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1、2023年排列组合常见问题答案 学大教育科技（北京）有限公司 教学设计方案 排列组合问题常见解法 排列组合问题是高考考察的重点，每年必考内容，常是一个选择题或一个填空题，分值为5分，难度为中等难度，在分布列计算中也常用到排列组合的计算，先将排列组合问题解法介绍如下，供同学们参考。 一、元素分析法 在解有限定元素的排列问题时，首先考虑特殊元素的安排方法，再考虑其他元素的排法。 例1（06全国）安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日。不同的安排方法共有 种（用数字作答） 解：因甲、乙二人都不安排在5月1日和2日，所以先安排甲、乙，在5月3日至
2、5月7日5天中选2天安排甲、乙有A52种方法，再安排其余5人，有A55种方法，故共有A55A52=2400种 二、位置分析法 在解有限定位置的排列问题时，首先考虑特殊位置的安排方法，再考虑其他位置的排法。 例2 题同例1 解：因5月1日和2日不能安排甲、乙，所以先安排5月1日、2日，在除甲、乙外5人中选2人安排到5月1日、2日，有A52种方法，再安排其余5天，有A55种方法，故共有A52A55=2400种 三、间接法 又叫排除法，在解有限定条件的排列问题时，首先求出不加限定条件的排列数，再减去不符合条件的排列数。 例3 题同例1 725解：安排7人在5月1日至5月7日值班，有A7种方法，其中甲
3、、乙二人都安排在5月1日和2日有A2A511257251125种，甲、乙仅一人安排在5月1日和2日有C2C5A2A5种。不同的安排方法共有A7-A2A5-C2C5A2A5=2400种 四、树图法 又称框图法，用树图或框图列出所有排列（或组合），从而求出排列数。适合限定条件在3个以上，排列组合问题。 例4 已知集合M=a，b，c ，N=1，0,-1,在从集合M到集合N的所有映射f中，满足f(a)+f(b)=f(c)的映射有多少个？ 解：满足条件的映 所以满足条件的映射有7个。 五、逐一插入法 若干元素必须按照特定的顺序排列的问题，先将这些“特殊元素”按指定顺序排列，再将“普通元素”逐一插入其间或
4、两端。 例5（06湖北）某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6项工程的不同排法种数是 。（用数字作答） 解：（逐一插入法）先将工程甲、乙、丙、丁按指定的顺序排成一排，有1种方法，将丙丁看成一项工程，再在甲、乙、丙（丁）之间和两端的4个空档安排其余2项工程1项工程，有A4种方法，再在这4项工程之间和两端 第1页 学大教育科技（北京）有限公司 1学大教育科技（北京）有限公司 教学设计方案 111的5个空档安排其余1项工程，有A5种方法，所以共有A4A5=20种方法。 六、消序法 若干元
5、素必须按照特定的顺序排列的问题，先将所有元素全排列，再将特殊元素在其位置上换位情况消去（通常除以特殊元素的全排列数），只保留指定的一种顺序。 例6（06江苏）今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有 种不同的方法（用数字作答） 解：先将9个球排成一排有A99种不同的方法，其中，2个红球有A22排法， 3个黄球有A33排法， 4个白球有A4排法， 因同色球不加以区分， 所以2个红球、3个黄球、4个白球都各有1中排法，消去它们的顺序得将这94个球排成一列有A922944AAA33=1260种 七、优序法 若干元素必须按照特定的顺序排列的问题，先从所有位置中按“特殊元
6、素”个数选出若干位置，并把这些特殊元素按指定顺序排上去，再将普通元素在其余位置上全排列。 例7（06湖北）某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6项工程的不同排法种数是 。（用数字作答） 解：先将丙丁看作1项工程，再在5个位置中选3个位置，按指定顺序安排甲、乙、丙（丁）3项工程，有C53种方法，再在其余2个安排其余2项工程，有A22种方法，所以共有A22C5=20种方法。 3八、捆绑法 若某些元素必须相邻，先把这几个相邻元素捆在一起看成一个元素，再与其他元素全排列，最后再考虑这几个相
7、邻元素的顺序。 例8 （05辽宁）用 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻， 3与4相邻，5与6相邻， 7与8不相邻，这样的八位数共有 个。（用数字作答） 解：先将1与 2、3与 4、5与6各看成一个元素，将这3个元素排成一排，有A3种方法，再在这3个元素之间和两端的4个空档中选3个安排7与8，有 A4种方法，再排1与 2、3与 4、5与6的顺序，各有2种方法，所以共有A3A423=257种方法，因每一种排法对应一个八位数，所以这样的八位数共有257个。 332 2九、插空法 若某些元素不相邻，先将普通元素全排列，然后再从排就的每两个元素之间及两端
8、选出若干个空挡插入这些特殊元素。 例9 有一排8个相同的座位，选3个座位坐人，要求每人两边都有空位，这3人有多少不同的安排方法？ 解：因3个坐人的座位不相邻，用插空法，先将5个空位排成一排有1种方法，然后在5个空位的4空档选3个空档安排坐人的3个座位，有A4=24种不同的方法，这3人有24不同的安排方法。 十、查字典法 对数的大小顺序排列问题常用此法。（1）先把每一个数字（符合条件）打头的排列数计算出来；（2）再找下一位数字。 例10 在由1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的五位数中，大于23145且小于43521的数共有（ ） A.56 B.57 C.58 D.60 第2页 学大教育科
9、技（北京）有限公司 3学大教育科技（北京）有限公司 教学设计方案 12解：首位为2第二位为3第三位为1比23145大的数只有1个；首位为2第二位为3第三位比1大的数有A2A2 13134=4个；首位为2第二大于3的数A2A3=12个；首位为3的数有A424个；首位为4第二位比3小的数有A2A3=12 12个；首位为4第二位为3第三位比5小的数有A2A2=4个；首位为4第二位为3第三位为5比43521小的数有1个。所以大于23145且小于43521的数共有1+4+12+24+12+4+1=58个。 十一、分组问题 （1）若各组元素个数均不相同，则逐组抽取。 （2）若其中有若干组元素个数相同，则逐
10、组选取，因元素个数相同，所以组间无差别，故除以元素个数相同组数的全排列以消序。 例11（06江西）将7个人分成三个组，一组3人，另两组2 人，不同的分组数为a，则a为（ ） A.105 B.105 C.210 D.210 解：先在7人选3人作为1组，有C73种方法，再从其余4人中选2人作为1组，有C42种方法，再把余下2人作为1组有C22种方法，因后2组人数相同，故应认为这2组无序，应除以A22。 不同的分组有C7C4C2A22322=105种 十二、隔板法 又叫隔墙法，插板法，n件相同物品（n个名额）分给m个人，名额分配，相同物品分配常用此法。 若每个人至少1件物品（1个名额），则n件物品（
11、n名额）排成1排，中间有n-1个空挡，在这个n-1空档选m-1个空挡放入隔板，隔板1种插法对应1种分法，所以有Cn-1种分法。 若允许有人分不到物品 ，则先把n 件物品和m-1块隔板排成一排，有n+m-1个位置，从这个位置中选m-1个位置放隔板，有Cn+m-1种方法，再将n件物品放入余下的位置，只有1种方法，m-1块隔板将物品分成m块，从左到右可看成每个人分到的物品数，每1种隔板的放法对应一种分法，所以共有Cn+m- 1 种分法。 例12 9个 颜色大小相同的分别放入编号分别为1，2，3，4，5，6的6个盒中，要求每个盒中至少放1个小球，有多少种方法？ 解：（法1）将9个小球排成一排，9个小球
12、之间有8个空挡，在这8个空挡选5个空挡放5个隔板，将9个小球分成6份，每份至少1个球，将这6份放到6个盒中，有C8=56种方法。 （法2）先给每个盒中放1个球，然后将余下的3个小球和5块隔板排成一排，排列位置有8个，先从8个位置中选5个放隔板，有C8=56种方法，再余下位置放小球只有1种方法， 5块隔板将小球分成6块，从左到右看成6个盒所得球数，每一种隔板放法对应1种分法，故有C8=56种方法。 十三、排列组合综合问题 排列组合综合问题，应先取后排；较复杂的排列组合问题，如含“至多”、“至少”、多个限定条件问题，注意分类讨论。 例14 （06陕西）某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区
13、支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有 种 。 解：由题知，若选甲，则必不选乙，必选丙，须从除甲乙丙外5人中选2人，有C5种方法；若不选甲，则必不 第3页 学大教育科技（北京）有限公司 3555m-1m-1m-1学大教育科技（北京）有限公司 教学设计方案 选丙，须从除甲丙外6人中选4人，有C64种方法，再将选出的4人分到4个地区，有A44方法，所以不同的选派方案共有(C53+C64)A44=600种。 例14 现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名青年能胜任德语翻译工作，现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事
14、德语翻译工作，则有多少种不同的选法？ 解：（法1）我们可以分成3类： 让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作，有C42C32； 1让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作，有C43C3； 让两项工作都能担任的青年不从事任何工作，有C43C32； 1由分类计数原理，总的方法一共有C42C32+C43C3+C43C32=42 十 四、一一映射转化法 例15 一个楼梯共有11级台阶，每步走1阶或2阶，7步走完，一共有多少种走法？ 解：11级台阶，要求7步走完，每步走1阶或2阶 ，显然，必须有4步走2阶，3步走1阶。设每步走1阶为A每步走2阶为B，则原问题相当于在8个格子选个格子填A，其余填B，这是一个组合问题，所以一共有C7=35种不同的走法。 3第4页 学大教育科技（北京）有限公司 排列组合常见问题答案 排列组合综合问题. 排列组合 排列组合 排列组合常见的解题策略 排列组合应用 排列组合教案 排列组合教案 排列组合教案 排列组合中的分组问题