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1、20182018 届高考数学大题狂练届高考数学大题狂练第一篇第一篇数列数列 专题专题 0202 等差数列与等比数列的判断与证明（以及构造数列）等差数列与等比数列的判断与证明（以及构造数列）一、解答题一、解答题1已知数列是等差数列，其首项为 ，且公差为 ，若（ ）求证：数列是等比数列（ ）设，求数列的前 项和【答案】 （1）见解析；（2），又，数列是首项为 4，公比为 4 的等比数列（ ）解：由（1）知， 2设数列an的前n项和为Sn，a11，且对任意正整数n，点(an1，Sn)在直线 2xy20 上.(1)求数列an的通项公式；(2)是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在
2、，请说明2nSnn理由.【答案】 （1） （2）211 2nna求出2,经检验2 时,此数列的通项公式是关于n的一次函数,故满足数列为等差数列,从而得出结论.试题解析： (1)由题意，可得 2an1Sn20.当n2 时，2anSn120.，得 2an12anan0，所以 (n2).因为a11，2a2a12，所以a2 .所以an是首项为 1，公比为 的等比数列.所以数列an的通项公式为an.(2)由(1)知，Sn2.若为等差数列，则S1 ，S22，S33成等差数列，则2S1S3，即 21 ，解得2.又2 时，Sn2n2n2，显然2n2成等差数列，故存在实数2，使得数列Snn成等差数列.3已知数列
3、的前 项和（ 为正整数） （1）求证：为等差数列；（2）求数列的前 项和公式【答案】(1)见解析(2) 【解析】 【试题分析】(I)利用,可求得,即证明了数列为等差数列.(II)由(I)求得的表达式,并利用错位相减求和法求其前 项和.所以是以为首项，为公差的等差数列（方法二）当时，解得 ，设，则， 当时，有 代入得整理得 所以即是以为首项，为公差的等差数列（2）由（1）得，依题意上式两边同乘以 ，得-得，所以4设为数列的前 项和，已知，.（1）证明：为等比数列；（2）求.【答案】(1)见解析；（2）.（1）证明：，则，是首项为 2，公比为 2 的等比数列.（2）解：由（1）知，则. .5已知数
4、列的前项和为,满足 (),数列满足 nannS21nnSa*nN nb(),且111nnnbnbn n*nN11b （1）证明数列为等差数列,并求数列和的通项公式;nb n na nb（2）若,求数列的前项和; 122141132log32logn n nnncaa ncn2nT（3）若,数列的前项和为,对任意的,都有,求实数的取值nnndab ndnnD*nNnnDnSaa范围.【答案】 （1）， ；（2）；（3）12nna2 nbn11 343n0a 代入可求。试题解析：（1）由两边同除以，111nnnbnbn n1n n得， 111nnbb nn从而数列为首项，公差的等差数列，所以， n
5、b n11b 1d =nbnn数列的通项公式为 nb2 nbn当时， ，所以 =1n11121=Saa1=1a当时， ， ，2n 21nnSa-1-121nnSa两式相减得，又，所以，12nnaa1=1a12nna a从而数列为首项，公比的等比数列， na1=1a=2q从而数列的通项公式为 na12nna(2) 41(2123nncnn 11112123n nn =2123212nnnTccccc11111111 35574143343nnn（3）由（1）得， 12nnnndabn2211 12 23 21 22nn nDnn ，231121 22 23 21 21 22nnn nDnnn 所
6、以，两式相减得2112122222 ,1 2n nnn nDnn 因为 ，从而数列为递增数列1 +121121nn nnddnn210n nd所以当时， 取最小值，于是=1nnd1=0d0a 6已知等差数列an中，公差d0，其前n项和为Sn，且满足：a2a345，a1a414.(1)求数列an的通项公式；(2)通过公式bn构造一个新的数列bn若bn也是等差数列，求非零常数c；nS nc(3)对于(2)中得到的数列bn，求f(n) (nN*)的最大值125nnb nb【答案】(1)an4n3(2) 1 36【解析】试题分析：，故可根据基本不等式求最值 221 252251262526nnf nnnnnnn试题解析：(1)数列an是等差数列a2a3a1a414，由，解得或232314 45aa a a 235 9aa239 5aa公差d0，a25，a39da3a24，a1a2d114143nann (2)Snna1n(n1)dn2n(n1)2n2n，22n nSnnbncnc数列bn是等差数列，2b2b1b3，2，解得 (c0 舍去)1 2c 2221 2nnnbn n 显然bn成等差数列，符合题意，1 2c (3)由（2）可得 221 252251262526nnf nnnnnnn，当且仅当，即时等号成立11 3625226nn 25nn5n f(n)的最大值为1 36