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1、第一章习题解答第一章习题解答1解：（1） =0，1，10 ；（2） =0，1，100 ，其中为小班人数；ini|nn（3） =, , ,其中表示击中，表示未击中；（4） =（）|0 时 Z 的密度函数为()0( )()( )zz yy ZXYfzfzy fy dyeedy()0()zzyzzeedyee 当时，所以0z ( )0Zfz (),0( ) 0,0zzZeezfz z 第四章习题解答1设随机变量 XB（30，） ，则 E（X）( D ).61A.； B.； C.； D.5.61 65 6251()3056E Xnp2已知随机变量 X 和 Y 相互独立，且它们分别在区间-1，3和2，4
2、上服从均匀分布，则 E(XY)=（ A ）. A. 3；B. 6； C. 10； D. 12. ()1( )3E XE Y因为随机变量 X 和 Y 相互独立所以()() ( )3E XYE X E Y3设 X 表示 10 次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为 0.4，则 X2的数 学期望 E(X 2)_18.4_(10,0.4)()4()2.4XBE XD X:22()( ()()18.4E XE XD X4某射手有 3 发子弹，射一次命中的概率为，如果命中了就停止射击，否则一直射到32子弹用尽设表示 X 耗用的子弹数求 E（X）.解： X123P2/32/91/9 22113(
3、)233999E X 5设 X 的概率密度函数为,01( )2,120,xxf xxx 其它求2() ,().E XE X解：,12201()( )(2)1E Xxf x dxx dxxx dx.122232017()( )(2)6E Xx f x dxx dxxx dx6设随机向量(X，Y)的联合分布律为：Y X-112-10.250.10.3 20.150.150.05求 () ,( ),().E XE YE XY解： X-12P0.650.35.()0.650.35 20.05E X Y-112P0.40.250.35( )0.40.25 10.35 20.55E Y ()( 1) (
4、1) 0.25( 1) 1 0.1 ( 1) 2 0.3 2 ( 1) 0.152 1 0.152 2 0.050.25E XY 7设二维随机向量（X，Y）的联合概率密度为e0( , )0yxyf x y ，其它求（1）; (2) .()E XY()E XY解：()() ( , )E XYxy f x y dxdy 0()3yxxy e dy dx0()() ( , )()3yxE XYxy f x y dxdyxy e dy dx 8设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 D(X)=1，D(Y)=2，则 D(X-Y)= 3 .()()( )3D XYD XD Y9设正方形的边长在区间0，2服从
5、均匀分布，则正方形面积 A=X2的方差为 _64/45_.X 的密度函数41()1,(),123E XD X1/2,02( )0xf x ，其他2214() ()()1.33E XE XD X 24440116()( )dd25E Xx f xxxx2422216464()() ()( )5345D XE XE X10设随机变量 X 的分布律为X-1012P1/51/21/51/10求 D(X). 解：，,22()()( ()D XE XE X1111()10 1255105E X ,22221114()( 1)0 1255105E X .224119()()( ()52525D XE XE
6、X11设随机变量 X 的概率密度函数为，求 D(X )| |1( )e2xf x解：，1()( )02xE Xxf x dxxedx，22201()( )222xE Xx f x dxx e dx.22()()( ()2D XE XE X12设随机变量 X，Y 相互独立，其概率密度函数分别为,01( )2,120,Xxxfxxx 其它e,0( )0,yYyfy 其它求 D(X )，D(Y )，D(X-Y )解：由本章习题 5 知，于是有()1E X 27()6E X.221()()( ()6D XE XE X由知.(1)YE:()()1E XD X由于随机变量 X，Y 相互独立，所以.7()(
7、)( )6D XYD XD Y13设 D(X)=1,D(Y)=4,相关系数，则 cov(X,Y)=_1_.0.5XYcov(X,Y)=()( )1XYD X D Y14设二维随机变量(X, Y )的联合密度函数为1sin()0,0( , )222 0xyxyf x y ，其它求 cov(X,Y )，XY解：,()( , )E Xxf x y dxdy 22 001sin()24xxy dxdy 22()( , )E Xx f x y dxdy 222 001sin()2xxy dxdy ,22 011(cos +sin )2282xx dx.2221()() ()2162D XE XE X由对
