3 个废品.安装机器时，从袋中一个一个地取出（取出后不放回） ，设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量，求和X()E X.()D X【解解】设随机变量 X 表示在取得合格品以前已取出的废品数，则的可能取值为X 0，1，2，3.为求其分

9、布律，下面求取这些可能值的概率，易知900.750,12P X 3910.204,1211P X 32920.041,1211 10P X 321930.005.1211 109P X 于是，得到 X 的概率分布表如下：X0123P0.7500.2040.0410.005由此可得()0 0.750 1 0.2042 0.041 3 0.0050.301.E X 22222222()0750 10.20420.041 30.0050.413()() ()0.413(0.301)0.322.E XD XE XE X13.一工厂生产某种设备的寿命（以年计）服从指数分布，概率密度为X41e,0,( )

10、4 0,0.x xf x x 为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备， 工厂获利 100 元，而调换一台则损失 200 元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望. 【解解】厂方出售一台设备净盈利只有两个值：100 元和200 元Y/41/4111001ede4xP YP Xx1/420011 e.P YP X 故 (元).1/41/41/4( )100 e( 200) (1 e)300e20033.64E Y 14.设是相互独立的随机变量，且有12,nXXX,记 ，2(),(),1,2,iiE XD Xin11ni iXXn.2211()1ni iSXXn（

11、1） 验证=， =；)(XE)(XDn2（2） 验证；22211()1ni iSXnXn（3） 验证.22()E S【证证】(1) 1111111()()().nnniii iiiE XEXEXE Xnuunnnn:22 111111()()nnniiii iiiD XDXDXXDXnnn:之间相互独立2 2 21.nnn:(2) 因为222221111()(2)2nnnniiiii iiiiXXXXXXXnXXX2222112nnii iiXnXX nXXnX:故.22211()1ni iSXnXn(3) 因为,故2(),()iiE Xu D X2222()()().iiiE XD XEXu

12、同理因为 ,故.2 (),()E Xu D Xn222()E Xun从而222221111()() ()()11nnii iiE SEXnXEXnE Xnn2212 22221()()11().1ni iE XnE Xnnununn: :15.对随机变量和，已知，,XY()2D X ( )3D Y (, )1Cov X Y 计算：.(321,43)CovXYXY【解解】Cov(321,43)3 () 10 ov(, )8 ( )XYXYD XCX YD Y3 2 10 ( 1)8 328 (因常数与任一随机变量独立，故,其余类似).(,3)( ,3)0Cov XCov Y16.设二维随机变量的

13、概率密度为(, )X Y221,1,( , ) 0,.xyf x y 其它试验证 X 和 Y 是不相关的，但 X 和 Y 不是相互独立的.【解解】设.22( , )|1Dx yxy2211()( , )d dd dxyE Xxf x yx yx x y 21001=cosd d0.rr r :同理 E(Y)=0. （注意到积分区域的对称性和被积函数是奇函数可以直接得到 0）而 Cov(, )( ) ( ) ( , )d dX YxE xyE Yf x yx y :,2221200 111d dsincosd d0xyxy x yrr r 由此得,故 X 与 Y 不相关.0XY下面讨论独立性，当

14、时， 1x 2212112( )1.xXxfxdyx当 时，.1y 2212112( )1yYyfydxy显然 ,故 X 和 Y 不是相互独立的.( )( )( , )XYfxfyf x y:17.设随机变量的分布律为(, )X Y1 0 11 0 11/8 1/8 1/8 1/8 0 1/8 1/8 1/8 1/8验证 X 和 Y 是不相关的，但 X 和 Y 不是相互独立的. 【解解】联合分布表中含有零元素，X 与 Y 显然不独立，由联合分布律易求得 X，Y 及 XY 的 分布律，其分布律如下表： X -101P3 82 83 8Y -101P3 82 83 8XY -101P2 84 82

