《2021年2021年排列与组合.版块五.排列组合问题的常见模型.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年2021年排列与组合.版块五.排列组合问题的常见模型.docx（14页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -排列与组合 .版块五 .排列组合问题的常见模型1基本计数原理 加法原理分类计数原理：做一件事，完成它有n 类方法，在第一类方法中有m1 种不同的方法，在其次类方法中有m2 种方法，在第 n 类方法中有mn 种不同的方法那么完成这件事共有Nm1m2mn 种不同的方法又称加法原理 乘法原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有m1 种不同的方法， 做其次个步骤有m2 种不同方法，做第 n个步骤有mn 种不同的方法那么完成这件事共有Nm1m2mn 种不同的方法又称乘法原理 加法原理与乘法原理的综合
2、运用假如完成一件事的各种方法为相互独立的，那么运算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理 假如完成一件事的各个步骤为相互联系的，即各个步骤都必需完成，这件事才告完成，那么运算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理分类计数原理. 分步计数原理为推导排列数. 组合数公式的理论基础， 也为求解排列.组合问题的基本思想方法， 这两个原理非常重要必需仔细学好， 并正确地敏捷加以应用2 排列与组合 排列：一般地，从 n 个不同的元素中任取m(m n) 个元素，根据肯定的次序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列 （其中被取的对象叫做元素）排列数：从 n 个不同的元素中取出m( m n)
3、个元素的全部排列的个数， 叫做从 n 个n不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号A m 表示n排列数公式： A mn(n1)(n2)(nm1) ， m ， nN，并且 m n 全排列：一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列n 的阶乘：正整数由 1 到n 的连乘积，叫作 n 的阶乘，用 组合：一般地，从 n 个不同元素中，任意取出m (m n. 表示规定： 0.1 n) 个元素并成一组，叫做从 n 个元素中任取 m 个元素的一个组合n组合数：从 n 个不同元素中，任意取出m ( m n) 个元素的全部组合的个数，叫做从 n 个不同元素中，任意取出m 个元素的
4、组合数，用符号Cm 表示m组合数公式： Cnn(n1)(n2)(nm1)m.n.m.(nm).， m、 nN，并且m n 组合数的两个性质：性质1： CmCn m ；性质 2： CmCmCm 1 （规定 C01 ）nn 排列组合综合问题n 1nnn解排列组合问题， 第一要用好两个计数原理和排列组合的定义，即第一弄清为分类仍为分步，为排列仍为组合，同时要把握一些常见类型的排列组合问题的解法： 1特殊元素.特殊位置优先法1第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要
5、求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；2分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类争论或分步运算，肯定要做到分类明确，层次清晰，不重不漏 3排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这为一种间接解题的方法4捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个 ”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素 ”内部排列 5插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空6插板法： n 个相同元素，分成 m(m n) 组，每组至少一个的分组问题 把 nm个元素排成一排，从n1 个空中选 m1 个空，各插一个隔板，有C1 n 1
6、7分组.安排法：分组问题（分成几堆，无序）有等分.不等分.部分等分 之别一般地平均分成n 堆（组），必需除以n ！，假如有 m 堆（组）元素个数相等，必需除以 m ！8错位法：编号为1 至 n 的 n个小球放入编号为1 到 n 的 n 个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特殊当n2 ，3，4，5 时的错位数各为1， 2， 9， 44关于 5.6.7 个元素的错位排列的运算，可以用剔除法转化为2 个.3 个.4 个元素的错位排列的问题1排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径： 元素分析法：以元素为主，应先满意特殊元素
7、的要求，再考虑其他元素； 位置分析法：以位置为主考虑，即先满意特殊位置的要求，再考虑其他位置； 间接法： 先不考虑附加条件， 运算出排列或组合数， 再减去不符合要求的排列数或组合数求解时应留意先把详细问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理仍为分步计数原理； 然后分析题目条件， 防止“选取”时重复和遗漏； 最终列出式子运算作答2详细的解题策略有： 对特殊元素进行优先支配； 懂得题意后进行合理和精确分类，分类后要验证为否不重不漏； 对于抽出部分元素进行排列的问题一般为先选后排，以防显现重复； 对于元素相邻的条件， 实行捆绑法； 对于元素间隔排列的问题，实行插空法或隔板法；
