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概率论与数理统计习题二答案
1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量的分布律.
【解】的可能取值为，其取不同值的概率为
故所求分布律为
X
3
4
5
P
0.1
0.3
0.6
2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品个数，求：
（1） X的分布律；（2） X的分布函数并作图；
(3).
【解】的可能取值为，其取不同值的概率为
故的分布律为
0
1
2
（2） 当时，
当时，
当时，
当时，
故的分布函数
(3)
3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率.
【解】设表示3次射击中击中目标的次数.则的可能取值为0，1，2，3，显然其取不同值的概率为
故的分布律为
0
1
2
3
0.008
0.096
0.384
0.512
分布函数
3次射击中至少击中2次的概率为
4.（1） 设随机变量X的分布律为
，
其中k=0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a.
（2） 设随机变量X的分布律为
， k=1，2，…，N，
试确定常数a.
【解】（1） 由分布律的性质知
故
(2) 由分布律的性质知
即 .
5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求：
（1） 两人投中次数相等的概率;（2） 甲比乙投中次数多的概率.
【解】设、分别表示甲、乙投中次数，则,
(1)
+
(2)
=0.243
6.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？
【解】设为某一时刻需立即降落的飞机数，则，设机场需配备条跑道，根据题意有
即
利用泊松定理近似计算
查表得N≥9.故机场至少应配备9条跑道.
7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？
【解】设X表示出事故的次数，则X~b（1000，0.0001）
8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X满足P{X=1}=P{X=2}，求概率P{X=4}.
【解】设在每次试验中成功的概率为p，则
故
所以 .
9.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号，
（1） 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；
（2） 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.
【解】设表示指示灯发出信号
（1） 设X表示5次独立试验中A发生的次数，则 。
所求概率为
(2) 令Y表示7次独立试验中A发生的次数，则，所求概率为
10.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为的泊松分布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.
（1） 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；
（2） 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率.
【解】
（1）
从而
(2)
11.设 P{X=k}=, k=0,1,2
P{Y=m}=, m=0,1,2,3,4
分别为随机变量X，Y的概率分布，如果已知P{X≥1}=，试求P{Y≥1}.
【解】因为，所以 .
即 ，可得
从而
12.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.
【解】令X为2000册书中错误的册数，则X~b(2000,0.001).利用泊松定理近似计算,
13.进行某种试验，成功的概率为，失败的概率为.以X表示试验首次成功所需试验的次数，试写出的分布律，并计算取偶数的概率。
【解】的可能取值为 ，的分布律为
取偶数的概率为
14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求：
（1） 保险公司亏本的概率;
（2） 保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率.
【解】以“年”为单位来考虑.
（1） 在1月1日，保险公司总收入为250012=30000元.
设1年中死亡人数为，则，则所求概率为
由于n很大，p很小，λ=np=5，故用泊松定理近似计算，有
(2) P(保险公司获利不少于10000)
即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上
P（保险公司获利不少于20000）
即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%
15.已知随机变量X的密度函数为
f(x)=Ae-|x|, -∞
a时，F（x）=1
即分布函数
18.设随机变量X在[2，5]上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率.
【解】X~U[2,5]，即
故所求概率为
19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分钟计）服从指数分布.某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y的分布律，并求P{Y≥1}.
【解】依题意知，即其密度函数为
该顾客未等到服务而离开的概率为
,即其分布律为
20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X服从N（40，102）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X服从N（50，42）.
（1） 若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？
（2） 又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？
【解】（1） 若走第一条路，X~N（40，102），则
若走第二条路，X~N（50，42），则
故走第二条路乘上火车的把握大些.
（2） 若X~N（40，102），则
若X~N（50，42），则
故走第一条路乘上火车的把握大些.
21.设X~N（3，22），
（1） 求P{20;
(2)
试确定常数a,b，并求其分布函数F（x）.
【解】（1） 由 知
故
即密度函数为
当x≤0时
当x>0时
故其分布函数
(2) 由
得 b=1
即X的密度函数为
当x≤0时F（x）=0
当00时，
故
(2)由 可知
当y≤1时，
当y>1时，
故
(3) 由Y=｜X｜可知
当y≤0时
当y>0时
故
31.设随机变量X~U（0,1），试求：
（1） 的分布函数及密度函数；
（2） 的分布函数及密度函数.
【解】的概率密度为
（1） 由 ,,得
当时 ，
当10时，
即分布函数
故Z的密度函数为
32.设随机变量X的密度函数为
试求Y=sinX的密度函数.
【解】因为,由 Y=sinX 可知 ，
当y≤0时，
当00）=1，故0<1-e-2X<1，即P（06,则P（X1时，
即
分布函数关于求导，得概率密度
51.设随机变量X的密度函数为
fX(x)=,
求Y=1-的密度函数fY(y).
【解】对任意实数，分布函数
分布函数关于求导，得概率密度
52.假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N（t）服从参数为λt的泊松分布.
（1） 求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布（分布函数）；
（2） 求在设备已经无故障工作8小时的情形下，再无故障运行8小时的概率Q.（1993研考）
【解】（1） 当t<0时，
当t≥0时，事件{T>t}与{N(t)=0}等价，有
即
即间隔时间T服从参数为的指数分布。
（2）
53.设随机变量的绝对值不大于1，P{X=-1}=1/8，P{X=1}=1/4.在事件{-1
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