8、称性 , .( )()4E YE X21( )()2162D YD X22 00()() ( , )12()sin()22E XYxy f x y dxdyxyxy dxdy ，cov(X,Y )=22()() ( )().24E XYE X E Y=-00461，22cov( , )21() (2)=-0.2454.24162()( )XYx y D X D Y15设二维随机变量(X, Y )有联合概率密度函数1(),02, 02( , )8 0,xyxyf x y 其它试求 E(X)，E(Y)，cov(X, Y)，XY解：,()( , )E Xxf x y dxdy 220017()86x
9、 xy dxdy 由对称性.7( )6E Y ,220014()() ( , )()()83E XYxy f x y dxdyxy xy dxdy cov(X,Y )= .1()() ( )36E XYE X E Y ,222220015()() ( , )()()83E Xxf x y dxdyxxy dxdy . 2211()()( ()36D XE XE X由对称性.11( )36D Y cov( , )1 11()( )XYx y D X D Y 16设 X, Y 相互独立，XN(0，1)，Y N(1，2)，Z = X+2Y，试求 X 与 Z 的相关系数解：,cov(,)cov(,2
10、)()2cov(, )1 01X ZX XYD XX Y ,( )(2 )()4( )9D ZD XYD XD Y.cov( , )1 3()( )xzx z D X D Z17设随机变量(5,3)，Y 在0，6上服从均匀分布，相关系数，求（1）XN1 2XY；（2）.(2 )E XY(2 )D XY解：,(2 )()2 ( )52 31E XYE XE Y 2(2 )()4 ( )4cov(, )()4 ( )4()( )61344339.122XYD XYD XD YX YD XD YD X D Y 18设二维随机向量（X，Y）的概率密度为2,01,0( , )0,xyxf x y 其它求
11、（1）E（XY） ；（2）E（XY） ；（3）.XY解：;100()() ( , )2()1xE XYxy f x y dxdyxy dy dx ;1001()() ( , )2()4xE XYxy f x y dxdyxy dxdy 1002()( , )2()3xE Xxf x y dxdyxdy dx 1( )()()3E YE XYE Xcov(X,Y )= 1()() ( )36E XYE X E Y1222001()( , )2()2xE Xx f x y dxdyx dy dx 1222001()( , )2()6xE Yy f x y dxdyy dy dx ，221()()(
12、 ()18D XE XE X221( )()( ( )18D YE YE Ycov( , )1 2()( )xzx z D X D Z第五章习题解答1. 设随机变量X的方差为 2，则根据车比雪夫不等式有估计1/2 .()2P XE X2()1()222D XP XE X2. 随机变量X和Y的数学期望分别为-2 和 2，方差分别为 1 和 4，相关系数为-0.5，则根据车比雪夫不等式有估计 1/12 .6P XY2()16() ()( )6612D XP XYPXYE XE Y3. 电站供应一万户用电设用电高峰时，每户用电的概率为 09，利用中心极限定理， （1）计算同时用电的户数在 9030
13、户以上的概率；（2）若每户用电 200 w，电站至少应具 有多大发电量才能以 095 的概率保证供电？ 解： 设表示用电户数，则X(10000,0.9),10000,0.9,9000,900XBnpnpnpq由中心定理（定理 4）得9030190309000903090001900900 1(1)1 0.84130.1587P XP XXP 设发电量为，依题意Y 2000.95PXY即 900090002000.95900900YXP 9000200()0.9590090002001.65900 1809900YYY 4. 某车间有 150 台同类型的机器，每台机器出现故障的概率都是 002，
14、设各台机器的 工作是相互独立的，求机器出现故障的台数不少于 2 的概率解：设表示机器出故障的台数，则X(150,0.02)XB:21020332312.942.942.9410.5832(0.5832)0.7201P XPXXPP X 5.用一种对某种疾病的治愈率为 80%的新药给 100 个患该病的病人同时服用，求治愈 人数不少于 90 的概率解：设表示治愈人数，则X(100,0.8)XB:其中100,0.8,80,16npnpnpq809080901616 1(2.5)0.0062XP XP 6. 设某集成电路出厂时一级品率为 0.7，装配一台仪器需要 100 只一级品集成电路， 问购置多
15、少只才能以 99.9%的概率保证装该仪器是够用(不能因一级品不够而影响工作)解：设购置台，其中一级品数为，nX( ,0.7)XB n:0.7,0.7 ,0.21pnpn npqn0.71000.71000.210.21 1000.71()0.9990.21XnnP XPnn n n 有 1000.70.309021700.21nnn 7. 分别用切比雪夫不等式与隶美弗拉普拉斯中心极限定理确定：当掷一枚硬币时， 需要掷多少次，才能保证出现正面的频率在 0.40.6 之间的概率不小于 90%解：设投，其中正面出现的次数为，nX1( , ),2XB n pp :由切贝雪夫不等式20.11 0.90.