15、 8由期望定义易得=0.()E X( )E Y()E XY从而=,再由相关系数性质知=0,()E XY()E X( )E Yxy即 X 与 Y 的相关系数为 0，从而 X 和 Y 是不相关的.又331111,1888P XP YP XY :X Y从而 X 与 Y 不是相互独立的. 18.设二维随机变量（X，Y）在以（0，0） ， （0，1） ， （1，0）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求，.(, )Cov X Yxy【解解】如图，SD=，故（X，Y）的概率密度为1 2题 18 图2,( , ),( , )0,x yDf x y 其他.()( , )d dDE Xxf x yx y11001

16、d2d3xxxy:22()( , )d dDE Xx f x yx y112001d2d6xxxy从而2 22111()() ().6318D XE XE X同理11( ),( ).318E YD Y而 11001()( , )d d2d dd2d.12xDDE XYxyf x yx yxy x yxxy y所以.1111Cov(, )()()( )123336X YE XYE XE Y :从而 1 Cov(, )136 2()( )11 1818XYX Y D XD Y :19.设（X，Y）的概率密度为f（x，y）=1sin(),0, 0,222 0.xyxy, 其他求协方差和相关系数.(,

17、 )Cov X Yxy【解解】/2/2001()( , )d ddsin()d.24E Xxf x yx yxxxyy :2 2222 001()dsin()d2.282E Xxxxyy:从而2 22()() ()2.162D XE XE X同理 2( ),( )2.4162E YD Y又 /2/200()dsin()d d1,2E XYxxyxyx y故 24Cov(, )()()( )1.2444X YE XYE XE Y :2222224 Cov(, )(4)8164.832832()( )2162XYX Y D XD Y :20.已知二维随机变量（X，Y）的协方差矩阵为，试求 Z1=X

18、2Y 和 Z2=2XY 的相 4111关系数. 【解解】由已知条件得：D(X)=1,D(Y)=4,Cov(X,Y)=1. 从而12()(2 )()4 ( )4Cov(, )14 44 113,()(2)4 ()( )4Cov(, )4 144 14,D ZD XYD XD YX YD ZDXYD XD YX Y 12Cov(,)Cov(2 ,2)Z ZXYXY2Cov(,)4Cov( ,)Cov(, )2Cov( , )2 ()5Cov(, )2 ( )2 1 5 12 45.X XY XX YY YD XX YD Y 故 121212Cov(,)5513.26()()134Z ZZ Z D

19、ZD Z:21.对于两个随机变量 V，W，若 E（V2） ，E（W2）存在，证明： E（VW） 2E（V2）E（W2）. 这一不等式称为柯西许瓦兹（CauchySchwarz）不等式. 【证证】考虑实变量 的二次函数t2222( )() ()2()()g tE VtWE VtE VWt E W因为对于一切 ，有，所以 ，从而二次方程 t2()0VtW( )0g t ( )0g t 或者没有实根，或者只有重根，故其判别式 0，即 2222 ()4 ()()0E VWE WE V :故 222 ()()()E VWE VE W:22.假设一设备开机后无故障工作的时间 X 服从参数 =1/5 的指数

20、分布.设备定时开机，出现 故障时自动关机，而在无故障的情况下工作 2 小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间的分布函数. Y( )F y【解解】由题设可知：设备开机后无故障工作的时间，其概率密度为1( )5XE:1 51,0( )5 0,0xexf x x 根据题意 ，所以的分布函数为min,2YXY( )min,2F yPXy当时，；0y ( )min,20F yPXyP Xy当时，；02y11 55 01( )min,215xyyF yPXyP Xyedxe 当时，；2y ( )min,21F yPXy于是的分布函数为：。Y1 50,0,( )1,02, 1,2yyF yey y