8、次序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理； 对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型2第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -典例分析排队问题【例 1】 三个女生和五个男生排成一排 假如女生必需全排在一起，可有多少种不同的排法？ 假如女生必需全分开，可有多少种不同的排法？ 假如两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？【例 2】6 个人站成一排：其中甲.乙两人必需相邻有多少种不同的排法？其中甲.乙两人不相邻有多少种不同的排法？其中甲.乙两
9、人不站排头和排尾有多少种不同的排法？其中甲不站排头，且乙不站排尾有多少种不同的排法？【例 3】 7 名同学排队照相 如分成两排照，前排3 人，后排 4 人，有多少种不同的排法？ 如排成两排照，前排3 人，后排 4 人，但其中甲必需在前排，乙必需在后排，有多少种不同的排法？ 如排成一排照，甲.乙.丙三人必需相邻，有多少种不同的排法？ 如排成一排照， 7 人中有 4 名男生， 3 名女生，女生不能相邻，有多少种不同的排法？3第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -【例 4】6 个队员排成一排，共有多
10、少种不同的排法？如甲必需站在排头，有多少种不同的排法？如甲不能站排头，也不能站排尾，问有多少种不同的排法？【例 5】ABCDE 五个字母排成一排，如ABC 的位置关系必需按A 在前. B 居中. C 在后的原就，共有 种排法（用数字作答） 【例 6】 用 1 到 8 组成没有重复数字的八位数，要求1 与 2 相邻， 3 与 4 相邻，5 与 6 相邻，而 7 与 8 不相邻，这样的八位数共有_答） 个（用数字作【例 7】 记者要为 5 名理想者和他们帮忙的2 位老人拍照，要求排成一排，2 位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（） A 1440 种B 960 种C 720 种D 480 种4第
11、 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -868685【例 8】12 名同学合影，站成前排4人后排 8 人，现摄影师要从后排8 人中抽 2 人调整到前排， 如其他人的相对次序不变， 就不同调整方法的总数为 （）83A C2 A 2B C2A 6C C2 A 2D C2A 2【例 9】 记者要为 5 名理想者和他们帮忙的2 位老人拍照，要求排成一排，2 位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（）A1440 种B960 种C720 种D 480 种【例 10】在数字 1，2 ，3 与符号，五个元素的全部
12、全排列中， 任意两个数字都不相邻的全排列个数为（）A 6B 12C 18D 24【例 11】方案展出 10 幅不同的画，其中1 幅水彩. 4 幅油画. 5 幅国画，排成一列陈设，要求同一品种的画必需连在一起，并且水彩画不放在两端，那 么不同的陈设方式有 种【例 12】6 人站一排，甲不站在排头，乙不站在排尾，共有 种不同的排5第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -法（用数字作答）【例 13】一条长椅上有 7 个座位， 4 人坐，要求 3 个空位中，有 2 个空位相邻，另一个空位与 2 个相邻位
13、不相邻，共有几种坐法？【例 14】 3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排，如男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位女生相邻，就不同排法的种数为（）A 360B 288C 216D 96【例 15】古代“五行”学说认为：“物质分金. 木.土.水.火五种属性，金克木， 木克土，土克水，水克火，火克金”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，就这样的排列方法有种（结果用数值表示） 【例 16】在1，2，3 ，4 ，5 ，6 ，7 的任一排列a1 ，a2 ，a3 ，a4 ，a5 ，a6 ，a7 中，使相邻两数都互质的排列方式共有（）种A 288B 576C 86
14、4D 11526第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -【例 17】从集合P ，Q ，R，S与 0 ，1，2 ，3 ，4 ，5，6 ，7 ，8 ，9中各任取2 个元素排成一排（字母和数字均不能重复） 每排中字母 Q 和数字 0 至多只能显现一个的不同排法种数为 （用数字作答）【例 18】从集合 O ，P ，Q ，R ，S与0 ，1，2 ，3，4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，9中各任取 2 个元素排成一排（字母和数字均不能重复） 每排中字母 O ，Q 和数字 0 至多只能显现一个的不同排法种数为 （
15、用数字作答）【例 19】 6 个人坐在一排 10 个座位上，问 空位不相邻的坐法有多少种.4 个空位只有 3 个相邻的坐法有多少种 .4 个空位至多有 2 个相邻的坐法有多少种 .【例 20】 3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排，如男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位女生相邻，就不同排法的种数为（）A 360B 288C 216D 967第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -【例 21】12 名同学合影，站成了前排4 人后排 8 人，现摄影师要从后排8 人中抽2 人调整到前排，
16、其他人的相对次序不变，就不同调整的方法的总数有868685（）83A C2 A 2B C2 A 6C C2 A 2D C2 A 2【例 22】两部不同的长篇小说各由第一.二.三.四卷组成， 每卷 1本，共8 本将它们任意地排成一排，左边4 本恰好都属于同一部小说的概率为 【例 23】 2007 年12月中旬，我国南方一些地区遭受历史罕见的雪灾，电煤库存吃紧为了支援南方地区抗灾救灾，国家统一部署，加紧从北方采煤区调运电煤某铁路货运站对 6 列电煤货运列车进行编组调度，打算将这 6 列列车编成两组，每组3 列，且甲与乙两列列车不在同一小组假如甲所在小组 3 列列车先开出， 那么这 6 列列车先后不