16、1()0.1()0.1 25XPpnXXXPpPEnnnXDnn 只要 251 0.9250nn 中心极限定理0.10.90.10.90.10.10.10.12 () 10.90.11.6568XPpnP XnpnXnpnP XnpPnpqnpqnpqn npqnnnpq 8. 某螺丝钉厂的废品率为 0.01，今取 500 个装成一盒问废品不超过 5 个的概率是多少？解：设表示废品数，则X(500,0.01)XB:0.01,5,4.95pnpnpq05555054.954.954.95 (0)( 2.25)0.4878XPXP 习 题 七1.解：因为，0, XU:()2E X由于，即，解之得，
17、的矩估计量为.11mA2X2X2.解：正态分布的密度函数为22()21( )2x f xe 似然函数：22221()()2 22211( )(2)2n iiin xxniLee 所以，2 2 2 1()ln ( )ln(2)22niinxL 似然方程组： 2 12 224 1ln1()0ln11()022niiniiLxLnx 解之得，所以和的极大似然估计分别是222 2 11,()ni iXxXBn，()XttP XtP 所以的极大似然估计为，其中.P Xt:()t22 2 11,()ni iXxXBn3. 解：（1）因为，110()1E Xxxdx由于，即，解之得，的矩估计量为.11mA1
18、X 1X X（2）似然函数：，1111( )()nn n ii iiLxx所以， ，11ln ( )ln(1)ln()ln(1)lnnnii iiLnxnx似然方程：，1ln ( )ln0ni iLnx 解之得，的极大似然估计为.1lnni inx 4.解：（1）1,0( ) 0,0x exf x x 似然函数:，1111( )ni iix xnn iLee所以，1ln ( )lnni ix Ln 似然方程：，1 2ln ( )0ni ixLn 解之得，的极大似然估计为.11ni ixxn(2)1(),0,( )0,0xxexf xx已知似然函数：，11111( )()() ()ni iinn
19、x xn ii iiLxexe 所以，11ln ( )lnln(1)ln()nnii iiLnnxx似然方程：1ln ( )ni iLnx 解之得，的极大似然估计为.1ni inx （3）1(1),1,2,.xP Xxx似然函数：，111( )(1)(1)ni iinxn xniL 所以，1ln ( )ln()ln(1)ni iLnxn似然方程：，1ln ( )01ni ixnLn 解之得，的极大似然估计为.111ni iXx 5.解：由于，所以，且之间相互独立，( )XP(),()iiE XD X1,nXX从而，2( ),()E xE s对于任意，0,122(1)( )(1) ()(1)Ex
20、sE xE s 所以也是的无偏估计.2(1)xs6.解：因为总体均值为，总体方差为，()E X2()D X由于样本均值是总体均值的无偏估计，样本方差是总体方差的无偏估计，所以，12( )()E xE x222 12()()E sE s1122112212121212()()( )()n xn xn E xn E xnnE xEnnnnnn222222 221122112212121212(1)(1)(1) ()(1) ()(1)(1)()()222wnsnsnE snE snnE sEnnnnnn因此，分别是总体均值，总体方差的无偏估计量.2,wx s27.解：由已知，且之间相互独立，2( )
21、,( )iiE xD x1,nxx所以，2222()( )( ),iiiE xD xE x2 11()( ) (),iiiiE x xE x E x11111 22222 11111 11111() )(2)( (2)nnnnniiiiiiiiii iiiiiE CxxE CxxxxE Cxxxx 111 2222222 11 111()2()()(1)()2(1)(1)()nnniiii iiiCE xE xxE xC nnn ，222(1)2 (1)CnC n若使为的无偏估计，只要，即.1 2 1 1()nii iCxx 2222 (1)C n1 2(1)Cn8.解：（1）由于，16111