21、23.已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有 3 件合格品和 3 件次品，乙箱中仅装 有 3 件合格品.从甲箱中任取 3 件产品放乙箱后，求：（1）乙箱中次品件数 Z 的数学 期望；（2）从乙箱中任取一件产品是次品的概率. 【解解】 （1） Z 的可能取值为 0，1，2，3，Z 的概率分布为, 3 33 3 6C CCkk P Zk :0,1,2,3.k 即Z=k0123Pk1 209 209 201 20因此，19913( )0123.202020202E Z (2) 设 A 表示事件“从乙箱中任取出一件产品是次品”，根据全概率公式有30( )|kP AP ZkP A Zk:19192

22、1310.202062062064 24.假设由自动线加工的某种零件的内径（毫米）服从正态分布，内径小于 10X( ,1)N或大于 12 为不合格品，其余为合格品.销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损， 已知销售利润（单位：元）与销售零件的内径有如下关系TX1,10, 20,1012, 5,12.X TX X 问：平均直径 取何值时，销售一个零件的平均利润最大？ 【解解】因为 ,所以平均利润 ( ,1)XN( )1020 1012 5 12E TP XPXP X 1020 1012 5 12 (10)20(12)(10)51(12) 25 (12)21 (10)5.P XuuPuXuuP

23、Xuu uuuu uu 令2/2d ( )125 (12) ( 1)21 (10) ( 1)0( ( )e)d2xE Tuuxu 得 22(12) /2(10) /22521uuee两边取对数有2211ln25(12)ln21(10) .22uu解得 (毫米)125111ln11ln1.1910.91282212u 因为该问题有唯一驻点，所以当毫米时，平均利润最大.10.925.设随机变量的概率密度为X1cos,0,( )22 0,.xxf x 其他对独立地重复观察 4 次，用表示观察值大于 /3 的次数，求的数学期望.XY2Y（2002 研考）【解解】令 1,3(1,2,3,4)0,3iX

24、Yi X.则相互独立，都服从（01）分布，且.1234,Y Y Y Y41i iYY因为及,133pP XP X /3011cosd3222xP Xx所以 111( ),( ),( )42242iiE YD YE Y,221( )41()()4D YE YEY 从而222()( ) ( )125.E YD YE Y 26.两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间 (i=1,2)服从参数为 5 的指数分布，首iT先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自动开启.试求两台记录仪无故障工作的总时间的概率密度，数学期望及方差. 12TTT( )Tft( )E T( )D T【解解】由题意知：55e

25、,0,( )0,0titf tt.因为与独立，所以由卷积公式得的概率密度1T2T12TTT12( )( )()dTftf x f txx当时，=0;0t ( )Tft当时， 0t 55()5 120( )( )()d5e5ed25 etxt xt Tftf x f txxxt:故得525 e,0,( )0,0.tTttftt由于,故知(5)iTE11( ),( )(1,2)525iiE TD Ti因此，有，.（与独立）122( )( )()5E TE TE T122( )( )()25D TD TD T1T2T27.设两个随机变量 X，Y 相互独立，且都服从均值为 0，方差为 1/2 的正态分

26、布，求随机变 量|XY|的方差. 【解解】设 Z=XY，由于110,0,22XNYN且 X 和 Y 相互独立，故, 即.( )0,( )1E ZD Z(0,1)ZN因为22()()(| ) (|)D XYD ZE ZE Z22() () ,E ZE Z而 2()( )1E ZD Z，2/21(|)|ed2zE Zzz2/2022ed2zzz所以 .2(|)1DXY 28.某流水生产线上每个产品不合格的概率为，各产品合格与否相互独立，当(01)pp出现一个不合格产品时，即停机检修.设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为，求和. X()E X()D X【解解】记, 的概率分布为 1qp X1()

