2023年高中数学知识归纳.docx

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1、2023年高中数学知识归纳中学数学学问归纳 圆柱的性质，要强调两点：一是连心线垂直圆柱的底面;二是三个截面的性质平行于底面的截面是与底面全等的圆;轴截面是一个以上、下底面圆的直径和母线所组成的矩形;平行于轴线的截面是一个以上、下底的圆的弦和母线组成的矩形。我为大家整理的中学数学学问归纳，参考资料，欢迎参阅。 归纳一 1.在中学我们只研直圆柱、直圆锥和直圆台。所以对圆柱、圆锥、圆台的旋转定义、事实上是直圆柱、直圆锥、直圆台的定义。 这样定义直观形象，便于理解，而且对它们的性质也易推导。 对于球的定义中，要留意区分球和球面的概念，球是实心的。 等边圆柱和等边圆锥是特别圆柱和圆锥，它是由其轴截面来定

2、义的，在实践中运用较广，要留意与一般圆柱、圆锥的区分。 2.圆柱、圆锥、圆和球的性质 (1)圆柱的性质，要强调两点：一是连心线垂直圆柱的底面;二是三个截面的性质平行于底面的截面是与底面全等的圆;轴截面是一个以上、下底面圆的直径和母线所组成的矩形;平行于轴线的截面是一个以上、下底的圆的弦和母线组成的矩形。 (2)圆锥的性质，要强调三点 平行于底面的截面圆的性质： 截面圆面积和底面圆面积的比等于从顶点到截面和从顶点究竟面距离的平方比。 过圆锥的顶点，且与其底面相交的截面是一个由两条母线和底面圆的弦组成的等腰三角形，其面积为： 易知，截面三角形的顶角不大于轴截面的顶角(如图10-20)，事实上，由B

3、C≥AB，VC=VB=VA可得∠AVB≤BVC. 由于截面三角形的顶角不大于轴截面的顶角。 所以，当轴截面的顶角θ≤90°，有0°<α≤θ≤90°，即有 当轴截面的顶角θ>90°时，轴截面的面积却不是的，这是因为，若90°≤α<θ<180°时，1≥sinα>sinθ>0. 圆锥的母线l，高h和底面圆的半径组成一个直径三角形，圆锥的有关计算问题，一般都要归结为解这个直角

4、三角形，特殊是关系式 l2=h2+R2 (3)圆台的性质，都是从圆台为截头圆锥这个事实推得的,高考，但仍要强调下面几点： 圆台的母线共点，所以任两条母线确定的截面为一等腰梯形，但是，与上、下底面都相交的截面不肯定是梯形，更不肯定是等腰梯形。 平行于底面的截面若将圆台的高分成距上、下两底为两段的截面面积为S，则 其中S1和S2分别为上、下底面面积。 的截面性质的推广。 圆台的母线l，高h和上、下两底圆的半径r、R，组成一个直角梯形，且有 l2=h2+(R-r)2 圆台的有关计算问题，常归结为解这个直角梯形。 (4)球的性质，着重驾驭其截面的性质。 用随意平面截球所得的截面是一个圆面，球心和截面圆

5、圆心的连线与这个截面垂直。 假如用R和r分别表示球的半径和截面圆的半径，d表示球心到截面的距离，则 R2=r2+d2 即，球的半径，截面圆的半径，和球心到截面的距离组成一个直角三角形，有关球的计算问题，常归结为解这个直角三角形。 3.圆柱、圆锥、圆台和球的表面积 (1)圆柱、圆锥、圆台和多面体一样都是可以平面绽开的。 圆柱、圆锥、圆台的侧面绽开图，是求其侧面积的基本依据。 圆柱的侧面绽开图，是由底面图的周长和母线长组成的一个矩形。 圆锥和侧面绽开图是一个由两条母线长和底面圆的周长组成的扇形，其扇形的圆心角为 圆台的侧面绽开图是一个由两条母线长和上、下底面周长组成的扇环，其扇环的圆心角为 这个公