22、.1531,0.01,16,0.0516i ixxn(0,1)/XuNn 对于给定的0.05，查附表可确定，使，即0.05/2u0.05/2()1 0.050.95P uu ，0.05/20.05/20.95P XuXunn因此的 0.95 置信区间是.0.05/20.01/(1.15311.96)(1.1483,1.1581)4xun（2），16 2211()0.000133,0.011515i isxxs取 ， (1)/xtt nsn对于给定的0.05，查附表可确定，使，即0.05/2t0.05/2()1 0.050.95P tt ，0.05/20.05/20.95ssP XttXtnn
23、因此的 0.95 置信区间是.0.05/20.0115/(1.15312.1314)(1.1470,1.1592)4xtSn9. 由于，1010 221111457.5,()1212.5,34.82,10,0.05109ii iixxsxxsn取 ， (1)/xtt nsn对于给定的0.05，查附表可确定，使，即0.05/2t0.05/2()1 0.050.95P tt ，0.05/20.05/20.95ssP XttXtnn 因此的 0.95 置信区间是.0.05/234.82/(457.52.2622)(431.24,483.76)3xtSn10. 由于，7.77,1.85,2500,0.
24、05xsn取 ， (1)/xtt nsn对于给定的0.05，查附表可确定，使，即0.05/2t0.05/2()1 0.050.95P tt ，0.05/20.05/20.95ssP XttXtnn 因此的 0.95 置信区间是.0.05/20.0251.85/(7.77(2499)50xtSnt11. 由于，11,9,0.05sn22) 1( Sn ) 1(2n由，2 22 1/2/22(1)(1)(1)1nSPnn 因而的 0.95 置信区间为2，222222 00250.975(1)(1)8 118 11,(55.2055,444.0978)(8)(8)17.5345 2.1797nSnS
25、 从而的 0.95 置信区间为( 55.2055,444.0978)(7.4300,21.0736)12. 由于，22 12121220,5.32,2.18,5.76,1.76,nnxSyS，2222 2112212(1)(1)19 2.1819 1.763.925(2)38wnSnSSnn1.9811wS 取 .1212()11wXYtSnn )2(21 nnt由，12/ttP可得的 0.95 置信区间为210.0512 122112(2)5.325.762.0244 1.9811( 1.7413,0.8613)19wXYtnnSnn 13. 由于，121250,60,41.23,10.3,
26、26.12,4.95nnxSyS因为,，我们可以用、的无偏估计量、来代替、进行计算，1n250n 2 12 22 1S2 2S2 12 2即可得到大样本时的 0.95 置信区间为212222 12 0.05 12210.34.9541.2326.12 1.96(11.9922,18.2278)5060SSXYunn14. 由于，121216,21,186,216nnSS取 ) 1, 1(/212 22 1 2 22 1nnFSSF由，1/212/212(1,1)(1,1)1P FnnFFnn 可得的 0.95 置信区间为22 122222 11 2222 20.0251220.97512111861186,2.76(0.2885,2.0465)(1,1)(1,1)2162.57 216SS SFnnSFnn