27、iP Xiqp1,2,3,i 故1 2 111()().1(1)iiiiqpE Xiqppqpqqp 又221211121()()iiiiiiE Xi qpii qpiqp 2232211()12112.(1)iiqpqqpqpqppqqp qppp 所以 22 222211()() ().ppD XE XE Xppp题 29 图 29.设随机变量 X 和 Y 的联合分布在点（0，1） ， （1，0）及（1，1）为顶点的三角形区域上 服从均匀分布.（如图） ，试求随机变量 U=X+Y 的方差. 【解解】D(U)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)=D(X)+D(Y)+2E(X

28、Y)E(X)E(Y). 由已知条件得 X 和 Y 的联合概率密度为2,( , ),( , )0,.x yGf x y 其它( , )|01,01,1.Gx yxyxy从而11( )( , )d2d2 .Xxfxf x yyyx因此11122300031()( )d2d,()2d,22XE XxfxxxxE Xxx22141()() ().2918D XE XE X同理可得 31( ),( ).218E YD Y11015()2d d2dd,12x GE XYxy x yx xy y 541Cov(, )()()( ),12936X YE XYE XE Y :于是 1121( )().18183

29、618D UD XY30.设随机变量 U 在区间2,2上服从均匀分布，随机变量X= Y= ，U，U1, 11, 1他他 . 1, 11, 1U，U他他试求（1）X 和 Y 的联合概率分布；（2）D（X+Y）. 【解解】 （1） 为求 X 和 Y 的联合概率分布，就要计算（X，Y）的 4 个可能取值(1,1), (1,1),(1,1)及(1,1)的概率.PX=1, Y=1 = P U1,U 1112dd11444xxP U PX=1, Y=1 =P U1, U1 =P =0,PX=1, Y=1 =P U1, U111d1 1142xPU .21d11,11,1144xP XYP UUP U 故得

30、 X 与 Y 的联合概率分布为.( 1, 1)( 1,1)(1, 1)(1,1) (, ) 1110424X Y (2) 因,22()() ()D XYE XYE XY而及的概率分布相应为XY2()XY, .202 111 424XY 204 () 11 22XY 从而11()( 2)20,44E XY 211() 042,22E XY 所以22()() ()2.D XYE XYE XY31.设随机变量的概率密度为 f(x)=， X1( )e2xf x()x (1) 求及；()E X()D X（2） 求,并问与是否不相关？(,)Cov X XXX（3） 问与是否相互独立，为什么？ XX【解】(

31、1) | |1()ed0.2xE Xxx:2| |201()(0)ede d2.2xxD Xxxxx:(2) Cov(,)(|)()(|)(|)X XE XXE XEXE XX:| |1|ed0,2xx xx:所以与不相关.XX(3) 为判断|与的独立性，需依定义构造适当事件后再作出判断，为此，对定XX义域中的子区间（0,+）上给出任意点 x0，则有x 0000|.xXxXxXx所以000|1.PXxP Xx故由00000,|P XxXxPXxPXxP Xx:得出 与不相互独立.XX32.已知随机变量 X 和 Y 分别服从正态分布 N（1，32）和 N（0，42） ，且 X 与 Y 的相关系数

32、，设 Z=.12XY 23YX（1） 求 Z 的数学期望 E（Z）和方差 D（Z） ；（2） 求 X 与 Z 的相关系数；XZ（3） 问 X 与 Z 是否相互独立，为什么？ 【解解】(1) 1( ).323XYE ZE( )2,3232XYX YD ZDDCov11119162Cov(, ),9432X Y 而1Cov(, )()( )3 462XYX YD XD Y :所以 1( )1463.3D Z (2) 因11Cov(,)Cov,Cov,Cov,3232XYX ZXX XX Y119()( 6)3=0,323D X -所以 Cov(,)0.()( )XZX Z D XD Z:(3) 由

33、，得 X 与 Z 不相关.又因，所以 X 与 Z 也0XZ1,3 ,(1,9)3ZNXN相互独立. 33.将一枚硬币重复掷 n 次，以 X 和 Y 表示正面向上和反面向上的次数.试求 X 和 Y 的相关系数. XY【解】由条件知 X+Y=n，则有 D（X+Y）=D（n）=0.再由 XB(n, p), YB(n, q)，且 p = q =,1 2从而有 ()( )4nD XnpqD Y所以 0()()( )2()( )XYD XYD XD YD XD Y:故=1.2,24XYnn:XY（填空题或选择题，由可以直接得=1）.YnXXY34.设随机变量 X 和 Y 的联合概率分布为1 0 10 10

34、.07 0.18 0.15 0.08 0.32 0.20试求 X 和 Y 的相关系数. XY【解解】由已知条件得 E(X)=0.6, E(Y)=0.2，而 XY 的概率分布为YX101P0.080.720.2 所以 E（XY）=0.08+0.2=0.12(, )()() ( )0.120.6 0.20Cov X YE XYE X E Y从而 =0XY35.对于任意两事件 A 和 B，0P(A)1，0P(B)1,则称=为事件 A 和 B 的相关系数.试证：)()()()()()(BPAPBPAPBPAPABP（1） 事件 A 和 B 独立的充分必要条件是 =0； （2） |1. 【证证】 （1）

35、由 的定义知，=0 当且仅当 P(AB)P(A)P(B)=0. 而这恰好是两事件 A、B 独立的定义，即 =0 是 A 和 B 独立的充分必要条件. (2) 引入随机变量 X 与 Y 为1,0,AXA 若发生若发生;1,0,BYB 若发生若发生.由条件知，X 和 Y 都服从 01 分布，即011( )( )XP AP A 011( )( )YP BP B 从而有 E(X)=P(A),E(Y)=P(B),Y XD(X) = P (A).P (), D(Y) =P (B) P (),AB(, )()( ) ( )Cov X YP ABP A P B所以，事件 A 和 B 的相关系数就是随机变量 X

36、 和 Y 的相关系数.于是由二维随机变量 相关系数的基本性质可得|1. 36. 设随机变量 X 的概率密度为1,10,2 1( ),02,4 0,.Xxfxx 其他令，为二维随机变量的分布函数，求：2YX( , )F x y(, )X Y(1) 的概率密度；Y( )Yfy(2);(, )Cov X Y(3). 1(,4)2F 解解： (1) 的分布函数为Y.2( )YFyP YyP Xy当 y0 时， ，；( )0YFy ( )0Yfy 当 0y1 时，3( )004YFyPyXyPyXPXyy；3( )8Yfyy当 1y4 时， 11( ) 10024YFyPXPXyy ；1( )8Yfyy

37、当 y4 时，.( )1YFy ( )0Yfy 故 Y 的概率密度为3,01,81( )0,14,80,.Yyyfyyy 其他(2) ,0210111()( )ddd244+XE X =xfx xx xx x-,02222210115( )()( )ddd246+XE Y =E X=x fx xxxxx-,02333310117()()( )ddd248+XE XY =E X=x fx xxxxx-故 .2()()()( )3Cov X,YE XYE XE Y =-(3) 2111(,4),4,4222FP XYP XX 11, 22 222P XXPX .11 124PX 37. 设二维随机

38、变量的概率分布如下表(, )X YY X-101-1a00.200.1b0.2100.1c其中为常数，且的数学期望,记, ,a b cX()0.2E X 000.5P YX求：ZXY（1） 的值；, ,a b c（2） 的概率分布；Z（3） . ()P XZ解解 (1) 由概率分布的性质知， ， 即 0.61abc.(1)0.4abc由，可得()0.2E X .（2）0.1ac 再由 ,0,00.1000.500.5P XYabP YXP Xab得 .（3）0.3ab 解方程组（1） （2） （3）得.0.2,0.1,0.1abc(2) 的可能取值为2，1，0，1，2，ZXY，21,10.2P ZP XY ，11,00,10.1P ZP XYP XY ，01,10,01,10.3P ZP XYP XYP