6、式有利于空间几何体和其侧面绽开图的互化 明显，当r=0时，这个公式就是圆锥侧面绽开图扇形的圆心角公式，所以，圆锥侧面绽开图扇形的圆心角公式是圆台相关角的特例。 (2)圆柱、圆锥和圆台的侧面公式为 S侧=π(r+R)l 当r=R时，S侧=2πRl，即圆柱的侧面积公式。 当r=0时，S侧=rRl，即圆锥的面积公式。 要重视，侧面积间的这种关系。 (3)球面是不能平面绽开的图形，所以，求它的面积的方法与柱、锥、台的方法完全不同。 推导出来，要用微积分等高等数学的学问，课本上不能算是一种证明。 求不规则圆形的度量属性的常用方法是细分求和取极限，这种方法，在学完微积分的相关内容后，不证自明，

7、这里从略。 4.画圆柱、圆锥、圆台和球的直观图的方法正等测 (1)正等测画直观图的要求： 画正等测的X、Y、Z三个轴时，z轴画成铅直方向，X轴和Y轴各与Z轴成120°。 在投影图上取线段长度的方法是：在三轴上或平行于三轴的线段都取实长。 这里与斜二测画直观图的方法不同，要留意它们的区分。 (2)正等测圆柱、圆锥、圆台的直观图的区分主要是水平放置的平面图形。 用正等测画水平放置的平面圆形时，将X轴画成水平位置，Y轴画成与X轴成120°，在投影图上，X轴和Y轴上，或与X轴、Y轴平行的线段都取实长，在Z轴上或与Z轴平行的线段的画法与斜二测相同，也都取实长。 5.关于几何体表面内两点间

8、的最短距离问题 柱、锥、台的表面都可以平面绽开，这些几何体表面内两点间最短距离，就是其平面内绽开图内两点间的线段长。 由于球面不能平面绽开，所以求球面内两点间的球面距离是一个全新的方法，这个最短距离是过这两点大圆的劣弧长。 归纳二 简洁随机抽样 1.总体和样本 在统计学中,把探讨对象的全体叫做总体. 把每个探讨对象叫做个体. 把总体中个体的总数叫做总体容量. 为了探讨总体的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分： 探讨，我们称它为样本.其中个体的个数称为样本容量. 2.简洁随机抽样，也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随 机地抽取调查单位。特点是：每个样本单位被抽中的可能

9、性相同(概率相等)，样本的每个单位完全独立，彼此间无肯定的关联性和排斥性。简洁随机抽样是其它各种抽样形式的基础。通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采纳这种方法。 3.简洁随机抽样常用的方法： 抽签法;随机数表法;计算机模拟法;运用统计软件干脆抽取。 在简洁随机抽样的样本容量设计中，主要考虑：总体变异状况;允许误差范围;概率保证程度。 4.抽签法: (1)给调查对象群体中的每一个对象编号; (2)打算抽签的工具，实施抽签 (3)对样本中的每一个个体进行测量或调查 例：请调查你所在的学校的学生做喜爱的体育活动状况。 5.随机数表法： 例：利用随机数表在所在的班级中抽取10位同学参与

10、某项活动。 系统抽样 1.系统抽样(等距抽样或机械抽样)： 把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后根据这一固定的抽样距离抽取样本。第一个样本采纳简洁随机抽样的方法抽取。 K(抽样距离)=N(总体规模)/n(样本规模) 前提条件：总体中个体的排列对于探讨的变量来说，应是随机的，即不存在某种与探讨变量相关的规则分布。可以在调查允许的条件下，从不同的样本起先抽样，对比几次样本的特点。假如有明显差别，说明样本在总体中的分布承某种循环性规律，且这种循环和抽样距离重合。 2.系统抽样，即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。因为它对抽样框的要求较低，实施也比较简洁。更为重要的是，假如有某种与调查指

11、标相关的协助变量可供运用，总体单元按协助变量的大小依次排队的话，运用系统抽样可以大大提高估计精度。 分层抽样 1.分层抽样(类型抽样)： 先将总体中的全部单位根据某种特征或标记(性别、年龄等)划分成若干类型或层次，然后再在各个类型或层次中采纳简洁随机抽样或系用抽样的方法抽取一个子样本，最终，将这些子样本合起来构成总体的样本。 两种方法： 1.先以分层变量将总体划分为若干层，再根据各层在总体中的比例从各层中抽取。 2.先以分层变量将总体划分为若干层，再将各层中的元素按分层的依次整齐排列，最终用系统抽样的方法抽取样本。 2.分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体，再抽取不同的子总

12、体中的样本分别代表该子总体，全部的样本进而代表总体。 分层标准： (1)以调查所要分析和探讨的主要变量或相关的变量作为分层的标准。 (2)以保证各层内部同质性强、各层之间异质性强、突出总体内在结构的变量作为分层变量。 (3)以那些有明显分层区分的变量作为分层变量。 3.分层的比例问题： (1)按比例分层抽样：依据各种类型或层次中的单位数目占总体单位数目的比重来抽取子样本的方法。 (2)不按比例分层抽样：有的层次在总体中的比重太小，其样本量就会特别少，此时采纳该方法，主要是便于对不同层次的子总体进行特地探讨或进行相互比较。假如要用样本资料推断总体时，则须要先对各层的数据资料进行加权处理，调整样本

13、中各层的比例，使数据复原到总体中各层实际的比例结构。 用样本的数字特征估计总体的数字特征 1、本均值： 2、样本标准差： 3.用样本估计总体时，假如抽样的方法比较合理，那么样本可以反映总体的信息，但从样本得到的信息会有偏差。在随机抽样中，这种偏差是不行避开的。 虽然我们用样本数据得到的分布、均值和标准差并不是总体的真正的分布、均值和标准差，而只是一个估计，但这种估计是合理的，特殊是当样本量很大时，它们的确反映了总体的信息。 4.(1)假如把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数，标准差不变 (2)假如把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数k，标准差变为原来的k倍 (3)一组数据

14、中的值和最小值对标准差的影响，区间的应用; 去掉一个分，去掉一个最低分中的科学道理 两个变量的线性相关 1、概念: (1)回来直线方程(2)回来系数 2.最小二乘法 3.直线回来方程的应用 (1)描述两变量之间的依存关系;利用直线回来方程即可定量描述两个变量间依存的数量关系 (2)利用回来方程进行预料;把预报因子(即自变量x)代入回来方程对预报量(即因变量Y)进行估计，即可得到个体Y值的容许区间。 (3)利用回来方程进行统计限制规定Y值的改变，通过限制x的范围来实现统计限制的目标。如已经得到了空气中NO2的浓度和汽车流量间的回来方程，即可通过限制汽车流量来限制空气中NO2的浓度。 4.应用直线

15、回来的留意事项 (1)做回来分析要有实际意义; (2)回来分析前,先作出散点图; 归纳三 直线的倾斜角： 定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特殊地，当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α<180° 直线的斜率： 定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 过两点的直线的斜率公式。 留意： (1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90° (2)k与P1、P2的依次无关; (3)以后求

16、斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标干脆求得; (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 直线方程： 1.点斜式：y-y0=k(x-x0) (x0,y0)是直线所通过的已知点的坐标，k是直线的已知斜率。x是自变量，直线上随意一点的横坐标;y是因变量，直线上随意一点的纵坐标。 2.斜截式：y=kx+b 直线的斜截式方程：y=kx+b，其中k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距。该方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式。此斜截式类似于一次函数的表达式。 3.两点式;(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1) 假如x1=x2,y1=y2,那么两点就重合了,相当于只有一个

17、已知点了,这样不能确定一条直线。 假如x1=x2,y1y2,那么此直线就是垂直于X轴的一条直线,其方程为x=x1,不能表示成上面的一般式。 假如x1x2,但y1=y2,那么此直线就是垂直于Y轴的一条直线,其方程为y=y1,也不能表示成上面的一般式。 4.截距式x/a+y/b=1 对x的截距就是y=0时，x的值，对y的截距就是x=0时,y的值。x截距为a,y截距b,截距式就是：x/a+y/b=1下面由斜截式方程推导y=kx+b,-kx=b-y令x=0求出y=b，令y=0求出x=-b/k所以截距a=-b/k,b=b带入得x/a+y/b=x/(-b/k)+y/b=-kx/b+y/b=(b-y)/b+y/b=b/b=1。 5.一般式;Ax+By+C=0 将ax+by+c=0变换可得y=-x/b-c/b(b不为零)，其中-x/b=k(斜率)，c/b=b(截距)。ax+by+c=0在解析几何中更常用，用方程处理起来比较便利。