17、同的发车次序共有（）A 36 种B 108 种C 216 种D 432 种数字问题【例 24】给定数字 0 .1. 2 .3 .5 . 9 ，每个数字最多用一次，可能组成多少个四位数？可能组成多少个四位奇数？可能组成多少个四位偶数？可能组成多少个自然数？8第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -【例 25】用 0 到 9 这 10 个数字，可组成多少个没有重复数字的四位偶数？【例 26】在 1，3，5，7，9 中任取 3 个数字，在 0，2，4，6，8 中任取两个数字， 可组成多少个不同的五位偶
18、数【例 27】用 1，2 ，3 ，4 ，5排 成一 个数 字不重 复的 五位 数a1 ，a2 ，a3 ，a4 ，a5， 满 足a1a2 ， a2a3， a3a，4a4的a 五位数有多少个？【例 28】用 0 ，1，2 ，9 这十个数字组成无重复数字的四位数，如千位数字与个位数字之差的肯定值为2 ，就这样的四位数共有多少个？【例 29】用数字 0 ，1，2 ，3 ，4 ，5 ，6 组成没有重复数字的四位数，其中个位.十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 个（用数学作答）9第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - -
19、- - - - -【例 30】有 4 张分别标有数字 1，2 ，3 ，4 的红色卡片和 4 张分别标有数字 1，2 ，3 ，4 的蓝色卡片，从这 8 张卡片中取出 4 张卡片排成一行假如取出的 4 张卡片所标数字之和等于 10 ，就不同的排法数一共有 种432 ；【例 31】有 8 张卡片分别标有数字 1， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ，从中取出 6 张卡片排成 3 行 2 列，要求 3 行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为 5 ， 就不同的排法共有（ ）A 1344 种B 1248 种C 1056 种D 960 种【例 32】有 4 张分别标有数字 1，2 ，3 ，
20、4 的红色卡片和 4 张分别标有数字 1，2 ，3 ，4 的蓝色卡片，从这 8 张卡片中取出 4 张卡片排成一行假如取出的 4 张卡片所标数字之和等于 10 ，就不同的排法共有 种（用数字作答）【例 33】用 1， 2， 3， 4， 5，6 组成六位数（没有重复数字） ，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1 和 2 相邻，这样的六位数的个数为 （用数字作答）10第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -【例 34】用数字 1、2、3、4、5 可以组成没有重复数字，并且比20000 大的五位偶数
21、共有（）A 48 个B 36 个C 24 个D 18 个【例 35】从1，2 ，3，8 ，9 ，10 这6 个数中，取出两个，使其和为偶数，就共可得到个这样的不同偶数？【例 36】求无重复数字的六位数中，能被3 整除的数有 个【例 37】用数字 0 ，1，2 ，3 ，4 ，5 ，6 组成没有重复数字的四位数，其中个位.十位 和百位上的数字之和为偶数的四位数共有个（用数学作答）【例 38】从 0 ，1，2 ，3，4 ，5 这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（）A 300B 216C 180D 162【例 39】从 0 ，1，2 ，3，4 ，5 这六个数字中任取两
22、个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（）11第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -A 300B 216C 180D 162【例 40】从1 到9 的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问：能组成多少个没有重复数字的七位数？其中任意两偶数都不相邻的七位数有几个？上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？ 中的七位数中，偶数排在一起.奇数也排在一起的有几个？ 其中任意两偶数都不相邻的七位数有几个？【例 41】用 0 到 9 这九个数字可组成多少个没有重复数字的四位偶数？【例 42】有 4
23、张分别标有数字 1，2 ，3 ，4 的红色卡片和 4 张分别标有数字 1，2 ，3 ，4 的蓝色卡片，从这 8 张卡片中取出 4 张卡片排成一行假如取出的 4 张卡片所标数字之和等于 10 ，就不同的排法共有 种（用数字作答）12第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -【例 43】在由数字 1，2 ，3 ，4 ，5 组成的全部没有重复数字的5 位数中，大于 23145 且小于 43521 的数共有（）个A 56 个B 57 个C 58 个D 60 个【例 44】由 0， 1， 2， 3， 4 这五个数字组成的无重复数字的四位偶数，按从小到大的次序排成一个数列an，就a19 A 2021B 2034C 1432D 1430【例 45】从数字 0.1.3.5.7 中取出不同的三个作系数，可组成多少个不同的2一元二次方程 axbxc0 ，其中有实数根的有几个？【例 46】从3 ，2 ， 1 ，0，1，2 ，3，4中 任 选 三 个 不 同 元 素 作 为 二 次 函 数2yaxbxc 的系数，问能组成多少条图像为经过原点且顶点在第一象限或第三象限的抛物线 .13第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - - -